級數(shù)的收斂速度與正項(xiàng)級數(shù)判斂法的關(guān)系

1、級數(shù)的收斂速度與正項(xiàng)級數(shù)判斂法的關(guān)系數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院、數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)、0701班，湖北，黃石，4350021.引言級數(shù)斂散的速度問題，無論對于理論研究者或是實(shí)際工作者都具有意義。在做理論研究判斷正項(xiàng)級數(shù)斂散性時(shí)，利用比較判別法必須事先選擇好具有適當(dāng)斂散性的級數(shù)，而利用d'Alembert判別法或Cauchy判別法總有一些級數(shù)不能判斷其斂散性，如，其原因在于作為“標(biāo)尺”的幾何級數(shù)收斂得不夠慢，因此想要得到更好的判別法就必須尋找收斂得更慢的級數(shù)作為比較的“標(biāo)尺”。通過探究達(dá)朗貝爾判別法、拉貝判別法產(chǎn)生缺陷的原因以及幾項(xiàng)正項(xiàng)級數(shù)收斂速度的比較，得出級數(shù)的收斂速度與正項(xiàng)級數(shù)判斂法的關(guān)系。2.級數(shù)

2、收斂速度的定義在關(guān)于級數(shù)的論著中對正項(xiàng)級數(shù)斂散快慢問題，通常有下列三種定義。(分別由下面的定義1、2與3、4以及定義5組成）定義1 設(shè)正項(xiàng)級數(shù)與都收斂，分別是它們的余式，如果，就稱比收斂較慢。定義2 設(shè)正項(xiàng)級數(shù)與都發(fā)散， ，分別是它們的部分和，如果，就稱比發(fā)散較慢。定義3 設(shè)正項(xiàng)級數(shù)與都收斂，如果，就稱比收斂較慢。定義4 設(shè)正項(xiàng)級數(shù)與都發(fā)散，如果，就稱比發(fā)散較慢。定義5 設(shè)正項(xiàng)級數(shù)與都收斂（發(fā)散），并有自然數(shù)N,使時(shí)，有（），則說比收斂（發(fā)散）較慢。3幾種常用判斂法定理1（比較判別法）（1）（2）是兩個(gè)正項(xiàng)級數(shù)，如果當(dāng)n充分大時(shí)，總有不等式成立，則由級數(shù)（2）收斂可推出級數(shù)（1）收斂，而由級數(shù)

3、（1）發(fā)散可推出（2）發(fā)散。定理2 如果存在自然數(shù)N，對一切有（3）則由級數(shù)（2）收斂可知級數(shù)（1）收斂，而由級數(shù)（1）發(fā)散可知級數(shù)（2）發(fā)散。定理3（達(dá)朗貝爾比值判別法）若為正項(xiàng)級數(shù)，且（4）則當(dāng)時(shí)級數(shù)收斂，而當(dāng)時(shí)級數(shù)發(fā)散。定理4（柯西根值判別法）設(shè)為正項(xiàng)級數(shù)，且則當(dāng)時(shí)級數(shù)收斂，而當(dāng)時(shí)級數(shù)發(fā)散。定理5（拉貝判別法）設(shè)為正項(xiàng)級數(shù)，且則當(dāng)時(shí)級數(shù)收斂，而當(dāng)時(shí)級數(shù)發(fā)散。定理6（高斯判別法）對正項(xiàng)級數(shù)，如果有 （5）式中有界：，則當(dāng)或者而時(shí)級數(shù)收斂;當(dāng)或者而時(shí)級數(shù)發(fā)散。定理7（柯西積分判別法）如果 是非負(fù)的不增函數(shù)，則級數(shù)與積分同斂散。以下幾個(gè)主要的判別法大致可分為三類：第一類是把所論正項(xiàng)級數(shù)的項(xiàng)與一

