線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用舉例

1、1=4。線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用舉例為了便于同學(xué)們掌握線性規(guī)劃的一般理論和方法，本文擬就簡單的線性規(guī)劃(即兩個(gè)變量的線性規(guī)劃)的實(shí)際應(yīng)用舉例加以說明。1物資調(diào)運(yùn)中的線性規(guī)劃問題例1 A, B兩倉庫各有編織袋 50萬個(gè)和30萬個(gè)，由于抗洪搶險(xiǎn)的需要，現(xiàn)需調(diào)運(yùn)40萬個(gè)到甲地，20萬個(gè)到乙地。已知從 A倉庫調(diào)運(yùn)到甲、乙兩地的運(yùn)費(fèi)分別為120元/萬個(gè)、180元/萬個(gè)；從B倉庫調(diào)運(yùn)到甲、乙兩地的運(yùn)費(fèi)分別為100元/萬個(gè)、150元/萬個(gè)。問如何調(diào)運(yùn)，能使總運(yùn)費(fèi)最??？總運(yùn)費(fèi)的最小值是多少 ？解：設(shè)從A倉庫調(diào)運(yùn)x萬個(gè)到甲地，y萬個(gè)到乙地，總運(yùn)費(fèi)記為z元。那么需從 B倉庫調(diào)運(yùn)40-x萬個(gè)到甲地，調(diào)運(yùn) 20-y萬個(gè)到乙

2、地。產(chǎn)"50,(40 -冷 + (20 -y)< 30, <0<xi 40, 從而有"屋20.z=120x+180y+100(40-x)+150 (20-y)=20x+30y+7000。作出以上不等式組所表示的平面區(qū)域(圖1),即可行域。令 z'=z-7000=20x+30y.作直線 l: 20x+30y=0 ,把直線l向右上方平移至li的位置時(shí)，直線經(jīng)過可行域上的點(diǎn)M(30 , 0),且與原點(diǎn)距離最小，即 x=30 , y=0 時(shí)， z'=20x+30y 取得最小值，從而 z=z'+7000=20x+30y+7000 亦取得最小值

3、， zmin=20 X30+30 0+7000=7600(元)。答：從A倉庫調(diào)運(yùn)30萬個(gè)到甲地，從 B倉庫調(diào)運(yùn)10萬個(gè)到甲地，20萬個(gè)到乙地，可使總 運(yùn)費(fèi)最小，且總運(yùn)費(fèi)的最小值為7600元。2產(chǎn)品安排中的線性規(guī)劃問題例2某飼料廠生產(chǎn)甲、乙兩種品牌的f料，已知生產(chǎn)甲種飼料1噸需耗玉米0.4噸，麥萩0.2噸，其余添加劑 O.4yk做M +級yr。A X噸；生產(chǎn)乙種飼料 1噸需耗玉米0.5噸，麥萩0.3噸，其余添加劑 0.2噸。每1噸甲種飼料的利潤是 400元，每1噸乙種飼料的利潤是 500元?？晒╋暳蠌S生產(chǎn)的玉米供應(yīng) 量不超過600噸，麥萩供應(yīng)量不超過500噸，添加劑供應(yīng)量不超過300噸。問甲、乙

4、留2例2據(jù)兩種飼料應(yīng)各生產(chǎn)多少噸（取整數(shù)），能使利潤總額達(dá)到最大？最大利潤是多少？分析：將已知數(shù)據(jù)列成下表 1表1 例2表甲種飼料（1噸）乙種包料貴源限馥（1噸）（噸）玉米（噸）10.40,5600麥默3) - - .0 20.3500其余軍加劑（噸）0.40.2300利潤（元）400500解：設(shè)生產(chǎn)甲、乙兩種飼料分別為x噸、y噸，利潤總額為 z元，那么r0.4x + 0.5< 600,Q, 2工+ 0,3伊 4 500,* 0,4+ 0,2 <300,z> 0, x為整數(shù)，y2。產(chǎn)為整數(shù)，z=400x+500y 。作出以上不等式組所表示的平面區(qū)域（圖2）即可行域。作直線l:

