2020學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章相似三角形定理與圓冪定理113平行截割定理學(xué)案新人教B版選修4

1、1.1.3平行截割定理讀教材填要點1.平行截割定理(1)定理的內(nèi)容：三條平行線截任兩條直線，所截出的對應(yīng)線成比例.ABDE(2)將萬語百表不：如圖，右11/12/13,則奇=百BCEF2.平行截割定理的推論(1)推論的內(nèi)容：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)，所得的對應(yīng)線段成比例.(2)符號語言表木:,ADAEDE如圖，右l1/12/13，則ab=ACybc小問題大思維1 .在平行截割定理中，被截的兩條直線min應(yīng)滿足什么條件？提示：被截取的兩條直線mn可以平行，也可以相交，但它們必須與已知的平行直線a、b、c都相交.2 .若將定理中的“三條平行線”改為“三個互相平行的平面”，

2、是否仍然成立？提示：仍然成立.利用定理證明“比例式”已知：如圖，11/12/13,例1ABmBCfn.求證：DEmDFn思路點撥本題考查平行截割定理及比例的基本性質(zhì).解答本題需要利用定理證得DEEF=黑然后利用比例的有關(guān)性質(zhì)求出DEm可.BCDF精解t¥析:11/12/13,MLDE=mBCefn.EFnEF+DEn+mDTmiDE=-m?Dmi+nDE_m即套-mp,DrmTn.解決此類問題要結(jié)合幾何直觀，合理地利用比例的性質(zhì)，常見的性質(zhì)有:(1)比例的基本性質(zhì)：acb=d(bdw0)?ad=bc；ab._.2b=c(bcw0)?b=ac；acb=爐叱0)?aca±bc&

3、#177; dda c等比性質(zhì)：如果b = d=m=_(bdnw0, nb+ d+ + nW。),那么a + c+ m ab + d+-+ n b1.如圖，已知在 ABC中，/ BAC= 120° ,于D求證.=+ AD AB AC證明：過D點作DE/ AB交AC于E點，. /BAC= 120 , ADF分/ BAC ./ DAE= 60 , / BAD= 60 .AD平分/ BAC交BCBE. DE/ AB / ADE= 60 ,AD= DE= AE,ad_DE_ceABT Ab= ACAD AD_CE ADCE AE破 ACT AC ACT AC ACCE AE AC AD AD

4、 / ACT ACT1? ' AB+ ACT1.工 1_ 1 AB+ ACT Ad利用定理證明“乘積式”例2如圖所示，已知直線l截4ABL邊所在的直線分別于 E, F, D三點，且AD=Xd求證：EF- CB= FD- CA£ ftL思路點撥借助平行線分線段成比例定理即可證得.(2)合分比性質(zhì)：如果b=d,那么-b"如圖1,過D作DK AB交EC于點K,則EF EB CA BC= =FD BK AD BK日°AD即 BT BKEF CA=.FD CB.AD-BE,CABE,一_.BCBK即EF-CB=FDCA法二：如圖2,過E作EP/AB,交CA的延長線于

5、點P.AB/EP,CBCA口.CAAP=即7-=z.BEAPCBBE在DP計，AF/PEEFAPFDTAD. AD- BE,CA EFCET FDEF- CB= FD- CA法三：如圖3,過D作DIN/BC,交AB于N. ND/ EREB EFDNT加. DN/ BCBC_CADNT Ab日rCAAD即CeTDN. AD- EBEF CA 口nFD= Cb 即EF- CB= FD- CA圖3本題所作的輔助線，不僅構(gòu)造了兩個常見的基本圖形，而且可以直接利用三角形一邊的平行線的性質(zhì)定理，找到捺ED勺比值關(guān)系，再借助等量代換，使問題得以突破.2.如圖所示，已知直線FD和ABC勺BC邊交于D,與AC邊

6、交于E,與BA的延長線交于F,且BDC求證：AE-FB=ECFA證明：過A作AG/BC交DF于G點.AG/BQFAAGFb=BD又.BD= DCFA AGfbT DC.AG/DCAGAEDCTECAEFAEcT用即AE-FB=EC-FA利用定理進(jìn)行計算，一，.,i，、例3如圖，已知？ABCW,延長AB到E,使BE=2AB連接ED交BCAC于F、G求EF：FG：GD勺值.思路點撥本題考查平行截割定理及其推論的應(yīng)用.解答本題需要求出EF：FGEF：GD勺比值，進(jìn)而求出EF：FG：GD勺值.精解t析四邊形ABCD1平行四邊形,.AD/BC1be=2ABEFBE1BF-EdtAe=3=Ad)設(shè)EF=k

