矩陣的對(duì)角化的應(yīng)用

1、矩陣的對(duì)角化的應(yīng)用摘要：矩陣是高等代數(shù)中的一個(gè)重要的基本概念，是代數(shù)學(xué)的一個(gè)主要研究對(duì)象。對(duì)角矩陣作為一種特殊的矩陣，在理論研究和矩陣性質(zhì)推廣中有重要意義。本文對(duì)可對(duì)角化矩陣做出了全面的概括和分析，并利用高等代數(shù)和線性代數(shù)的有關(guān)理論給出了矩陣可對(duì)角化的若干條件，同時(shí)也討論了化矩陣為對(duì)角形的求解方法，最后總結(jié)出可對(duì)角化矩陣在求方陣的高次幕、利用特征值求行列式的值、由特征值和特征向量反求矩陣、判斷矩陣是否相似、向量空間、線性變換等方面的應(yīng)用.關(guān)鍵詞：對(duì)角化；特征值；特征向量；相似一、概念所謂矩陣可對(duì)角化指的是矩陣與對(duì)角陣相似00、0-0定義1:如下形式的nXn矩陣A=（0Qxj稱為對(duì)角矩陣簡(jiǎn)記為A

2、L葭.X=diag（，叼，,-）定義2:把矩陣A（或線性變換T）的每個(gè)次數(shù)大于零的不變因子分解成互不相同的首項(xiàng)為1的一次因式方幕的乘積，所有這些一次因式方幕（相同的必須按出現(xiàn)的次數(shù)計(jì)算）稱為矩陣A（或線性變換1）的初等因子。定義3:設(shè)A是數(shù)域P上的n級(jí)矩陣，如果數(shù)域P上的多項(xiàng)式f（x）使得f（x）=0,則稱f（x）以A為根，在以A為根的多項(xiàng)式中，次數(shù)最低且首項(xiàng)系數(shù)為1的多項(xiàng)式稱為A的最小多項(xiàng)式。定義4：設(shè)v是p上的線性空間，0是v上的一個(gè)變換，如果對(duì)任意里»£v和上£p都有。佃喇二砌洞”則稱。為v的-個(gè)線性變換定義5:設(shè)u是數(shù)域P上線性空間V的一個(gè)線性變換，如果存

3、在P中的一個(gè)數(shù)2和V中非零元素Q使得0回二加，則稱入為。的一個(gè)特征值，而稱以為。的屬于特征值I的一個(gè)特征向量，由0的屬于特征值入的全部特征向量再添上零元素構(gòu)成的集合匕=al°(a)=lcaev)構(gòu)成V的一個(gè)子空間，稱為。的一個(gè)特征子空間。定義6:設(shè)A,B為數(shù)域P上的兩個(gè)n級(jí)矩陣，如果存在數(shù)域P上的n級(jí)可逆矩陣X使得B=KaX則稱A相似于B,記為A2B,并稱由A變到B得變換為相似變換，稱X為相似變換矩陣。二矩陣對(duì)角化條件常用的充要條件(1)1可對(duì)角化當(dāng)且僅當(dāng)A有H個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量；(2) 1可對(duì)角化當(dāng)且僅當(dāng)特征子空間維數(shù)之和為U；(3) 1可對(duì)角化當(dāng)且僅當(dāng)1的初等因子是一次的；(4

4、) 1可對(duì)角化當(dāng)且僅當(dāng)1的最小多項(xiàng)式叼口)無(wú)重根。2-5三.實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)角化的一種簡(jiǎn)化方法設(shè)1是實(shí)對(duì)稱矩陣，求正交矩陣T使廣5二.(44的問(wèn)題，一般方法可簡(jiǎn)述為：(D求特征值；(2)求對(duì)應(yīng)的特征向量；(3)將特征向量正交標(biāo)準(zhǔn)化；(4)寫(xiě)出T及'T”二片(4,4l/J.但是在特征值出現(xiàn)重跟的情況下，需用Schmidt正交方法求正交特征向量，計(jì)算較為復(fù)雜?，F(xiàn)利用向量?jī)?nèi)積構(gòu)造齊次線性方程組，求出每個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的特征向量，從而求出正交矩陣r.首先給出四條引理：（D設(shè)1是實(shí)對(duì)稱矩陣，則】的特征值都是實(shí)數(shù)，且1的不同特征值的特征向量相互正交；（2）設(shè)/是實(shí)對(duì)稱矩陣，則I一定相似于對(duì)角矩陣，且存在正

