微分方程與微分方程建模法

1、第三章微分方程模型微分方程與微分方程建模法微分方程知識簡介我們要掌握常微分方程的一些根底知識，對一些可以求解的微分方程及其方 程組，要求掌握其解法，并了解一些方程的近似解法。微分方程的體系：(1)初等積分法一階方程及幾類可降階為一階的方程(2)一階線性微分方程組常系數(shù)線性微分方程組的解法(3)高階線性微分方程高階線性常系數(shù)微分方程解法。其中還包括了常微分方程的根本定理0.常數(shù)變易法：常數(shù)變易法在上面的123三局部中都出現(xiàn)過，它是由線性齊次方程一階或高階或方程組的解經(jīng)常數(shù)變易后求相應(yīng)的非齊次方程或方程組的解的一種方法。1.初等積分法：掌握變量可別離方程、齊次方程的解法，掌握線性方程的解法， 掌握

2、全微分方程含積分因子的解法，會一些一階隱式微分方程的解法參 數(shù)法，會幾類可以降階的高階方程的解法恰當(dāng)導(dǎo)數(shù)方程。別離變量法：1可別離變量方程:dx f(x)g(y);M(x)N(y)dx P(x)Q(y)dy 0;(2)齊次方程:dy dx dy dxaxf(uxbyvyc);w常數(shù)變易法：(1)線性方程，y p(x)y f (x),(2)伯努里方程，y p(x)y f (x)yn,積分因子法：化為全微分方程，按全微分方程求解。對于一階隱式微分方程F(x,y,y) 0,有參數(shù)法：不含x或y的方程:F(x,y) 0,F(y,y )0;對于高階方程，有降階法：F(x,y(k),y(k 1),y(n)

3、F(y,y,y) 0;恰當(dāng)導(dǎo)數(shù)方程一階方程的應(yīng)用問題即建模問題2一階線性微分方程組：本局部主要內(nèi)容有：一是一階線性微分方程組的根本理論線性齊次、非齊次微分方程組的通解結(jié)構(gòu)，劉維爾公式等 ，二是常系數(shù) 線性微分方程組的解法求特征根，單根與重根 待定系數(shù)法 ，三是常數(shù)變易 法。本局部內(nèi)容與線性代數(shù)關(guān)系密切， 如線性空間，向量的線性相關(guān)與線性無關(guān)， 基與維數(shù)，特征方程、特征根與特征向量，矩陣的假設(shè)當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型等。3 高階線性微分方程： 了解高階線性微分方程的根本理論線性齊次、非齊次 微分方程的通解結(jié)構(gòu)，劉維爾公式等 ；n 階線性常系數(shù)微分方程解法 ：1求常系數(shù)齊次線性微分方程根本解組的 待定指數(shù)函數(shù)法；

4、2求一般非齊次線性方程解的常數(shù)變易法； 3求特殊型非 齊次常系數(shù)線性方程解的待定系數(shù)法； 4求解初值問題的拉普拉斯變換法；5 求二階線性方程的冪級數(shù)解法。4 常微分方程的根本定理 ：常微分方程的幾何解釋線素場 ，初值問題解的 存在與唯一性定理 條件與結(jié)論，求方程的近似解 歐拉折線法與畢卡逐次 逼近法，解的延展定理與比擬定理、 唯一性定理證明解的存在區(qū)間 如為左 右無窮大，奇解與包絡(luò)線，克萊羅方程。5 常微分方程的穩(wěn)定性理論： 掌握穩(wěn)定性的一些根本概念，以及運用特征根法 判斷常系數(shù)線性方程組的解的穩(wěn)定性，運用李雅普諾夫函數(shù)法判斷一般 方程組的解的穩(wěn)定性。6 常微分方程的定性理論： 掌握定性理論的