4、個(gè)已知其斂散性的正項(xiàng)級數(shù)的項(xiàng)加以比較后得到原級數(shù)的斂散性，這一類包括定理1、2中的判別法。第二類從形式上看是考察所論正項(xiàng)級數(shù)通向或相鄰項(xiàng)的量值與變化趨勢，其本質(zhì)仍是把所給級數(shù)與某些典型而基本的收斂（發(fā)散）級數(shù)（幾何級數(shù)、P-級數(shù)等）加以比較。定理3、4、5、6屬于這一類，定理7屬于第三類，是通過建立正項(xiàng)級數(shù)與無窮積分的聯(lián)系把問題轉(zhuǎn)化為廣義積分的計(jì)算與斂散性判定。4探究達(dá)朗貝爾判別法、拉貝判別法產(chǎn)生缺陷的原因其中達(dá)朗貝爾判別法、柯西判別法、拉貝判別法在其形式及證明上有諸多相似，并且都存在著自身的不足，但它們的適用范圍卻是逐漸擴(kuò)大的。下面從這三種判別法出發(fā)，探究產(chǎn)生缺陷的根本原因。對于正項(xiàng)級數(shù)，首

5、先看達(dá)朗貝爾判別法的極限形式，當(dāng)?shù)臉O限值等于1時(shí)達(dá)朗貝爾判別法就失效了，對于簡單的級數(shù)，如也不能用此法來判定，我們就來分析一下產(chǎn)生這種缺陷的根源。通過達(dá)朗貝爾判別法和柯西判別法的證明過程，知道這兩者實(shí)際上是用等比級數(shù)來同給定的級數(shù)進(jìn)行比較的。這里主要以達(dá)朗貝爾判別法為例（由于柯西判別法簡單，其比較級數(shù)是）。當(dāng)時(shí)，給定的正項(xiàng)級數(shù)的一般項(xiàng)小于某一收斂得等比級數(shù)的對應(yīng)項(xiàng)，其中，是與1之間的某一實(shí)數(shù)，于是判斷收斂。由上可知：；而；由此可知比收斂得快。那么，反過來，如果給定的正項(xiàng)級數(shù)雖然收斂，但比任何收斂得等比級數(shù)收斂的都慢。這時(shí)，達(dá)朗貝爾判別法及其極限形式對的斂散性判斷就無能為力了。例如：.對于任意的

6、等比級數(shù)，其中，（）收斂得快。此時(shí)，不能用達(dá)朗貝爾判別法。其次，若，給定的級數(shù)的一般項(xiàng)不趨于0，于是判斷發(fā)散?？墒侨绻o定的正項(xiàng)級數(shù)雖然發(fā)散，但一般項(xiàng)趨于0。這時(shí)，達(dá)朗貝爾判別法對也無能為力。例如：。綜上所述，凡是比任何收斂的等比級數(shù)收斂的速度都慢的收斂的正項(xiàng)級數(shù)，以及一般項(xiàng)趨于0的發(fā)散的正項(xiàng)級數(shù)，都不能用達(dá)朗貝爾判別法及其極限形式來判斷其收斂或發(fā)散。可見，用達(dá)朗貝爾判別法、柯西判別法來判定級數(shù)收斂時(shí)，都受到幾何級數(shù)收斂速度的嚴(yán)格限制。再分析拉貝判別法的證明過程，不難發(fā)現(xiàn)是用廣義調(diào)和級數(shù)（p>0）來作為比較級數(shù)。對于任何及任何，考慮 收斂即:可見任何收斂的（）的一般項(xiàng)比任何收斂的（）的一

7、般項(xiàng)在趨于0時(shí)要慢得多。此外，對于，廣義調(diào)和級數(shù)雖然發(fā)散，但它的一般項(xiàng)卻趨于0。如果設(shè)、是滿足定理2中（3）式的兩個(gè)收斂級數(shù)，由前面定理1、2容易知道，對于任何正項(xiàng)級數(shù)，如果用作標(biāo)準(zhǔn)能判定它收斂，那么用作標(biāo)準(zhǔn)時(shí)也一定能判定它收斂。但反過來則不一定。5幾項(xiàng)正項(xiàng)級數(shù)收斂速度的比較另外我們又知道，正項(xiàng)級數(shù)斂散性判別法中著名的比值判別法、拉貝判別法、高斯判別法實(shí)際正是分別以下列級數(shù) ，（）（1）作為比較標(biāo)準(zhǔn)由比較原則導(dǎo)出的，現(xiàn)在利用上述后兩種定義證明下面結(jié)論：當(dāng)（1）中三類級數(shù)都收斂時(shí)，在收斂速度上是后一個(gè)總比前一個(gè)慢。命題一 設(shè) ，則p級數(shù)總比幾何級數(shù)收斂得慢。 證明：（利用定義3）設(shè)，則為求上式右

