高中不等式例題(超全超經(jīng)典)

1、一.不等式的性質(zhì)：二,不等式大小比較的常用方法：1 .作差：作差后通過分解因式、配方等手段判斷差的符號得出結(jié)果；2 .作商（常用于分數(shù)指數(shù)基的代數(shù)式）；3.分析法；4.平方法；5.分子（或分母）有理化；6.利用函數(shù)的單調(diào)性；7.尋找中間量或放縮法；8.圖象法。其中比較法（作差、作商）是最基 本的方法。三.重要不等式1. （1）若 a,bwR,則 a+b2 22ab （2）若 a,b w R,則 ab« 匚直（當(dāng)且僅當(dāng) a =b 時取“二”）22. （1）若a,b$R,，則史士之）石（2）若a.bc R",則a+bN2j京（當(dāng)且僅當(dāng)a = b時取" = "

2、）若a.bwR)則abK（當(dāng)且僅當(dāng)a =b時取“一）3當(dāng);T > T ,即廠尢+ 1 > 0時，y >+ 5 = 9 (當(dāng)仁2即x=l時取"=”號)3 .若x>0,則x+N2 （當(dāng)且僅當(dāng)x=l時取“二”）： X若x<0,則x+L4-2 （當(dāng)且僅當(dāng)x=-l時取“二”） X若ab>0,則色+八2 （當(dāng)且僅當(dāng)a = b時取“ 二 ”）b a4 .若a.beR,則（山）2 4+b?（當(dāng)且僅當(dāng)a = b時取“ 二 ”）22注：（1）當(dāng)兩個正數(shù)的積為定植時，可以求它們的和的最小值，當(dāng)兩個正數(shù)的和為定植時，可以求 它們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大

3、”.（2）求最值的條件“一正，二定，三取等”（3）均值定理在求最值、比較大小、求變量的取值范用、證明不等式、解決實際問題方面有廣泛 的應(yīng)用.2abf a+b / aJ+bJ應(yīng)用一：求最值例1：求下列函數(shù)的值域（1） y=3x?+生（2） y=x+;/XX解題技巧:技巧一：湊項例1：已知XV上，求函數(shù)y = 4x-2 +一的最大值。44x-5評注：本題需要調(diào)整項的符號，乂要配湊項的系數(shù)，使其積為定值。技巧二：湊系數(shù)例1.當(dāng)OuN<4時，求y=x（8-2x）的最大值。技巧三：分離 例3.求y=±±2£（x>-1）的值域。 X+1技巧四：換元解析二：本題看似

4、無法運用基本不等式，可先換元，令t=x+l,化簡原式在分離求最值。(t-l)2 + 7(t-l)+10_t2 + 5t + 4 , 4+5技巧五：注意：在應(yīng)用最值定理求最值時，若遇等號取不到的情況，應(yīng)結(jié)合函數(shù)f(x) = x+4的單X調(diào)性。例：求函數(shù)y= %上的值域。Vx2+4解：令+4 = t(t > 2) » 則 y =1 + 5 = x2 +4 + J = t + -(t > 2)&+4Vx2 + 4 t因t>O,t； = l,但1 =；解得1=±1不在區(qū)間2,+8),故等號不成立，考慮單調(diào)性。因為y = t + ；在區(qū)間口,+8)單調(diào)遞增，

5、所以在其子區(qū)間2,+8)為單調(diào)遞增函數(shù)，故yzg。所以，所求函數(shù)的值域為2.已知Ovxvl,求函數(shù)y=joi-x)的最大值.；3. 0<x<|,求函數(shù)y="x(2-3x)的最大值. 條件求最值1.若實數(shù)滿足a+b = 2,則3，+3b的最小值是.分析：“和”到“積”是一個縮小的過程，而且3“3b定值，因此考慮利用均值定理求最小值，解：3a 和3b 都是正數(shù)，3a + 3b 2>/3a - 3b = 6當(dāng)3a =36時等號成立，由a + b = 2及3" =3b得a=b = l即當(dāng)a=b = l時，3，+3b的最小值是6.變式：若logx+log4 y= 2

6、,求的最小值.并求尤y的值 x y技巧六：整體代換：多次連用最值定理求最值時，要注意取等號的條件的一致性，否則就會出錯。1 92：己知x>0,y>0,且一+ = 1,求x+y的最小值。 x y應(yīng)用二，利用基本不等式證明不等式1 .已知a,b,c為兩兩不相等的實數(shù)，求證：a2 +b2 +c2 > ab + bc + ca1)正數(shù)a, b, c 滿足 a + b+c=l,求證：(1 a)(l b)(l c)8abc例 6：已知 a、b、ceR-,且a+b+c = l。求證：分析：不等式右邊數(shù)字8,使我們聯(lián)想到左邊因式分別使用基本不等式可得三個“2”連乘，又 3_1 =匕=把2亞，

