相似矩陣的性質(zhì)及應(yīng)用

1、華北水利水電大學(xué)相似矩陣的性質(zhì)及應(yīng)用課程名稱：線性代數(shù)專業(yè)班級(jí)：成員組成：聯(lián)系方式：2013年11月6日摘要：若矩陣P可逆,則矩陣PTAP與A稱為相似。矩陣相似的概念是為深入研究矩陣特性而提出的，其中一部分的問題可以轉(zhuǎn)化為與一個(gè)對(duì)角化矩陣相似問題進(jìn)而使問題研究簡(jiǎn)化，而另一些矩陣不能與一個(gè)對(duì)角矩陣相似，那么這類問題就只能用定義或者若而當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型來解決。相似矩陣有很多應(yīng)用。例如：利用相似矩陣的性質(zhì)來確定矩陣中未知元素方法的完整性;兩個(gè)相似矩陣屬于同一個(gè)特征值的特征向量之間的關(guān)系；矩陣相似與特征多項(xiàng)式的等價(jià)條件及相關(guān)結(jié)果；尤其是矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形及其對(duì)角化問題,在高等代數(shù)和其他學(xué)科中都有極其廣泛的應(yīng)用。本文

2、將討論相似矩陣的有關(guān)性質(zhì)及其應(yīng)用。關(guān)鍵詞：相似矩陣；對(duì)角化；Jordan標(biāo)準(zhǔn)型;特征向量;特征值英文題目:ThepropertiesandapplicationofsimilarmatrixAbstract：Therearealotofapplicationsaboutsimilarmatrix.Matrixforfurtherresearchistheconceptofsimilaritymatrixcharacteristics,andthatpartoftheproblemcanbeconvertedintosimilarproblemswithadiagonalizationmatri

3、xtosimplifytheproblemstudy,whileothersmatrixcannotbesimilartoadiagonalmatrix,sothiskindofproblemcanonlyuseadefinitionorifandwhenthestandardtosolve.Forexample,wecandiscusstheintegralityofthemethodbyusingthepropertiesofsimilarmatricestoconfirmunknownelementsandcharacteristicsubspacesofsimilarmatricesb

4、elongtothesamecharacteristicvalueareisomorphism.Alsowemaydiscusstheequivalentconditionsforsimilarmatricesandtheircharacteristicpolynomialandtheircorrespondingresults,especially,applicationsofdigitalizationmatricesinadvancedalgebratheoryandothersubjectsareprobedinto.InthispaperIwillgiveoutsomecorresp

5、ondingpropertiesofsimilarmatricesandshowtheirappliance.Keywords:similarmatrices;diagonalmatrix;Jordansnormalform;characteristicvalue;characteristicvector引言：矩陣相似的理論是數(shù)學(xué)分析的重要概念之一，同時(shí)也是教學(xué)中的難點(diǎn)之一,特別是矩陣相似與可對(duì)角化矩陣問題，在各個(gè)版本的數(shù)學(xué)類圖書中，往往將這兩個(gè)問題緊湊的聯(lián)系在一起。由于矩陣相似的應(yīng)用圍相當(dāng)廣泛。本文主要是從矩陣相似定義以及各種性質(zhì)的理論基礎(chǔ)上直接引入矩陣在微分方程、自動(dòng)控制理論基礎(chǔ)等領(lǐng)域應(yīng)用

6、的實(shí)例并由此進(jìn)行研究，也使這部分容能夠相互融合起來，更有利于學(xué)習(xí)者的掌握和應(yīng)用。L矩陣相似的定義與基本性質(zhì)11矩陣相似的定義設(shè)A,B是n階方陣，如果存在可逆陣P使得HAP=B,則稱矩陣A與B相似.若矩陣A相似于對(duì)角陣，則稱A可相似對(duì)角化，即存在可逆陣P使PAP=diag（4%4）,4,40為A的n個(gè)特征值.令為非奇異矩陣，考察矩陣的線性變換令線性變換8的特征值為1,對(duì)應(yīng)的特征向量為,即By=y將式序kA玳入上式，即有StA%小或人令工=5），或=廠工,則式ASAS可以寫作比較3尸態(tài)和AB兩式可知，矩陣A和*滇有相同的特征值,并且矩陣B的特征向量,v是矩陣A的特征向量八的線性變換，即y=b/。由