5、交矩陣T有尸"二尸女二軀.（3）設(shè)1是實(shí)對(duì)稱矩陣，2是1的£重特征值，則對(duì)應(yīng)于特征值2,1有£個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量；（4）設(shè)4£。例，為H的所有互不相同的特征值，若/可對(duì)角化，則力網(wǎng)祓的列向量為矩陣1對(duì)應(yīng)于特征值4的特征向量，且列向量組的極大無(wú)關(guān)組是特征向量空間的一個(gè)基。那么,定理關(guān)于實(shí)對(duì)稱矩陣4,有特征值4,以-謹(jǐn)）；4孫叫”a.對(duì)應(yīng)于特征值勾4的特征向量，記4A）是由用生成的向量空間，乩右，）是由叫出凡生成的向量空間。（1）/0+工包嗎”-4）二（/4區(qū)當(dāng)l-4）x=（將/扎=原民令片-色-依后，燈,則滿足依/）=。，,低4=0,（="一）

6、的月,即線性民o+M巧氏工=。呼藥+6巧+在A=o方程組月，+雋4巧+我%二。的解，其中力W4的耳4）,且用二原或閱T是對(duì)應(yīng)于特征值4的特征向量。這樣月，04,，4與4是4，/吁41）的一組正交基。該定理由上述四條引理可以證明。7現(xiàn)通過(guò)實(shí)例說(shuō)明其應(yīng)用:例4.2設(shè)333-3、-3313-3一1,求T,使，門,其中是特征值。解：由同一d|=（"8）（"4=。，得特征值i=Y三重），！3H.4的最小多項(xiàng)式因?yàn)閍是實(shí)對(duì)稱矩陣，由（2）可知a一定可以對(duì)角化%二（*4）（2-8）由（4）及征值4二y的特征向量%=Ram-31r93-3J393-3-33、-33,可得對(duì)應(yīng)于特a4=(l-

7、wr又由r-33-3<33-33-3-33-333-33-3,可得對(duì)應(yīng)于特征值4=8的特征向量為以二卜33731A=(X0A<令耳二4二（現(xiàn)卜31r由定理可得片=（Q&uF標(biāo)準(zhǔn)化氏2A,也，可得-1事二"rI-1J7-1和ITon-A從而得正交矩陣1123一421一屈TW-2湎瓶二MOO1-721一72可以驗(yàn)證TL仃丁.療曲邛僅4.4.4).四.主要結(jié)論:A可對(duì)角化當(dāng)且僅當(dāng)A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。證明：必要性設(shè)o在基qt下具有對(duì)角矩陣，因止匕馬q就是0的n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。反過(guò)來(lái),如果(J有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量0，那么就取04為基，顯然在這組基下G的矩陣

8、是對(duì)角矩陣。推論1.1.1如果在n維線性空間V中，線性變換。的特征多項(xiàng)式在數(shù)域P中有n個(gè)不同的根，即。有n個(gè)不同的特征值，那么。在某組基下的矩陣是對(duì)角形的推論1.1.2在復(fù)數(shù)域上的線性空間中，如果線性變換0的特征多項(xiàng)式?jīng)]有重根,那么G在某組基下的矩陣是對(duì)角形的。A.例：已知。在一組基下的矩陣為3G5”,試問(wèn)A是否可對(duì)角化？若能,寫(xiě)出相應(yīng)的基變換的過(guò)渡矩陣T。|AEa|=解：由于=（1-7）（112）所以特征值為4日戶1=7%=-2。當(dāng)入印時(shí)，解方程組5（Q,求得它的基礎(chǔ)解系，因此對(duì)應(yīng)的的'=，的特征向量為=ei+e3o當(dāng)卜二-2時(shí)，解方程組二聯(lián)）,求得它的基礎(chǔ)解系是1句,因此叼對(duì)應(yīng)的特