5、一些根本概念，運用特征根法判斷 奇點類型，極限環(huán)。7 差分方程。8 偏微分方程。二、 數(shù)學(xué)建模的微分方程方法微分方程作為數(shù)學(xué)科學(xué)的中心學(xué)科， 已經(jīng)有三百多年的開展歷史， 其解法和 理論已日臻完善，可以為分析和求得方程的解或數(shù)值解提供足夠的方法，使 得微分方程模型具有極大的普遍性、 有效性和非常豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)涵。 微分方程建 模包括常微分方程建模、 偏微分方程建模、 差分方程建模及其各種類型的方程組 建模。微分方程建模對于許多實際問題的解決是一種極有效的數(shù)學(xué)手段， 對于現(xiàn)實世界的變化，人們關(guān)注的往往是其變化速度、加速度以及所處位置隨時間的發(fā) 展規(guī)律，其規(guī)律一般可以用微分方程或方程組表示， 微分方程

6、建模適用的領(lǐng)域比 較廣，利用它可建立純數(shù)學(xué)特別是幾何模型，物理學(xué)如動力學(xué)、電學(xué)、核 物理學(xué)等模型，航空航天火箭、宇宙飛船技術(shù)模型，考古鑒定文物年代 模型，交通如電路信號，特別是紅綠燈亮的時間模型，生態(tài)人口、種群數(shù) 量模型，環(huán)境污染模型，資源利用人力資源、水資源、礦藏資源、運輸 調(diào)度、工業(yè)生產(chǎn)管理模型，生物遺傳問題、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)問題、動植物循環(huán)系統(tǒng) 模型，醫(yī)學(xué)流行病、傳染病問題模型，經(jīng)濟(jì)商業(yè)銷售、財富分布、資本主 義經(jīng)濟(jì)周期性危機(jī)模型，戰(zhàn)爭正規(guī)戰(zhàn)、游擊戰(zhàn)模型等。其中的連續(xù)模型適 用于常微分方程和偏微分方程及其方程組建模，離散模型適用于差分方程及其方 程組建模。下面，我們給出如何利用方程知識建立數(shù)學(xué)模

7、型的幾種方法。1 利用題目本身給出的或隱含的等量關(guān)系建立微分方程模型。這就需要我們仔細(xì)分析題目，明確題意，找出其中的等量關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型。例如在光學(xué)里面，旋轉(zhuǎn)拋物面能將放在焦點處的光源經(jīng)鏡面反射后成為平行 光線，為了證明具有這一性質(zhì)的曲線只有拋物線， 我們就是利用了題目中隱含的 條件一一入射角等于反射角來建立微分方程模型的5。又如在天文學(xué)、氣象學(xué)中 常用到的等角軌線，曲線或曲線族(C)，求曲線l等角軌線或正交軌線， 使I與(c)中每條曲線相交成給定的角度這是題目中明確給出的條件，即曲線的 切線相交成給定的角度，這樣，就在它們的導(dǎo)數(shù)之間建立了聯(lián)系，又題目中隱含的條件是：在I與(c)中曲線相交點

8、處，它們的函數(shù)值相等；這樣，我們只要求 出曲線或曲線族的微分方程，根據(jù)它們之間的聯(lián)系，就可以建立等角軌線的 微分方程模型，從而求出等角軌線的方程5 02 從一些的根本定律或根本公式出發(fā)建立微分方程模型。我們要熟悉一些常用的根本定律、根本公式。例如從幾何觀點看，曲線y=y(x)上某點的切線斜率 即函數(shù)y=y(x)在該點的導(dǎo)數(shù)；力學(xué)中的牛頓第二運動定律：f=ma,其中加速度a就是位移對時間的二階導(dǎo)數(shù)，也是速度對時間的一階導(dǎo)數(shù)；電學(xué)中的基爾霍夫定 律等。從這些知識出發(fā)我們可以建立相應(yīng)的微分方程模型。例如在動力學(xué)中，如何保證高空跳傘者的平安問題。對于高空下落的物體， 我們可以利用牛頓第二運動定律建立其