7、于矩陣A和3714鄒特征值相同，特征向量存在線性變換的關(guān)系，所以稱這兩個(gè)矩陣相似。于是：設(shè)A、8都是階方陣，若有可逆方陣S，使則稱8是A的相似矩陣?；蛘哒f矩陣4與8相似。對(duì)4進(jìn)行運(yùn)算/Ap稱為對(duì)A進(jìn)行相似變換?？赡婢仃嘝稱為把A變成8的相似變換陣。12矩陣相似的一些基本性質(zhì)：自反tt：AA。對(duì)稱性：A3則3A。傳遞tt：A8及3C可得：AC。如果階矩陣A*相似，則它們有相同的特征值。但逆命題不成立。相似矩陣另外的一些特性：1)相似矩陣有相同的秩。2)相似矩陣的行列式相等。3)相似矩陣或都可逆，或都不可逆。當(dāng)它們可逆時(shí)，它們的逆也相似。4)A8則屋8#,kwN、A?、A-】8T(若A,8均可逆1

8、從而4，8有相同的特征值。5)若A與B都可對(duì)角化，則A與B相似的充分條件是A與B由相同的特征多項(xiàng)式.6) .A的屬于同一特征值兒的特征向量的線形組合只要不是零向量，仍是對(duì)應(yīng)4的特征向量.7) .A的屬于不同特征值的特征向量線形無關(guān).8) .實(shí)對(duì)稱矩陣A的特征值都是實(shí)數(shù),屬于不同特征值的特征向量正交.9) .若/是實(shí)對(duì)稱矩陣A的重特征值，則A對(duì)應(yīng)特征值夭恰有r個(gè)線性無關(guān)的特征向量.10) .任何一個(gè)n階復(fù)矩陣2都與一個(gè)Jordan形矩陣,相似.11) .對(duì)n階方陣A,以下三條等價(jià)：(i)A可對(duì)角化；A有n個(gè)特征值(重根按重?cái)?shù)計(jì))，且Vr(1)重特征值；(3)A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量.12) .

9、對(duì)角化的基本方法有如下兩種:特征值法,特征向量法.1.3相似矩陣與若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形雖然m彈純矩陣不能相似于對(duì)角陣，但它能夠相似于一個(gè)形式上比對(duì)角矩陣稍微復(fù)雜的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形/。由于若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的獨(dú)特結(jié)構(gòu)揭示了兩個(gè)矩陣相似的本質(zhì)關(guān)系，故在數(shù)值計(jì)算和理論推導(dǎo)中經(jīng)常采用。利用它不僅容易求出矩陣A的乘事，還可以討論矩陣函數(shù)和矩陣級(jí)數(shù)，求解矩陣微分方程。定義：形如4的方陣稱為邛介若爾當(dāng)塊。其中可以是實(shí)數(shù)，也可以是復(fù)數(shù)。定理：矩陣AB的充要條件是他們相應(yīng)的特征矩陣AI-A=.aI-Bo每個(gè)階復(fù)矩陣A都與一個(gè)若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形,相似，目這個(gè)若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形在不計(jì)其中若爾當(dāng)塊的排列次序時(shí)，完全有矩陣A唯一決定。復(fù)矩陣A可對(duì)角

10、化的充要條件是A的特征矩陣的初等因子全為一次式。2.相似矩陣在微分方程中的應(yīng)用許多實(shí)際問題最后都?xì)w結(jié)為求解微分方程（組）的問題.因此，如何求解微分方程（組）是個(gè)很重要的問題.下面舉例說明特征值和特征向量，約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形在其中的應(yīng)用.2.1將常系數(shù)線性微分方程組di。丁=6必+%2町+atdu,=a1uA+a22u2+-+a2nun;dun(2-1)寫成矩陣形式=A(2-2)(It其中U=(,A=(%).”為系數(shù)矩陣，令(3-2)式的解U=ex,(2-3)即(對(duì)”,”)/=e(X,X2,xj.將(2-3)式代入(2-2)得4e。=Ae。=/Ax,化簡(jiǎn)得AX=AX，即Q-3)式中丸為A的特征值,X為2