9、征向量為&二相一5與。綜上可知0的特征值為7,-2對(duì)應(yīng)的特征向量為&月,又141-5即過(guò)渡矩陣T=A可對(duì)角化當(dāng)且僅當(dāng)A的所有重特征值對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)等于其重?cái)?shù)證明：若。所對(duì)應(yīng)的矩陣可對(duì)角化，則有遙鳴F叫，這里匕是0的所有互不相同的特征根，取每個(gè)的一組基，X,合起來(lái)就是V的一組基，那么0在這組基下的矩陣顯然是對(duì)角形。A人。的特征多項(xiàng)式為定一4=（工一、）（工一%）,顯然廣（力的根都在f內(nèi),且每個(gè)特征根片的重?cái)?shù)恰是彳，的維數(shù)，必要性得證。反之,若設(shè)AeP是o的特征多項(xiàng)式的全部根，它們的重?cái)?shù)分別設(shè)為m,那么皿+尸,取每個(gè)V的一組基%廣"%,合起來(lái)湊成一個(gè)含有n

10、個(gè)向量的向量組,從而是V的一組基，故U在這組基下的矩陣為對(duì)角陣。32-P-2-22例：判斷矩陣A=136是否可對(duì)角化，若可以，求可逆矩陣T使TAT為對(duì)角陣。4-32-3100、(Z(iL)=-2A+2-6010解：設(shè)猛一/，且1121+10°L100001、T01-200120°-(1-2)(1+4)1°T句故a的特征值為中(二重)，2)(1)=01-21°00-(X-2)(k+4);典+o1U。T,又DR)中的零行數(shù)=2=%的重?cái)?shù),DR)的零行數(shù)=1=%的重?cái)?shù)，故A可對(duì)角化，由fl000(D(2),P(2)=000010001的線性無(wú)關(guān)的特征向01?-

11、23可得閆。刈止(L3可是A屬于2rioooorW(Y)hF(T)=0-60012量，由I。123)可得roi”(L-Z3)是a屬于-4的線性無(wú)關(guān)的特征向量，令T=l2-33)則La二4.1.A是實(shí)對(duì)稱矩陣，則A可對(duì)角化。定理4.1.1在數(shù)域P上，任意一個(gè)對(duì)稱矩陣都合同于一個(gè)對(duì)角矩陣，即對(duì)于任意一個(gè)對(duì)稱矩陣A都可找到一個(gè)可逆矩陣C使dAC成對(duì)角陣。例:化二次型/(4毛，玉)二電+&再一6硒成標(biāo)準(zhǔn)型。f偉馬加o不中已二(o-2Y10(24=c2=°1U。(100A叭T4fl401oJlo00&(200Y1-2J0G=o12,4=443G二o10。V2叭04-叭。(113

12、、(2dAC=4正是對(duì)角矩陣,因此令1°。1人就有作非退化線性替換X=CY即得鼻aR=以-2玄+6歐五：求一組基，使線性變換再該基下的矩陣為對(duì)角矩陣的計(jì)算。第一步，取n維線性空間V的一組基馬上2,求線性變換G在該基下的矩陣A。第二步，求n級(jí)可逆矩陣X,使r4膜二A為對(duì)角矩陣。第三步，由（4%4）=（4鳥(niǎo)4）求出V的另一組基®14%則G在該基下的矩陣為對(duì)角矩陣A.例：設(shè)與上?,%是四維線性空間V的一組基，線性變換0在這組基下的矩陣05-2T4、1-1-32.311222為All。311一力t）1=e1+2e2+e3+e4%=2tl與）0求在基H4=e.下的矩陣2）求一可逆矩陣