5、 400x+500y=0。并把l向右上方平移，由于 I： 4x+5y=6000與l平行，所以線段 MN上所有坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)（整點(diǎn)）都是最優(yōu)解。易求得 M（250 , 1000）, N（0 , 1200）。取整點(diǎn) M（250 , 1000）,即 x=250, y=1000 時(shí)，Zmax=400 >250+500 X000=600000（元）=60（萬元）。答：可安排生產(chǎn)甲種飼料 250噸，乙種飼料1000噸，能使利潤總額達(dá)到最大。最大利潤為 60萬元。注：課本題中出現(xiàn)的線性規(guī)劃問題大都有唯一的最優(yōu)解。例2使我們認(rèn)識到最優(yōu)解的個(gè)數(shù)還有其他可能，這里不再深入探究。3配料與下料中的線性規(guī)劃問題

6、例3甲、乙、丙三種食物的維生素A, B含量及成本如表 2表2 例3表甲乙丙1維生素A（單位/千克）600700400維生素B（單位/千克）800400500成本（元/千克）1194某食物營養(yǎng)研究所想用xkg甲種食物，ykg乙種食物，zkg丙種食物配成100kg混合食物,并使混合物至少含有 56000單位維生素 A和63000單位維生素 B。1）用x, y表示混合食物的成本 c（元）；2）確定x, y, z的值，使成本最低。解：1）依題意有：7 >0,y >0,* 600K + 700y + 400z 2 56000 ./I)800兀+ 400尸十 500? > 63000 .

7、 .(2)x+y+z=100c=11x+9y+4z(4)由(3)得 z=100-x-y ,代入(4)得:"+ 為2160, 核-y 2130c=11x+9y+4(100-x-y)=7x+5y+400,其中 x>0, y>02）將z=100-x-y代入（1）, （2）,并化簡，得k >0R1八0,以十 3y 2 160,作出不等式組 l3x -130，所表示的平面區(qū)域（圖3）,即可行域圖3例3圖作直線l: 7x+5y=0 ,把直線l向右上方平移至li的位置時(shí)，直線經(jīng)過可行域上的點(diǎn)M,且與原點(diǎn)的距離最小。J2x + 3y = 160,卜=50,.3x-y = 130,

8、日一上帕皿Iy = 20,由I J ' 求得M點(diǎn)的坐標(biāo),I,故當(dāng)x=50, y=20時(shí)，7x+5y取得最小值， c=7x+5y+400 亦取得最小值，Cmin=7 X50+5 >20+400=850。答：1） c=7x+5y+400（x >0, y>0）;2）當(dāng) x=50 , y=20 , z=30 時(shí)，成本 c 最低。例4現(xiàn)有2m及3m長的條鋼各10根，需截成0.6m和0.8m長兩種規(guī)格的零件毛坯，其中 0.6m長的毛坯需20個(gè)，0.8m長的毛坯需30個(gè)，為使材料不浪費(fèi)，且使所用條鋼根數(shù)最小，該 如何設(shè)計(jì)下料方案。解：為使材料不浪費(fèi)，2m長的條鋼可截成 0.6m長的

9、毛坯2個(gè)，0.8m長的毛坯1個(gè)，3m長 的條鋼可截成 0.6m長的毛坯1個(gè)，0.8m長的毛坯3個(gè)。2才+ ,2 20,x + 3> > 30,0,工410,一， 一 ,0<y<10設(shè)需截2m長的條鋼x根，3m長的條鋼y根，則 丁作出可行域（如圖4）,目標(biāo)函數(shù)為z=x+y.此直線經(jīng)作出一組平行線 x+y=t（t為參數(shù)）中，經(jīng)過可行域內(nèi)的點(diǎn)且和原點(diǎn)距離最近的直線,過直線 2x+y=20 和直線x+3y=30 的交點(diǎn) M（6 ， 8）。故當(dāng) x=6 ， y=8 時(shí)，z=x+y 取最小值。答： 符合條件的下料方案是：使用2m 長的條鋼6 根、 3m 長的條鋼8 根。通過上述例題，不難發(fā)現(xiàn)，簡單的線性規(guī)劃在實(shí)際生活中有較廣泛的應(yīng)用。在工業(yè)、農(nóng)業(yè)、商業(yè)、交通運(yùn)輸業(yè)、軍事、經(jīng)濟(jì)計(jì)劃和管理決策等許多領(lǐng)域都常常使用線性規(guī)劃方法。線性規(guī)劃的理論和方法主要在兩類問題中得到應(yīng)用：一是征人力、物力、資金等資源一定的條件下，如何使用它們來完成最多的任務(wù)；二是給定一項(xiàng)任務(wù)，如何合理安排和規(guī)劃，能以最少的人力、物力、 資金等資源來完成該項(xiàng)任務(wù)。對