7、可由此變形入手。a a a a解：.a、b、cg R' , a+b+c = l。/. -1 =o 同理2一 1 n 2y， 1-1>22EOa a a ab be c上述三個不等式兩邊均為正，分別相乘，得仕一1化_力仕_1卜多且左上 = 8。當(dāng)且僅當(dāng)a = b = c時取等號。人b 人 c 1abe3應(yīng)用三：基本不等式與恒成立問題1 Q例：已知x>0,y>0且一+ = 1,求使不等式x+ y2m恒成立的實數(shù)m的取值范圍。 x y田人 , 八 c 19, x+y9x+9y,10y9x,解： 令x+ y = k.x>0,y>0, + = 1, - + = 1.

8、/. + + = 1xykx kykkxky103、1 2, o/.kN 16 , inG(應(yīng)用四：均值定理在比較大小中的應(yīng)用：例：若a >b > 1,P = >/iga -lgb,Q = ：(lga + lgb),R= lg( ；b),則 p q r的大小關(guān)系是分析:Va>b>llg a > 0, lg b > 0 Q =(lga +' b)> Jlga-lgb = p：.R>QR = Igd +與 > lg Vab = lgab = Q 22四.不等式的解法.1 .一元一次不等式的解法.2.一元二次不等式的解法3 .筒單的

9、一元高次不等式的解法：標(biāo)根法：其步驟是：(1)分解成若干個一次因式的積，并使每一 個因式中最高次項的系數(shù)為正；(2)將每一個一次因式的根標(biāo)在數(shù)軸上，從最大根的右上方依 次通過每一點畫曲線；并注意奇穿過偶彈回：(3)根據(jù)曲線顯現(xiàn)f(x)的符號變化規(guī)律，寫出 不等式的解集。如(1)解不等式(x-1)(x+2)2>0。(答：x| xNl 或 x=-2)；(2)不等式(x2)Jx2_2x30的解集是(答：x| x>3iiX x=-l)；(3)設(shè)函數(shù)f(x)、g(x)的定義域都是R,且f(xR0的解集為x|l«x<2, g(x)N0的解集 為0,則不等式f(x)Eg(x)&g

10、t;0的解集為(答：(7d,1)U2,)；(4)要使?jié)M足關(guān)于x的不等式2x2-9x+a<0 (解集非空)的每一個x的值至少滿足不等式 x? -4x+3 <0和犬-6x+8 <0中的一個，則實數(shù)a的取值范圍是.(答：7,當(dāng)) O4 .分式不等式的解法：分式不等式的一般解題思路是先移項使右邊為0,再通分并將分子分母分 解因式，并使每一個因式中最高次項的系數(shù)為正.最后用標(biāo)根法求解。解分式不等式時，一 般不能去分母，但分母恒為正或恒為負時可去分母。如(1)解不等式<7x2-2x-3(答：(1,1)11(2,3)；(2)關(guān)于X的不等式ax-b>°的解集為Q,+8)

11、'則關(guān)于X的不等式巖>°的解集為(答：(-oo-l)U(2,+oo).5 .指數(shù)和對數(shù)不等式.6,絕對值不等式的解法:(1)含絕對值的不等式|x|Va與|x|>a的解集(2) ax+b Wc(c>0)和 ax+b| 2c (c>0)型不等式的解法 ax+b WcO-cWax+bWc; ax+b 2c。ax+b2c 或 ax+bW-c.(3) x-a | + x-b | 2c (c>0)和 | x-a +1 x-b Wc (c>0)型不等式的解法 方法一：利用絕對值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想； 方法二：利用“零點分段法”求解，

12、體現(xiàn)了分類討論的思想；方法三：通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想。 方法四：兩邊平方。例1：解下列不等式：(1). x2-2x|>x(2). 4 V【解析】：(1)解法一(公式法)原不等式等價于x2-2x>x或x2-2x<-x解得x>3或x<0或0<xl原不等式的解集為 x I x<0或0<x<l或x>3 解法2 (數(shù)形結(jié)合法)作出示意圖，易觀察原不等式的解集為 x | x<0或0<x<l或x>3 第(1)題圖第(2)題圖【解析】：此題若直接求解分式不等式組，略顯復(fù)雜，且容易解答錯誤；若能