9、微分方程模型，設(shè)物體質(zhì)量為m,空氣阻力系數(shù)為k，在速度不太大的情況下，空氣阻力近似與速度的平方成正比；設(shè)時刻t時物體的下落速度為v，初始條件：v(o)0。由牛頓第二運動定律建立其微分方程模型：求解模型可得：由上式可知，當(dāng)tdvm 一dtmg kv2vmg(exp2tj蜃i) mv 、k(exp2t時，物體具有極限速度:lim vt其中，阻力系數(shù)k s, 為與物體形狀有關(guān)的常數(shù)，為介質(zhì)密度，s為物 體在地面上的投影面積。根據(jù)極限速度求解式子，在m, 一定時，要求落地速 度vi不是很大時，我們可以確定出s來，從而設(shè)計出保證跳傘者平安的降落傘的 直徑大小來。導(dǎo)數(shù)是微積分中的一個重要概念，其3利用導(dǎo)數(shù)

10、的定義建立微分方程模型。 定義為f (x)limf(xx) f(X)X商式一y表示單位自變量的改變量對應(yīng)的函數(shù)改變量，就是函數(shù)的瞬時平均變化x率，因而其極限值就是函數(shù)的變化率。 函數(shù)在某點的導(dǎo)數(shù)，就是函數(shù)在該點的變 化率。由于一切事物都在不停地開展變化， 變化就必然有變化率，也就是變化率 是普遍存在的，因而導(dǎo)數(shù)也是普遍存在的。這就很容易將導(dǎo)數(shù)與實際聯(lián)系起來， 建立描述研究對象變化規(guī)律的微分方程模型。例如在考古學(xué)中，為了測定某種文物的絕對年齡，我們可以考察其中的放射 性物質(zhì)如鐳、鈾等，已經(jīng)證明其裂變速度單位時間裂變的質(zhì)量，即其變化 率與其存余量成正比。我們假設(shè)時刻t時該放射性物質(zhì)的存余量R是t的

11、函數(shù), 由裂變規(guī)律，我們可以建立微分方程模型： 期中k是一正的比例常數(shù)，與放射性物質(zhì)本身有關(guān)。求解該模型，我們解得:dRdtkRR Ce kt，其中c是由初始條件確定的常數(shù)。從這個關(guān)系式出發(fā)，我們就可以測定某文物的絕對年齡。參考碳定年代法另外，在經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域中，導(dǎo)數(shù)概念有著廣泛的應(yīng)用，將各種函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)即 函數(shù)變化率稱為該函數(shù)的邊際函數(shù)，從而得到經(jīng)濟(jì)學(xué)中的邊際分析理論。4利用微元法建立微分方程模型。一般的，如果某一實際問題中所求的變量p符合以下條件：p是與一個變量t的變化區(qū)間a, b有關(guān)的量；p對于區(qū)間a, b具有可加性；局部量 Pi的近似值可表示為f( i) ti。那么就可以考慮利用微元法來建

12、立微分方程模型，其步驟是：首先根據(jù)問題的具體情況，選取一個變量例 如t為自變量，并確定其變化區(qū)間a, b；在區(qū)間a, b中隨便選取一個任意小的區(qū) 間并記作t,t dt，求出相應(yīng)于這個區(qū)間的局部量p的近似值。如果 p能近似的標(biāo)示為a, b上的一個連續(xù)函數(shù)在t處的值f (t)與dt的乘積，我們就把f (t )dt稱為量p的微元且記作dp。這樣，我們就可以建立起該問題的微分方程模型:dp f (t)dt。對于比擬簡單的模型，兩邊積分就可以求解該模型例如在幾何上求曲線的弧長、平面圖形的面積、旋轉(zhuǎn)曲面的面積、旋轉(zhuǎn)體 體積、空間立體體積；代數(shù)方面求近似值以及流體混合問題；物理上求變 力做功、壓力、平均值、

