級數(shù)斂散性判別方法的歸納

1、級數(shù)斂散性判別方法的歸納 西北師大摘 要：無窮級數(shù)是?數(shù)學分析?中的一個重要組成局部，它是研究函數(shù)、進行數(shù)值運算及數(shù)據(jù)分析的一種工具，目前，無窮級數(shù)已經(jīng)滲透到科學技術(shù)的很多領(lǐng)域，因而級數(shù)收斂的判別在級數(shù)的研究中亦顯得尤為重要，然而判定級數(shù)斂散性的方法太多，學者們一時很難把握，本文對級數(shù)的斂散性的判別方法作了全面的歸納，以期對學者們有所幫助。關(guān)鍵詞：級數(shù) ；收斂；判別 ；發(fā)散 一. 級數(shù)收斂的概念和根本性質(zhì)給定一個數(shù)列，形如 稱為無窮級數(shù)(常簡稱級數(shù)),用表示。無窮級數(shù)的前n項之和，記為= 稱它為無窮級數(shù)的第n個局部和，也簡稱局部和。假設(shè)無窮級數(shù)的局部和數(shù)列收斂于s.那么稱無窮級數(shù)收斂，假設(shè)級數(shù)

2、的局部和發(fā)散那么稱級數(shù)發(fā)散。研究無窮級數(shù)的收斂問題，首先給出大家熟悉的收斂級數(shù)的一些根本定理：定理1 假設(shè)級數(shù)和都收斂，那么對任意的常數(shù)c和d，級數(shù)亦收斂，且=c+d定理2 去掉、增加或改變級數(shù)的有限個項并不改變級數(shù)的斂散性定理3 在收斂級數(shù)的項中任意加括號，既不改變級數(shù)的收斂性，也不改變它的和。定理4 級數(shù)收斂的充要條件是：任給0，總存在自然數(shù)N，使得當mN和任意的自然數(shù)，都有以上是收斂級數(shù)的判別所需的一些最根本定理，但是，在處理實際問題中，僅靠這些是遠遠不夠的，所以在級數(shù)的理論中必須建立一系列的判別法，這就是本文的主要任務(wù)。由于級數(shù)的復(fù)雜性，以下只研究正項級數(shù)的收斂判別。二 正項級數(shù)的收斂

3、判別各項都是由正數(shù)組成的級數(shù)稱為正項級數(shù)，正項級數(shù)收斂的充要條件是：局部和數(shù)列有界，即存在某正整數(shù)M，對一切正整數(shù) n有M。從根本定理出發(fā)，我們可以由此建立一系列根本的判別法1 比擬判別法設(shè)和是兩個正項級數(shù),如果存在某正數(shù)N，對一切nN都有，那么i級數(shù)收斂，那么級數(shù)也收斂；ii假設(shè)級數(shù)發(fā)散，那么級數(shù)也發(fā)散。例 1 . 設(shè)收斂，證明：收斂>0.證明：因為 0<<易知：收斂積分判別法，又收斂，所以收斂。由比擬判別法知收斂>0.例 2 . 證明：級數(shù)都是條件收斂的。 證： 不妨設(shè)x>0,那么>0，當n>時，0<<,此時,且為單調(diào)遞減數(shù)列，且=0。

4、由萊布尼茨判別法知收斂。而當n>時， =>0，=1又發(fā)散，由比擬判別法知也發(fā)散。所以，級數(shù)都是條件收斂的。例 3. 證明級數(shù)收斂 證： 0< = < = . = = =0 由比值判別法知收斂，再由比擬判別法知收斂，即有：級數(shù)收斂。根據(jù)比擬原那么，我們得到了兩個更為實用的判別法，即柯西判別法和達朗貝爾判別法。2 柯西判別法根式判別法設(shè)為正項級數(shù)，且存在某正整數(shù)及正常數(shù)，i假設(shè)對一切n，成立不等式1，那么級數(shù)收斂。ii假設(shè)對一切n，成立不等式那么級數(shù)發(fā)散。例 1 . 判別級數(shù)的斂散性。解：因為 = 所以由根式判別法知級數(shù)收斂。3 達朗貝爾判別法比值判別法 設(shè)為正項級數(shù)，且存

5、在某正整數(shù)及常數(shù)q0q1. i假設(shè)對一切n，成立不等式q，那么級數(shù)收斂。ii假設(shè)對一切n，成立不等式那么級數(shù)發(fā)散。例 1 .判別級數(shù)的斂散性。 解：因為 = = >1 所以由比式判別法知級數(shù)發(fā)散。4積分判別法積分判別法是利用非負函數(shù)的單調(diào)性和積分性質(zhì)，并以反常積分為比擬對象來判斷正項級數(shù)的斂散性。設(shè)f為1，+ )上非負減函數(shù)，那么正項級數(shù)與反常積分同時收斂或同時發(fā)散。例 1 .判別級數(shù)的斂散性。 解：設(shè)f(x)= ,那么f(x)在3，+ 上非負遞減。假設(shè)，這時有= = 當小q1時級數(shù)收斂；當小q 1時級數(shù)發(fā)散； 假設(shè),這時有= 對任意的q，當時，取t>1,有=0 即該積分收斂。當時

6、，有 =即該積分發(fā)散。5拉貝判別法設(shè)為正項級數(shù)，且存在某正整數(shù)及常數(shù)r，i假設(shè)對一切n，成立不等式1，那么級數(shù)收斂。ii假設(shè)對一切n，成立不等式那么級數(shù)發(fā)散。例 1 .判別級數(shù)x>0的斂散性。解：因為 = 1- = 所以由拉貝判別法知，當小x1時級數(shù)收斂；當小x 1時級數(shù)發(fā)散；6對數(shù)判別法對于正項級數(shù)，如果存在，那么當q>1時，級數(shù)收斂；當q<1時，級數(shù)發(fā)散。例 1判別級數(shù)=的斂散性。證明： = =ln 5>1因此有對數(shù)判別法可知級數(shù)=收斂。7雙比值判別法對于正項級數(shù)，如果存在= = ，那么當< 時，級數(shù)收斂；當>時，級數(shù)發(fā)散。 例 1判別級數(shù)的斂散性。 證

7、明：因為=由此知級數(shù)收斂。 例 2 判別級數(shù)的斂散性。 證明：這里，即> 有 = = = > 所以級數(shù)發(fā)散。8高斯判別法設(shè)是嚴格正項級數(shù)，并設(shè)=+，那么關(guān)于級數(shù)的斂散性，有以下結(jié)論：i如果>1，那么級數(shù)收斂；如果<1，那么級數(shù)發(fā)散。ii如果=1，>1，那么級數(shù)收斂；如果=1，<1，那么級數(shù)發(fā)散。iii如果=1，>1，那么級數(shù)收斂；如果=1，<1，那么級數(shù)發(fā)散。例1 Gauss 超幾何級數(shù)1+的斂散性，其中均為非負常數(shù)。解：因為=又因為=1-+，=1-+，所以=1+。根據(jù)高斯判別法可以判別： 如果x<1;或者x=1, ,那么級數(shù)收斂。 如果x>1;或者x=1, ,那么級數(shù)發(fā)散。參考文獻1華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析第三版.下冊M.北京：高等教育出版社，2001.2李春江.級數(shù)收斂的判別方法J.34楊鐘玄.雙比值判別法與對數(shù)判別法的比擬J.四川師范大學學報，2004，1：57-6