8、邊極限，可先求相應(yīng)連續(xù)變量時(shí)的極限，而利用洛必達(dá)法則不難求得該極限值為0，從而，由定義3，命題得證。命題二 設(shè)，則級數(shù)總比級數(shù)收斂得慢。證法1：（利用定義3）設(shè)，顯然只需就情形證明，先設(shè)，于是與以上類似，先求時(shí)極限，應(yīng)用洛必達(dá)法則q次得當(dāng)時(shí)，有 =···· 如果q>p>1,而，則利用剛才證明的結(jié)論，此時(shí)有 同樣可得，因此由定義3，命題2成立。證法2 （利用定義5）設(shè)，要證對任意的p>1及q>1，當(dāng)n 充分大時(shí)總有也即證明或證明 （2） 為此設(shè)，（） 對和在區(qū)間（）上應(yīng)用柯西中值定理得 因此只要，即當(dāng)時(shí)就有（2）式成立，從而由定義5

9、，命題2得證。由知級數(shù)又比p級數(shù)收斂得慢。 從而我們有：以P級數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)建立的判別法（如d'Alembert判別法、Cauchy判別法）有效；而以級數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)建立的判別法（Gauss判別法、擬對數(shù)判別法）又較以P級數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)建立的判別法有效。沿著這種思路下去，我們又有級數(shù)較級數(shù)斂散得慢，從而可以建立更精密、更有效的判別法。這一過程還可以繼續(xù)下去。一般地，級數(shù)串（），·····收斂的速度漸慢；下面證明沒有收斂得最慢的級數(shù)。設(shè)是收斂得最慢的正項(xiàng)級數(shù)，現(xiàn)構(gòu)造級數(shù)，其中是的第n-1項(xiàng)余式，即：先證是收斂的。由積分中值定理，有 ，故： 可見級數(shù)收斂，由

10、比較原則，有：也收斂。其次，由，知較收斂得慢。同理可證，也無發(fā)散得最慢的級數(shù)。因此，無法找到一個(gè)最有效的正項(xiàng)級數(shù)判斂法。根據(jù)上面的分析不難知道，以上判別法都是基于把所要判斷的級數(shù)與某一收斂級數(shù)相比較而得到的，只有那些級數(shù)的通項(xiàng)收斂于0的速度比某一收斂級數(shù)收斂快的級數(shù)，這些判別法才有效，如果級數(shù)的通項(xiàng)收斂速度較慢，這些判別法就無能為力，但可以尋求通項(xiàng)收斂速度更慢的收斂級數(shù)作比較，獲得判別范圍更大的正項(xiàng)級數(shù)判別法。選擇收斂（發(fā)散）較慢的級數(shù)作比較標(biāo)準(zhǔn)，相應(yīng)的判別法所能判定的級數(shù)就比較廣泛（即該判別法應(yīng)用范圍較廣）。這時(shí)，我們也該說該判別法比采用收斂（發(fā)散）較快的級數(shù)為比較標(biāo)準(zhǔn)的判別法更強(qiáng)或更精確。

11、在上面判別法中，高斯判別法強(qiáng)于拉貝判別法，而后者又強(qiáng)于比值判別法，并且較弱判別法又是較強(qiáng)判別法的特殊情形，或者說后者是前者的推廣，例如，拉貝判別法的極限式可寫為因此，當(dāng)時(shí)，顯然當(dāng)時(shí)有，而時(shí)，這兩種情形下，分別收斂與發(fā)散。由此可見，比值判別法僅是拉貝判別法當(dāng)時(shí)的特例，但是一般來說，較弱判別法未必是較強(qiáng)判別法的特例。例如比值判別法并非是根值判別法的特例，后者也不是拉貝判別法的特例。例：討論級數(shù)當(dāng)時(shí)的斂散性。解：無論哪一值時(shí)，對此級數(shù)的比式極限都有 所以用比式判別法無法判斷級數(shù)的斂散性，現(xiàn)在利用拉貝判別法來討論當(dāng)時(shí)，由于 可知此級數(shù)發(fā)散當(dāng)時(shí)，由于 可知此級數(shù)發(fā)散從上面可以看到，比式判別法有其局限性，

