基與維數(shù)的幾種求法

1、線性空間基和維數(shù)的求法方法一根據(jù)線性空間基和維數(shù)的定義求空間的基和維數(shù)，即：在線性空間V中，如果有n個向量1,n滿足：1,2，n線性無關(guān)。V中任一向量總可以由1,2,n線性表示。那么稱V為n維（有限維）線性空間，n為V的維數(shù)，記為dimvn,并稱1,2,n為線性空間V的一組基。如果在V中可以找到任意多個線性無關(guān)的向量，那么就成V為無限維的。例1設(shè)VXAX0,A為數(shù)域P上mn矩陣，X為數(shù)域P上n維向量，求V的維數(shù)和一組基。解設(shè)矩陣A的秩為r,則齊次線性方程組AX維數(shù)為nr。0的任一基礎(chǔ)解系都是V的基，且V的，.，0a,入例2數(shù)域P上全體形如的二階萬陣,ab對矩陣的加法及數(shù)與矩陣的乘法所組成的線性

2、空間，求此空間的維數(shù)和一組基。0解易證1量組，且對V中任01為線性空間V0aab1a,bP0aa0有baab0a1100+b001的一組線性無關(guān)的向兀奈01按定義10為V的一組基,V的維數(shù)為2。方法二在已知線性空間的維數(shù)為n時，任意n個向量組成的線性無關(guān)向量組均作成線性空間的基。例3假定Rxn是一切次數(shù)小于n的實系數(shù)多項式添上零多項式所形成的線性空間，2一n1證明：1,x1,x1,L,x1構(gòu)成Rxn的基。n1證明考察&1k2x1Lknx10由xn1的系數(shù)為0得kn0,并代入上式可得xn2的系數(shù)kn10故1,x1,L,x1n1線性無關(guān)一n1.又Rxn的維數(shù)為n,于是1,x1,L,x1為R

3、xn的基。方法三利用定理：數(shù)域p上兩個有限維線性空間同構(gòu)的充分必要條件是它們有相同的維數(shù)。01，例4設(shè)A，證明：由實數(shù)域上的矩陣A的全體實系數(shù)多項式fA組成的1001空間VfAA與復(fù)數(shù)域C作為實數(shù)域R上的線性空間10,一Vabi|a,bR同構(gòu)，并非求它們的維數(shù)。、.一一»一，一._、.一'證明V中任一多項式可記為fA=aEbA,a,bR,建立V到V的如下映射1a1§if1Aa1Eb1Aa1,b1RI、.I'-易證是V到V上的單射，滿射即一一映射。再設(shè)2a2b2i,a2,b2R,KR,則有12%a?db2iaa?E燈b2A12k1ka1kb)ika1Eka1A

4、k故是V'到V的同構(gòu)映射，所以V到V'同構(gòu)另外，易證V的一個基為1,i,故dimV2QV;VdimV2方法四利用以下結(jié)論確定空間的基：設(shè)1,2,L,n與1,2,L,n是n維線性空間V中兩組向量，已知1,2,L,n可由1,2,L,n線性表出：1a111a212Lan1n2a121a222Lan2nnan1a2n2Lannna11a12Lan令A(yù)a21a22La2nan1an2Lann如果1,2,L,n為V的一組基,那么當(dāng)且僅當(dāng)A可逆時,1,2,L,n也是V的一組基。已知1,x,x23,x是px4的一組基，證明1,1x,1x2,13x也是px4的一組基。證明因為0x02x0x311

5、x0x20x3112x1x20x3113x3x21x32x3x所以1,1x,13.，,，也為px4的一組基。方法五如果空間V中一向量組與V中一組基等價，則此向量組一定為此空間的一組基。例6設(shè)Rx2表示次數(shù)不超過2的一切實系數(shù)一元多項式添上零多項式所構(gòu)成的線性空間的一組基，證明x2x,x2x,x1為這空間的一組基。k3x10證明k1x2x則k1k20k1k2k30k30解得k3k2k10于是x2x,x2x,x1線性無關(guān)，它們皆可由x2,x,1線性表示，因此x2xx2xx1與x2x1等價從而Rx中任意多項式皆可由x2xx2xx1線xx,xx,xx,x,2xx,xx,x性表示，故x2x,x2x,x1