13、結(jié)合反比例函數(shù)圖象，則解集為x|xg或x<-：,結(jié)果一目了然。例2：解不等式：|x|>lX5【解析】作出函數(shù)f（x） = |x和函數(shù)g（x）=X的易知解集為（8,0） 3 +oo）3解不等式.|x+l|-|x-lB 士例 3：2?！窘夥?】令-2(x<-l)g(x) =| x+l|-| x-l|=< 2x(-1 < x<l)2(x>l)h(x)=令 2,分別作出函數(shù)g(x)和h(x)4【解法2】原不等式等價于3 g(x)=(x+l|,h(x)=|x-l| + -的圖象，知原不等式的解集為|X+1|>|+|X_1|分別作出函數(shù)g（x）和h（x）的圖

14、象，易求出g（X）和h（X）的圖象的交點坐標(biāo)為9q）I x+l I I X11> "7，+8）所以不等式2的解集為4|x+l|-|x-l|>【解法3】由2的幾何意義可設(shè)F1 （ 一1 , 0 ), F 2 ( 1 , 0 ), M (x, y),3oMF1一 MF）= -2.若-2,可知M的軌跡是以Fl、F2為焦點的雙曲線的右支，其中右頂點為（"0 ）,3_2,由雙曲線的圖象和I x+l I - I X-1 I 2亍知x24.7.含參不等式的解法：求解的通法是“定義域為前提，函數(shù)增減性為基礎(chǔ)，分類討論是關(guān)鍵 注意解完之后要寫上：“綜上，原不等式的解集是"

15、;。注意：按參數(shù)討論，最后應(yīng)按參數(shù)取值分別 說明其解集；但若按未知數(shù)討論，最后應(yīng)求并集.如（1）若則a的取值范圍是（答：a1 或0<a <-）； 3（2）解不等式ax2ax-1> x(a g R)11(答：a = 0 時，x | x < 0 ； a>0 時，x| x> ilK x<0 ； avO 時，x | < x < 0 x < 0) aa提醒：(1)解不等式是求不等式的解集，最后務(wù)必有集合的形式表示；(2)不等式解集的端 點值往往是不等式對應(yīng)方程的根或不等式有意義范圍的端點值。如關(guān)于x的不等式ax-b>0的解 集為(-8,1

16、)，則不等式=二_>。的解集為 (答：(- 1,2)ax+b例2求函數(shù)y = |x-3|-|x+1的最大和最小值：(2)設(shè)awR,函數(shù) f(x)= ax2 + x-a(-l < x<l).若同求|f(x)的最大值例3.兩個施工隊分別被安排在公路沿線的兩個地點施工，這兩個地點分別位于公路路牌的第lOkir. 和第20km處現(xiàn)要在公路沿線建兩個施工隊的共同臨時生活區(qū)，每個施工隊每天在生活區(qū)和施工地 點之間往返一次.要使兩個施工隊每天往返的路程之和最小，生活區(qū)應(yīng)該建于何處？七.證明不等式的方法：比較法、分析法、綜合法和放縮法(比較法的步驟是：作差(商)后通過 分解因式、配方、通分等

17、手段變形判斷符號或與1的大小，然后作出結(jié)論。).常用的放縮技巧有：-=!<4<n n + 1 n(n + l) it n(n-l) n-1 nyjk+l-y/k = I =< != y1k-yjk+lyk+1 +y k1 + yk如(1)已知 a>b>c,求證：a2b + b2c + c2a > ab2 +bc2 +ca2 ；(2)已知a,b,ccR,求證：a2b2 +b2c2 +c2a2 > abc(a +b + c)；(3) 已知a,b,x,yw R-,y, 求證：一一；a bx+a y+b(4)若a、b、c是不全相等的正數(shù)，求證：1g匕 + lg

18、"£ + lg±W>lga + lgb + lgc ；2 2一(5)已知a,b,cwR,求證：a2b2+b2c2 +c2a2 > abc(a+b + c)：(6)若nwN*,求證：5/(n+1)2+1-(n+1) < >/n2+l-n：(7)己知|a罔b,求證：巖三*4書胃；I a-b|a +b |(8)求證：1 + U +±+ -+3<2。2- 3-n-J.不等式的恒成立,能成立，恰成立等問題：不等式恒成立問題的常規(guī)處理方式？(常應(yīng)用函數(shù) 方程思想和“分離變量法”轉(zhuǎn)化為最值問題，也可抓住所給不等式的結(jié)構(gòu)特征，利用數(shù)形結(jié) 哈*去)1) .蝠成立問題若不等式f(x)> A在區(qū)間D上恒成立,則等價于在區(qū)間D上“封后> A若不等式f(x)<B在區(qū)間D上恒成立,則等價于在區(qū)間D上f(x)nwt<B如(1)設(shè)實數(shù)x,y滿足x(y-1)、1,當(dāng)x+y+cNO時，c的取值范圍是(答：V2-l,-w)；(2)不等式|x-4| + |x-3|>a對一切實數(shù)x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍(答：a<l)；(