7、,ED=3k,，F(xiàn)D=2k.FGFC2BC"AQGdTAdT3.冷5,、fg=5k,GD=5k,.EF：FG：GD=k：4k：6k,55即EF：FG：GD=5：4：6.k,然后用所設(shè)的參數(shù) k表示所求結(jié)論中的各DE/ AC EF/ BC AB= 15,AFA求線段長度比的問題，通常引入一個參數(shù)個線段，最后消掉參數(shù)k即可得到所求結(jié)論.3.如圖，在ABC中，AD平分/BAC=4,則DE=.解析：設(shè)DE=x,.DE/ACEF/BC,ItBE15,15xx+4吃EL捐e=4.又.A葉分/BACBDBA15xDCTActxrz=4解得x=6.對應(yīng)學(xué)生用書 P11答案：6一、選擇題1.如圖，AB

8、/ CD/ EF, AF, BE相交于Q若AO=OD=DF,BE=10cm,則BO的長為（）B. 5 cmA.也cm35C.2cmD.3cm解析：CD/EF,O氏DF.C為OE中點，.OC=CE.AB/CDAO=ODO為BC中點，110.BO=OC-OB=-BE=cm.33答案：A2.如圖，AD是ABC勺中線，E是CAi的三等分點,BE交AD于點F,貝UAF： FD為（）A. 2 ： 1B. 3 ： 1D. 5 ： 1C.4：1解析：要求AF：FD的比，需要添加平行線尋找與之相等的比.過D作DG/ACBE于G如圖，因為D是BC的中點，,1所以DG=2EC又AE=2EC皿1故AF：FD=AE：D

9、G=2EC：2EO4：1.答案：C3.如圖，梯形ABC珅，E是DC延長線上一點，AE交BD于G交BCT F,卜列結(jié)論:EC EF FG BG AE BDT) =一一=-一=CD AF 咳 AG GD ° AGDGAF AE果AE;其中正確的個數(shù)是CD DEA. 1個B. 2個C. 3個D. 4個解析：.BC/ AD11r AF)FGBGACT GD.、正確., zhAF CD由BC/ AD得己三 =FhEF CEAFCDAF+ EF- CN CE即AE嚏即條AEE”答案：C4.如圖，已知 P、Q分別在BC和AC上,A.3 ： 14B.14 : 3C.17 : 3D.17 : 14解析

10、：過點P作PM/AC交BQMntARAQ貝U-=人RPPMLBP2.PM/AC亍1CP5.QC_BC_7PMTBP=2.AQQCAQ7414=-x-=.PMPMQC233日rAR14即涓?.答案：B二、填空題5.如圖,解析:AB/EM/DCAE=ED,EF/BCEF=12cm,貝UBC的長為AB/EMIDCEF/ BC?EF= MC= 12 cm.AE=ED?£為八口中點，M為BC的中點.，BC=2MC=24cm.答案：24cm6.如圖，？ABCD中，N是AB延長線上一點，盥ABBMB北ABDM解析：,AD/BM.,BN=Mn又DaANMNDMMCMBDMFMNMOMBMN即DNBC

11、1MN-BMBCABDNDMMN.bmTbN-mN-mN-mN"1.答案：i7.如圖所示，11/12/13,CH=4.5cm,AG=3cm,BG=5cm,EF=12.9cm,貝UDH=EQ一,-DHBG解析：由l1/12/13,可得CHAG長是所以DH=BG-CH5X4.5AG3=7.5(cm)同理可得EK的長度.答案：7.5cm34.4cm8.梯形ABC/，AD/BCAD：BC=a：b,中位線EF=中貝UMN1解析：易知EF=2(ANBC1EM=FN=2AD又AD：BC=a：b,設(shè)AD=ak,貝UBC=bk.1.EF=/ANbc,k，m= 2<a+b),2mk=-.a+bmM

12、IN=EFEM-NF=m-3k%km m- ak= baa+ b答案:m b aa+ b三、解答題9 .如圖，M是？ABCD勺邊AB的中點，直線l過M分別交ADAC于E、F,交CB的延長線于N若AE=2,AD=6.求：AF：AC的值.解：AD/BC,AFAEAF_AEFCTNCafTFCtae+nc.AM=MBAE AMBNT 而 1，AE= BNAFAEAEActa曰bn+bcT2AE+bc-AE= 2, BC= AD= 6,AF21ACT 2X2+ 6=5.即AF：AO1:5.10 .如圖，在？ABCD,E和F分別是邊BC和AD的中點，BF和DE分別交AC于P,Q兩點.求證：AP=PQ=QC證明：四邊形ABCD1平行四邊形，E,F分別是BCAD邊上的中點, .DF觸BE,四邊形BEDF1平行四邊形. 在AADQ,F是AD的中點，F(xiàn)P/DQ .P是AQ的中點，.二AP=PQ 在4CP珅，E是BC的中點，EQ/BP， .Q是CP的中點，CQ=PQAP=PQ=QC11.如圖,梯形ABC珅，AD)/BCEF經(jīng)過梯形對角線的交點Q且EFAD求證:OE=OF(2)OE一OE求利值求證ADTBCEF解:(1)證明：EF/ AD AD/ BCEF/ AD/ BCOE AE