6、為Rx2的基。方法六利用下面兩個定理：定理一：對矩陣施行行初等變換和列變換，不改變矩陣列向量間的線性關(guān)系。定理二：任何一個mn矩陣A,總可以通過行初等變換和列變換它為標(biāo)準(zhǔn)階梯矩陣:Ir0,其中Ir表示r階單位矩陣。依據(jù)這兩個定理，我們可以很方便地求出V1IV2的一個基，從而確定了維數(shù)。例7設(shè)VL1,2,V2L1,2是數(shù)域F上四維線性空間的子空間，且11,2,1,0,21,1,1,1；12,1,0,1,21,1,3,7.求V1IV2的一個基與維數(shù)。解若rVIV2,則存在為乂，y，y2F,使rxi1x22y11y22(1)即有x11X22y11y20(2)若1,2,1,2線性無關(guān),（2）僅當(dāng)xx2

7、yy20時成立那么ViIV2是零子空間，因而沒有基，此時維數(shù)為0,ViV2是直和若存在不全為零的數(shù)x，x2,y1,y2使（2）成立，則ViIV2有可能是非零子空間若為非零子空間，由（1）便可得到基向量r。以1,2,1,2為列向量作矩陣A,經(jīng)行初等變換將A化為標(biāo)準(zhǔn)階梯形矩陣A。1121100121110104A1103行初等變換0013A011700002142311423125,2,3,4是ViIV2的一個基dimV1IV21同時知,1,2是V的一個基,dimV11,2是V2的一個基，dimV21,2,1,2是V1V2的一個基，dimV1V2秩A=3方法七在線性空間V中任取一向量,將其表成線性

8、空間V一線性無關(guān)向量組的線性組合的形式，必要的話需說明向量組是線性無關(guān)的。這一線性無關(guān)向量組就是我們要找的基。求ViL(1,2）與V2L（1,2）的交的基和維數(shù)。1 (1,2,1,0)(11,1,1)1 (2,1,0,1)(1,1,3,7)解任取V11V2,則X11X22,且V2,y1y22,x11x22y11y2（注：此時a雖然已表成一線性組合的形式，但它僅僅是在V1、V2中的表示，并非本題所求，即要在空間V1V2中將a線性表出）x11x22y11y20,求x，x2,y1,y2XX22yy202x1X2yy20x1x23y20x2y17y20解得(x",y/)(k,4k,3k,k)

9、k(142)k(312)k(5,2,3,4)故V1IV2是一維的，基是（5,2,3,4)易知（5,2,3,4）是非零向量，是線性無關(guān)的。方法八按維數(shù)公式求子空間的交與和的維數(shù)和基維數(shù)公式：如果V1V2是有限維線性空間V的兩個子空間，那么dimV1dimV2dimV1V2dimV11V2例9已知i3,1,2,1,20,1,0,211,0,1,3,22,3,1,6求由向量1,2空成的P的子空間V1L1,2與向量1,2生成的子空間V2L1,2的交與和空間的維數(shù)的一組基。解因為V1V2L1,2,1,2，對以1,2,1,2為列的矩陣施行行初等變換：3012000011031103AB2011001112

10、360003秩A秩B3,所以V1V2的維數(shù)是3且1,2,1,2為極大線性無關(guān)組，故它們是VV2的一組基。又由1,2線性無關(guān)知M的維數(shù)為2,同理V2的維數(shù)也為2,由維數(shù)公式知V11V2的維數(shù)為2231。從矩陣B易知1222,故123,3,2,3是W公有的非零向量，所以它是交空間V1IV2的一組基。方法九由替換定理確定交空間的維數(shù)。替換定理：設(shè)向量組1,2,l,r線性無關(guān)，并且1,2,l,r可由向量組1,2,l,s線性表出，那么1rs2必要時可適當(dāng)對1,2,L,s中的向量重新編號，使得用1,2,L,r替換1,2,L,r后所得到的向量組1,2,L,r,r1,L,s與向量組1,2,L,s等價。特別，當(dāng)rs時，向量組1,2,L,s與向量組1,2,L,s等價。例10已知向量組12,0,1,3,20,3,1,0,31,2,0,2,2,6,3,3,設(shè)它2,們是向量組1,2,3的線性組合，又設(shè)向量組ri,”,L,命與向量組i,2,3等價，試求1,2,L,m空成的空間的交空間的基和維救。201304110701031003100310120212021202263306