13、靜力矩與重心 ；這些問題都可以先建立他們的微分方 程模型，然后求解其模型。在2005年的全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽 A題原題見競賽試題中，對于長 江流域的三類主要污染物-溶解氧，高錳酸鹽指數(shù)與氨氮污染，我們運用微元 法，建立了其含參數(shù)的微分方程模型， 并用平均值法估計出了其參數(shù)，具體求出 了他們的解，之后，我們又給出了他們統(tǒng)一的微分方程模型及其求解公式。5 熟悉一些經(jīng)典的微分方程模型，對一些類似的問題，經(jīng)過稍加改進(jìn)或直接套 用這些模型。多年來，在各種領(lǐng)域里，人們已經(jīng)建立起了一些經(jīng)典的微分方程模型，熟悉這些模型對我們是大有裨益的。下面，我們僅以 人口問題為例，說明 用常微分方程、偏微分方程和差分方程

14、建立的人口問題模型。1常微分方程模型設(shè)Nt為時刻t人口總數(shù)，r m n為人口的增長率，其中 m,n分別為出生率與死亡率，他們可以是t的函數(shù)。1798年，英國神父Malthus建立了最簡單的人 口增長模型為N (t) rN(t)得出了人口按幾何級數(shù)增長的結(jié)論。此結(jié)論在短時期內(nèi)與人口的實際增長吻合得 比擬好，時間越長誤差越大。經(jīng)過對一些地區(qū)具體人口資料的分析， 發(fā)現(xiàn)在人口 基數(shù)較少時，人口的繁衍增長起重要作用，人口的自然增長率r根本為常數(shù)，但隨著人口基數(shù)的增加，人口增長將越來越受自然資源、 環(huán)境條件等的限制。此時 人口的自然增長率是變化的，即人口的自然增長率與人口數(shù)量有關(guān)。18378年，荷蘭生物學(xué)

15、家 P。F。Verhulst修改了上述模型，引入本地區(qū)自然 資源和環(huán)境條件允許下的最大人口數(shù)目為 P。，給出了類似于電感器產(chǎn)生阻抗的生物反應(yīng)因子1罟，將Malthus模型中的假設(shè)條件“，人口自然增長率為常數(shù)修正為人口自然增長率為r1 四汀0 ，得出上述模型的修正模P。型N t rNt1 響P。該模型為著名的Logistic邏輯斯諦模型，方程為變量別離方程，帶入初始條件Nt。 N。，可以求出其解。上述模型對單種群群體規(guī)模的變化規(guī)律是很好地描述。2差分方程模型上面考慮的是人口群體變化的規(guī)律問題，該模型沒有考慮種群的年齡結(jié)構(gòu)，種群的數(shù)量主要由總量的固有增長率決定。 但不同年齡的人的繁殖率和死亡率有著

16、明顯的不同?？紤]按年齡分組的種群增長模型，我們介紹Leslie在20世紀(jì)40年代建立的一個具有年齡結(jié)構(gòu)的人口離散模型。我們將人口按年齡劃分成 m個年齡組，即1, 2,m組。此處還隱含假定所有人的年齡不能超過m組的年齡?，F(xiàn)將時間也離散為時段tk,k 1,2,3,，并且tk的間隔與年齡區(qū)間大小相等。記時段tk第i年齡組的種群數(shù)量為xdk)，記tk時段種群各年齡組的分布向量為X(k)xi(k)X2(k)Xm(k)那么我們可以建立人口增長的差分方程模型為X(k 1) LX(k), k 0,1,此處L為矩陣。當(dāng)to時段各年齡組的人數(shù)時，即 X(0)時，可以求 得tk時段的按年齡組的分布向量X(k)為X(k) LkX(0),k1,2,3,由此可以算出各時段的種群總量 。3偏微分方程模型當(dāng)我們要考察的量同時與兩個變量有關(guān)時，要想描述其變化率的關(guān)系，那么通常要用偏微分方程模型來描述。下面介紹考慮人口年齡的連續(xù)