13、T,使尸力1成對(duì)角形。<1200?（%"）=（%電網(wǎng)均）：；：解：因?yàn)閁。ij故。在基%n爐%下的矩陣為b=1°。50、0010000o000-572,而-5?432)因?yàn)橄嗨凭仃囉邢嗤奶卣鞫囗?xiàng)式，所以I)X-即特征值為對(duì)應(yīng)特征值0的線性無(wú)關(guān)的特征向量為&二編+用+%白=%-%+&,對(duì)應(yīng)特征值1的特征向量為&二瑞十與+0-/，對(duì)應(yīng)特征值5的特征向量為芻=應(yīng)-2£?+與+姐3)由4GMe1月冉丹)70000、000iI2)六：可對(duì)角化矩陣的應(yīng)用。1.求方陣的高次幕例設(shè)V是數(shù)域P上的一個(gè)二維線性空間,的矩陣a=IT可，試計(jì)算/0解：首先

14、計(jì)算仃在V的另日TH組基，線性變換。在"馬下組基下的矩陣，這里(%)=(%)0000TAr=ooio再利用上面得到的關(guān)系1一T-1%-121Y1-1-1Y1F|plAffc+1kJI®iJbT+1J.利用特征值求行列式的值。的值。例：設(shè)n階實(shí)對(duì)稱矩陣/'=A滿足，且A的秩為r,試求行列式悝一4解：設(shè)AXX,Xf0,是對(duì)應(yīng)特征值入的特征向量，因?yàn)?二乂,則ie=ae=a32p=i:7,從而有('F)£=°,因?yàn)閤f0,所以，即2=1或0,又因?yàn)锳是實(shí)對(duì)稱矩陣，所以A相似于對(duì)角矩陣，A的秩為r,故存PaAP=在可逆矩陣巳使|2E-=|22Vh

15、-P8F4|-|2E-«|=二B,其中0=2是r階單位矩陣，從而3由特征值與特征向量反求矩陣。若矩陣A可對(duì)角化，即存在可逆矩陣P使，其中B為對(duì)角矩陣，則例設(shè)3階實(shí)對(duì)稱矩陣A的特征值為，對(duì)應(yīng)的特征向量為，求矩陣解：因?yàn)锳是實(shí)對(duì)稱矩陣，所以A可以對(duì)角化，即A由三個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，設(shè)對(duì)應(yīng)于卜二月二1的特征向量為尸=(不"闖，它應(yīng)與特征向量耳正交，即P溫卜*+&+&=0，該齊次方程組的基礎(chǔ)解系為的特征向量。取用二(1對(duì).4=(O,LT),它們即是對(duì)應(yīng)于卜=1=10尸=(用&4)=110、(-10I),則PaAP=RA=PBP=r0110JUoY-1o10

16、10、0I4判斷矩陣是否相似0?（21,4=o例下述矩陣是否相似解：矩陣的特征值都是A=2（二重），&二3,其中4已是對(duì)角陣，所以只需判斷4,4是否可對(duì)角化，先考查4,對(duì)于特征值%=2解齊次線性方程組（'一4），二。得其基礎(chǔ)解系為,二（L。），由于1=2是4的二重特征值，卻只對(duì)應(yīng)于一個(gè)特征向量，故4不可對(duì)角化或者說(shuō)4與4不相似。再考查4,對(duì)于特征值%=2,解齊次線性方程組得基礎(chǔ)解系，對(duì)于特征值解齊次線性方程組伸-4）x=o,得基礎(chǔ)解系4=慢。）對(duì)于=3特征值解齊次線性方程組便-4）“二°,得基礎(chǔ)解系%=（L°），由于4有三個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，所以4可對(duì)角化，即4與4相似