垂直于弦的直徑

1、垂直于弦的直徑教學(xué)設(shè)計(jì)一、教材依據(jù)人民教育出版社九年級(jí)數(shù)學(xué)（上冊）第24章圓第一節(jié)圓第二課時(shí)垂直于弦的直徑二、設(shè)計(jì)思想本節(jié)主要介紹圓的垂徑定理。垂徑定理及其推論反映了圓的重要性質(zhì)，是圓的軸對(duì)稱性的具體化，也是證明線段相等、角相等、垂直關(guān)系的重要依據(jù)，同時(shí)也為實(shí)行圓的計(jì)算和作圖提供了方法和依據(jù)，所以垂徑定理及其推論是本小節(jié)的重點(diǎn)，也是本章的重點(diǎn)內(nèi)容。垂徑定理及其推論的條件和結(jié)論比較復(fù)雜，容易混淆，所以它也是本節(jié)的難點(diǎn)。萬事開頭難，九年級(jí)學(xué)生初識(shí)圓的性質(zhì)，必然存有一定的困難，教學(xué)過程中一定要注意以下幾點(diǎn)：1、創(chuàng)設(shè)新穎的導(dǎo)入情境，讓數(shù)學(xué)貼近學(xué)生的生活實(shí)際。2、通過展圖片，制作演示折紙，培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手操

2、作水平，促動(dòng)學(xué)生參與教學(xué)意識(shí)形式。3、搜集圓在生活中的應(yīng)用事例，充分利用教材，創(chuàng)造性的使用教材。4、讓學(xué)生從身邊的數(shù)學(xué)起步，提升興趣，降低理解難度，體驗(yàn)成功的樂趣，培養(yǎng)自信心。三、教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與水平 通過觀察實(shí)驗(yàn)，使學(xué)生理解圓的軸對(duì)稱性。 掌握垂徑定理及其推論，理解其證明，并會(huì)用它解決相關(guān)的證明和計(jì)算問題。過程與方法經(jīng)歷探索垂徑定理及其推論的過程，進(jìn)一步體會(huì)和理解研究幾何圖形的各種方法。情感、態(tài)度與價(jià)值觀 結(jié)合本課教學(xué)特點(diǎn)，向?qū)W生實(shí)行愛國主義教育和美育滲透。 激發(fā)學(xué)生探究、發(fā)現(xiàn)問題的興趣和欲望。四、教學(xué)重點(diǎn)垂徑定理、推論及其應(yīng)用。五、教學(xué)難點(diǎn)發(fā)現(xiàn)并證明垂徑定理。六、教法選擇講授法、實(shí)驗(yàn)法、演示

3、法、練習(xí)法。七、學(xué)法指導(dǎo)動(dòng)手操作、觀察、歸納、自主探究。八、教學(xué)準(zhǔn)備圓形紙片及扇形紙片，趙州橋照片。九、教學(xué)過程（一）情景引入（出示圖片）你知道趙州橋嗎？它是1300多年前我國隋代建造的石拱橋，是我國古代人民勤勞和智慧的結(jié)晶，它的主橋拱是圓弧形，它的跨度（弧所對(duì)的弦長）為37.4m拱高（弧的中點(diǎn)到弦的距離）為7.2m你能求出主橋拱的半徑嗎？通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們就會(huì)很容易解決這個(gè)問題。（二）實(shí)踐探究1、探究：用紙剪一個(gè)圓，沿著圓的任意一條直徑對(duì)折，重復(fù)做幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？由此你能得到什么結(jié)論？學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生動(dòng)手操作，觀察操作結(jié)果，如圖1所示，能夠發(fā)現(xiàn)沿著圓的任意一條直徑對(duì)折，直徑兩旁的部分能

4、夠完全重合，由此能夠發(fā)現(xiàn)：圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對(duì)稱軸.教師活動(dòng)：在學(xué)生歸納的過程中注意學(xué)生語言的準(zhǔn)確性和簡潔性.2、思考：如圖2,AB是OO的一條弦，作直徑CD使CtXAR垂足為E.(1)這個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，它的對(duì)稱軸是什么？(2)你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些相等的線段和??？為什么？學(xué)生活動(dòng)：(1)按下面的步驟做一做：第一步，在一張紙上任意畫一個(gè)O沿圓周將圓剪下，把這個(gè)圓對(duì)折，使圓的兩半部分重合；第二步，得到一條折痕CD第三步，在OO上任取一點(diǎn)A,過點(diǎn)A作C晰痕的垂線，D得到新的折痕，其中點(diǎn)E是兩條折痕的交點(diǎn)，即垂足；如圖2第四步，將紙打開，新的折痕與圓交于另一點(diǎn)B,

5、如咳2由此能夠得到：AE=BEAC=BCAD=BD(2)證明結(jié)論：如圖2所示，連接OAOB得到等腰OAB即OXOB因CtUAB,故OAAOBE都是直角三角形，又OE為公共邊，所以兩個(gè)直角三角形全等，則AE=BE.又O。關(guān)于直徑CD對(duì)稱，所以A點(diǎn)和B點(diǎn)關(guān)于CD對(duì)稱，當(dāng)圓沿著直徑CD對(duì)折時(shí)，點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，AC與BC重合.所以AE=BEAC圮C同理得到AD=BD.教師活動(dòng)：在學(xué)生操作、分析、歸納的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生歸納垂直于弦的直徑的性質(zhì)：垂直于弦的CD為直徑條件y-CD±AB直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條??；AC=BC,>結(jié)論<AE=BEAD=BD我們還能夠進(jìn)一步得出：平分