11、對(duì)應(yīng)的特征向量;若A可對(duì)角化,則存在n個(gè)線性無關(guān)的特征向量七,與,于是得到(2-2)式的n個(gè)線性無關(guān)的特解.5二/U2=ex2l-,Un=exn.它們的線性組合=C匹+C2+.+C，(2-4)(其中q,02,q為任意常數(shù))為(2-1)式的一般解將Q-4)式改寫成矩陣形式解般-有式2)一(2或式-/!/nX99區(qū)=P題問值初于56e對(duì)eO/,/.W=O=也力%-r1I4(2-7)因?yàn)閠=0代入(2-5)式得C=-%o.例2解線性常系數(shù)微分方程組dx、r=x+；at-=-4x.+;dtdx.、X+2x?dt已知初始值為：匹(0)=1,占(0)=-1，均(。)=2.解本題的初始值問題為4dx=Ax其

12、中4=1-41盧(0)=%=(2)丁0o，可得A的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形，即有可逆矩陣2，使P-YP=，=由(2-7)式的解為X=Pep-工(2-8)2!n(2-9)2”033(2-10)將(2-10)式代入(2-9)式得te31(2-11)再將(2-11)式及P,P-I代入(2-8)式得%2。)/3(。_-315-2-211-12(2-12)可令對(duì)于階線性齊次常系數(shù)微分方程力dxedT+anx(t)=Odxd2xc/5r=Xn7n于是可得與方程(2-12)同解的方程組dxd4萬一(2-13)(2-14)其中式(2-13)可寫成矩陣形式TdXdxxdx.dx7x=即，%)，-r=(T，-，羊)，atata

13、tat01.000.0*00.1一一%一冊(cè)-l一4=于是這類微分方程可以歸納為等價(jià)的線性微分方程組,然后再利用特征值和特征向量求解.例2.求解微分方程dx4dx八3-4+12x=0drdt(2-15)dxdr于是(2-15)式可變成等價(jià)的方程組dxxr-=X)dtdx,一二=/dtdx=-12%|+4.2+3aj其中xS凈凈00-12可求得A的特征值為4=3,&=2,4=-2,對(duì)應(yīng)的特征向量分別為X1=(1,3,9)7,X)=(1,2,4)7,乂3=(1,-2,4)于是由上例知,從而X=GX/+。2乂26為+C3X3/其中G（，=1，2,3）為任意常數(shù).3相似矩陣在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用例3.污染與

14、環(huán)境發(fā)展的增長(zhǎng)模型發(fā)展與環(huán)境已成為21世紀(jì)各國(guó)政府關(guān)注的重點(diǎn)，為了定量分析污染與工業(yè)發(fā)展間的關(guān)系,我們可提出以下的工業(yè)增長(zhǎng)模型：解設(shè)x是某地區(qū)目前的污染水平（以空氣或河湖水質(zhì)的某種污染指數(shù)為測(cè)量單位）,y0是目前的工業(yè)發(fā)展水平（以某種工業(yè)發(fā)展指數(shù)為測(cè)量單位），以5年作為一個(gè)期間，第/個(gè)期間的污染和工業(yè)發(fā)展水平分別記為x,和y.,它們之間的關(guān)系是：%=3xj+九,=28_|+2九12(3-1)則（3-1）的矩陣形式為區(qū)=t=l,2,.（3-2）如果已知該地區(qū)目前（亦稱為基年）的污染和工業(yè)發(fā)展水平4=加F，利用（3-2）就可以預(yù)測(cè)第k個(gè)期間該地區(qū)的污染和工業(yè)發(fā)展水平處,這是因?yàn)橛桑?-2）可得a=