12、拉貝判別法雖然判別的范圍比它更廣泛，但當(dāng)時(shí)仍無法判斷，我們還可以建立比拉貝判別法更有效的方法，但是這個(gè)過程是無限的。6.正項(xiàng)級數(shù)的其他一些斂散性判別法定理8（對數(shù)判別法）設(shè)是正項(xiàng)級數(shù)，如果則當(dāng)時(shí)級數(shù)收斂；當(dāng)時(shí)級數(shù)發(fā)散。定理9（隔項(xiàng)比值判別法）設(shè)正項(xiàng)級數(shù)的項(xiàng)遞減，如果則當(dāng)時(shí)級數(shù)收斂；當(dāng)時(shí)級數(shù)發(fā)散。定理10（雙比值判別法）對正項(xiàng)級數(shù)，如果則當(dāng)時(shí)級數(shù)收斂；當(dāng)時(shí)級數(shù)發(fā)散。定理12（厄爾馬可夫判別法）設(shè)為遞減的正值連續(xù)函數(shù)，又設(shè)如果，則收斂；，則發(fā)散。定理13（推廣厄爾馬可夫判別法）設(shè)為遞減的正值連續(xù)函數(shù)，為遞增可導(dǎo)函數(shù)，并滿足，如果若，則收斂；，則發(fā)散。例：判斷級數(shù)的斂散性解：令， 故級數(shù)發(fā)散。例：判

13、斷級數(shù) 的斂散性解：令， 故當(dāng)時(shí)，收斂，當(dāng)時(shí)，發(fā)散7.結(jié)束語正因?yàn)椴荒苷业揭粋€(gè)斂散得最慢的級數(shù)，使得級數(shù)斂散性的判別法靈活多變。即任何收斂的正項(xiàng)級數(shù)都存在著比它收斂得慢的正項(xiàng)級數(shù)，任何發(fā)散的正項(xiàng)級數(shù)都存在著比它發(fā)散得慢的正項(xiàng)級數(shù)。因此，企圖用選擇級數(shù)作為“比較標(biāo)準(zhǔn)”的方法，來建立對所有的正項(xiàng)級數(shù)斂散性判別都有效的判別法是不可能的。因此，對于級數(shù)斂散性的判別還在于靈活運(yùn)用。8.致謝經(jīng)過半年的忙碌和工作，本次畢業(yè)論文已經(jīng)接近尾聲，在這里首先要感謝我的指導(dǎo)老師胡松林教授。胡老師平日里工作繁多，但在我做畢業(yè)論文的每個(gè)階段，從初次選題到查閱資料，論文初稿的確定和修改，中期檢查，后期詳細(xì)設(shè)計(jì)等整個(gè)過程中都給予了我悉心的指導(dǎo)，還不惜把自己的研究成果讓我參考、借鑒，細(xì)心地糾正論文中的錯(cuò)誤并給予指導(dǎo)。如果沒有他的大力支持，此次論文的完成將變得非常困難。除了敬佩胡老師的專業(yè)水平外，他的治學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)和科學(xué)研究的精神也是我永遠(yuǎn)學(xué)習(xí)的榜樣，并將積極影響我今后的學(xué)習(xí)和工作，然后還要感謝大學(xué)四年來所有的老師，為我們打下堅(jiān)實(shí)的專業(yè)知識的基礎(chǔ)。最后祝各位評審老師身體健康，工作順利！9.參考文獻(xiàn):1 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（第三版）M.北京：高等教育出版社，2001.2 吉米多維奇，李榮凍譯.數(shù)學(xué)分析習(xí)題集M.北京：高等教育出版社，1958.3 關(guān)紅鈞.正項(xiàng)級數(shù)判斂法