定積分計算技巧

1、1.定積分的幾何意義22例1.0J2x_xdx=2222_解法1由定積分的幾何意義知,0J2x-xdx等于上半圓周(x-1)+y=1(y>0)與x軸所圍成的圖形的面積.故"xx2dx=三2.利用積分不等式例1.求lim|n:二p,n為自然數(shù).解法利用積分不等式因為n+sinxdxn<n*sinxn.p1dx_-dx=lnnx而limlnn_二2二0所以nlimn二.npsinxdx=0.nx例2.解法，、.1xn求limdx-n-'01x因為0ExW1,故有于是可得10%又由于1n1xdx二0(n-0n1因此1x,nlimfdx=0.n；01x3.利用被積函數(shù)的奇

2、偶性求定積分.例1.2x2x分析由于積分區(qū)間關(guān)于原點對稱,因此首先應(yīng)考慮被積函數(shù)的奇偶性.12x2x工11-x2dx=2x211-,2x2口,皿工由于一上、是偶函數(shù)，而1r1f211-x2是奇函數(shù)，有dx=0,r1-x2于是12X2Xdx=41A11-x201.1dx=42-X1X2(1.1-X2)112dx=40dx-40q1-xdx1一由定積分的幾何意義可知fJi-xdx=-,故-0-4212xx1f=dx=4dx4，=4一冗.*1,x204r7sinx,例2.計算不sinx也不是偶函數(shù)，更不能直接求出原函數(shù)，但我們可解雖然1+唐力在6,6上即不是奇函數(shù),以利用J/+/(-x)依得4.設(shè)f

3、(x)為周期函數(shù)且連續(xù)，周期為T,則事實上片八岫=£/(x)dx+/(1)赤+片1/(M由于口+)出-/口抽二元于是例1.設(shè)3(工)表示距離x最近整數(shù)的距離，計算F100我於,八1xf0<x<-“I2姒X)=j1X,一M101,/、解由12且跳.R為周期函數(shù)，周期為1,于是1=100(儀5)以=1006冠工+jj'底+£(1-幻訊=25.5.利用積分中值定理npsinx例1.求limjsu%dx,p,n為自然數(shù).X解法利用積分中值定理、-sinx.設(shè)f(x)=,顯然f(x)在n,n+p上連續(xù)，由積分中值定理得xnpsinxsindx二P，；三n,np,當(dāng)

4、n.二時，自t8,而sin自nlimn:：-npsinxsindx=l。一,p=0例2.解法由積分中值定理f(x)g(x)dx=f")g(x)dx可知r1xn求limfdx-f.：'01x01x1n111limxdx=lim=0且一<<1,n-.'0n?：n1211xnlimfdx=0-nf01x6.利用適當(dāng)變量變換求定積分/(sinx)例1.設(shè)f(x)在0,i上連續(xù)，計算。/(sinx)-F/(cosx)/(sm、)八,lIXj/(sinx)+/(cosx)于是/(cosi)J;/(cosi)+/(sinOdi=/(cosx)°/(cosx)+

5、/(sinx)dx/(sinx)+/(cosx)/(cosx)s2Z=fIJ0/(sinx)例2.設(shè)函數(shù)f(x)在(一電稅)內(nèi)滿足/=/。一幻+smx且/二用武0團(tuán))，計算%(x)dx解法一/(i-幻+sinxdx/(不-用心+0/(£)祖二；/(。而+(jf2ati冗2f2jf=Jjd£+J/«-開)+sin£匹=萬+Jf(t-7T)dt+jsintdt=-2+pJ/(/-)w-J-2+=-2,22°7i/解法二當(dāng)xc區(qū)3川時，工一方+疝冗工ett,2汗112月；£2汗3開于是"j(x)dx=”(一;r+$inx)dx+%

6、-功盛二犬-2.jJ第J2j例46設(shè)1+K1三03r，二求1工0,J:工-2)也解原式也:/（上）或二J:。+戶）加1丁出工fT（J1377.利用定積分公式；叭加x）dx=Jj/（sin1麻公式i：設(shè)f（x）在0,1上連續(xù)，則2'事實上二"二二=J：（不一力/（血工）加二哧/（sin了）比一J：/nx）dx.Iq或in力血=/（血力一移項兩邊同除以2得£.公式2:xdxJjcosKxdx4二le,當(dāng)總為偶數(shù),用-222空N乙當(dāng)用為奇數(shù)用一23士令彳&nLIgsin1xdh一-1向"(i)di=1,co/tdt=口cos11標(biāo)2 2JJS記乙二版xd

7、x=lcoLxcos欣JcosM就mx3 營=cos"-ix血Hj+J?sin您-1)cosa_2xsinxdx(fl之2)二("-1)«co/-cos。)位=5-1)Q("-1)4，”3由于遞推公式每次降2次，要討論偶數(shù)的情形，由人叱41L曲吟，.sin"xdx-公式3:0忌二41"xdxcos2sxdx=cos2xdx=2zcos2ffxdxbsin*了辦2sin舞*1+cos2xC0£x=-由2,知sJ工的周期為不,當(dāng)然2開也是它的周期，利周期函數(shù)定積分的性-3j質(zhì)，有一co/欣=(co/fdt=jcos囂xdx.-而

8、2cos2Mxtix-J4/ss加那了二4由于2n是偶數(shù)，故2汽一12州一31;r,$_K42月2鞭-222公式4:/(sin幻dx="(cosx)dxj令力服.證一；/(泄(gT)df=jj/(cos/)=J；/(cos4dx.例54證明dx二jo+b-x)dx,也J良-：/(1+8-。山=1/3+3-M=比Y1rh公式5設(shè)f(x)在0,1上連續(xù)，則"：/($及力右-|&/(|sinz|)dx|sinx|=Vsin證由-(l-cos2z)2是；為周期的函數(shù)，當(dāng)然也是以2開為周期的函數(shù),知|一|也是以7r為周期的函數(shù)，于是；J：4期x岫二;匚加inx岫二;J；/(Isin”腦乙U(lsinX岫33=j/(|sinx|)心=x)dx公式63r1/加=(6-窗)J"口+0-4工加(b-+8一口)£比=(3-a)|)g+(2-axdx公式7.