15、Aa0,a2=Aa=A2aoy-ak=AaQ.這表明可通過A*求得，為此考察A能否對(duì)角化,計(jì)算出A的特征多項(xiàng)式./31f()=I入EA|=.=(21)(24)2/t2由A有2個(gè)相異的特征值1和4知,A能對(duì)角化,所以可用性質(zhì)來計(jì)算萬.對(duì)于4=1,解(E-A)X=O,可得A屬于1的一個(gè)特征向量芻=127.對(duì)于4=4,解(4E-A)X=0,可得A屬于4的一個(gè)特征向量另=11丫.令尸=后統(tǒng)1有A=4P-L屋=Pdia4人卜=11+2*44-1+441J-2+2*42+4。%=屋4。+2*小+1+4%3_(2+2*4)x()+(2+4)y0(3-3)就是所要的預(yù)測(cè)結(jié)果，對(duì)不同的。值代入(4-3)即可求得

16、見.例如：若%=1曠，有%=麻4葉,(實(shí)際上此時(shí)就是屬于4的特征向量斯以4=A4=4&=鼠4葉);若=卜21,有%=*1+4印-2+4叫.這些都表明,盡管工業(yè)發(fā)展水平可以達(dá)到相當(dāng)高的程度，但照此模式發(fā)展，環(huán)境污染不容忽視.例4.人口流動(dòng)模型假設(shè)某省城人口總數(shù)保持不變,每年有20%的農(nóng)村人口流入城鎮(zhèn)，有10%的城鎮(zhèn)人口流入農(nóng)村.試問該省城人口與農(nóng)村人口的分布最終是否會(huì)趨向一個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)？為解答這個(gè)問題，可設(shè)該省城人口總數(shù)為m,從今年開始，第k年該省城的城鎮(zhèn)人口和農(nóng)村人口分別設(shè)為/,九，據(jù)題意有X=09%+0.2%o_2/n+(x0-2yu)(0.7/m-(x0-2y0)(0.7/2I從而有七=；7

17、+Q(七一2)，0)(0.7)人%=-,n(,%一2yo)(0.7)，JJ數(shù)列七，然的極限為r2r1limxk=hmyk=一in318,3這表明該省城的城鎮(zhèn)人口與農(nóng)村人口的分布會(huì)趨于一個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)：大約有;為城鎮(zhèn)人口(為農(nóng)村人口.4.矩陣相似在代數(shù)方面的應(yīng)用.例5.某實(shí)驗(yàn)性生產(chǎn)線每年一月份進(jìn)行熟練工與非熟練工的人數(shù)統(tǒng)計(jì)然后將!熟練工支援其他生產(chǎn)部門，其缺額由招收新的非熟練工補(bǔ)齊。新、老非熟練工6經(jīng)過培訓(xùn)及時(shí)間至年終考核有段成為熟練工。設(shè)第年一月份統(tǒng)計(jì)的熟練工和非熟練工所占百分比分別為乙和打，記成向量7。二a七拆一vX(1)求向與.的關(guān)系式并寫成矩陣形式:LiJLyJ41T(2)驗(yàn)證7=,小=是4

18、的兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量,并求出相應(yīng)的解：(1)按題意有1521、4+】=7居+三（7+）o5o31%=（%+%）5o化簡(jiǎn)得、92，田I。5九13Jn+I=Xn+-ynIVzwZ對(duì)其用矩陣表示即為卜于是4-1（2）令P=（7,?。?,則由|P|=500知17,4線性無關(guān)。因11A7=：=7。故小為A的特征向量,且相應(yīng)的特征值4=1。I因從小=2=；小,故%為A的特征向量,且鄉(xiāng)音的特征值為4=J。14乙5-(3)由于有%+1=atXiX-1A二A2.2.由尸尸=于是有A=尸又尸=!，故-14An=-4+(；)”4-4(1r乙乙因此有X7%1-(/1+結(jié)束語本文通過對(duì)矩陣相似性質(zhì)與應(yīng)用問題的深入探討，我們獲益非淺，一方面對(duì)于矩陣相似的定義以及相關(guān)理論的熟練掌