6、弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩C兩直徑條件'A結(jié)論YIAE=BEAE=BE條弧.AC=BCCD±AB(AB非直徑)AD=BD垂徑定理的推廣：根據(jù)垂徑定理與推論可知對(duì)于一個(gè)圓和一條直線來說。如果具備(1)過圓心(2)垂直于弦(3)平分弦(4)平分弦所對(duì)優(yōu)弧(5)平分弦所對(duì)的劣弧，上述五個(gè)條件中的任何兩個(gè)條件都能夠推出其他三個(gè)結(jié)論.簡稱“知二推三”。請(qǐng)學(xué)生思考：(1)為什么垂徑定理的推論中要附加“不是直徑”這個(gè)條件？你能舉例說明嗎?(2)利用這個(gè)垂徑定理的推論你能平分一條弦嗎？3、動(dòng)動(dòng)手：已知扇請(qǐng)你利用尺規(guī)作圖的方法作出屆的中點(diǎn)，說出你的作法.AB圖3分析：根據(jù)

7、基本尺規(guī)作圖能夠發(fā)現(xiàn)不能直接作出弧的中點(diǎn)，但是利用垂徑定理的推論只需要作出弧所對(duì)的弦的垂直平分線，垂直平分線與弧的交點(diǎn)就是弧的中點(diǎn).作法：(1)連接AB(2)作AB的中垂線，交AB于點(diǎn)C,點(diǎn)C就是所求的點(diǎn).4、小試身手：趙州橋問題，演示扇形圖片。如圖3,用AB表示橋拱、AB所在圓的圓心是點(diǎn)O,半徑為R,過O作OdAB于點(diǎn)D,OC與AB交于點(diǎn)C,則AD=BDAc=Bc所以CD為拱高，即此實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為這樣一個(gè)數(shù)學(xué)問題：已知CD=7.2m,弦AB=37.4m,求此圓半徑.學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生觀察圖形，利用垂直于弦的直徑的性質(zhì)分析圖形條件，發(fā)現(xiàn)若OQAB則有AD=BD且ADO直角三角形，在直角三角形中能夠

8、利用勾股定理構(gòu)造方程.教師活動(dòng)：方法總結(jié)：在學(xué)生解決問題的基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生實(shí)行歸納：弦長、半徑、拱形高、弦心距(圓心到弦的距離)四個(gè)量中，只需要知道兩個(gè)量，其余兩個(gè)量就能夠求出來.解答設(shè)圓的半徑為R,由條件得到OD=R1一7.2,AD=AB=18.7,2在RtADO中AO2OD2AD2即：F2=18.72+(R-7.2)2解得F27.9(m).答：趙州橋的主橋拱的半徑約為27.9m.學(xué)以致用題目：某居民區(qū)一處圓形下水管道破裂，修理人員準(zhǔn)備更換一段新管道.如圖5所示，污水水面寬度為60cm，水面至管道頂部距離為10cm,問修理人員應(yīng)準(zhǔn)備內(nèi)徑多大的管道？圖6師生活動(dòng)：讓學(xué)生在探究過程中,進(jìn)一步把實(shí)際

9、問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,掌握通過作輔助線構(gòu)造垂徑定理的基本結(jié)構(gòu)圖，進(jìn)而發(fā)展學(xué)生的思維.解答如圖8所示，連接OA過O作OHAB垂足為E交圓于F,則AE=1AB=302cm.令OO的半徑為R,貝UOA=ROEOF-EF=R-10.在RtAEO中，0尺=入+0巨，即F2=302+（R-10）2.解得R=50cm.修理人員應(yīng)準(zhǔn)備內(nèi)徑為100cm的管道.（四）總結(jié)提升們同學(xué)們小結(jié)本節(jié)課內(nèi)容：1、圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對(duì)稱軸。2、垂徑定理及其推論內(nèi)容（知二推三）。3、垂徑定理的廣泛應(yīng)用及其與勾股定理聯(lián)用。4、解決相關(guān)弦的問題，經(jīng)常是過圓心作弦的垂線，或作垂直于弦的直徑，連結(jié)半徑等輔助線，為應(yīng)用垂徑定理創(chuàng)造條件。（五）作業(yè)布置課外練習(xí)：教材P88練習(xí)1、2作業(yè)：習(xí)題24.1第1題，第8題，第9題.十、教學(xué)反思本節(jié)課學(xué)生對(duì)垂徑定理的理解有一定困擾，所以在講解時(shí)，協(xié)助學(xué)生剖析垂徑定理的條件和結(jié)論。使用垂徑定理解決問題，學(xué)生感到吃力，所以要增強(qiáng)這方面的應(yīng)用，同時(shí)總結(jié)弦長