高中數(shù)學(xué)百大經(jīng)典例題——離散型隨機(jī)變量的期望與方差(新課標(biāo))

1、開鎖次數(shù)的數(shù)學(xué)期望和方差例有n把看上去樣子相同的鑰匙,其中只有一把能把大門上的鎖翻開.用它們?nèi)ピ囬_門上的鎖.設(shè)抽取鑰匙是相互獨(dú)立且等可能的.每把鑰匙試開后不能放回.求試開次數(shù)自的數(shù)學(xué)期望和方差.分析：求P=k時(shí),由題知前k-1次沒翻開,恰第k次翻開.不過,一般我們應(yīng)從簡(jiǎn)單的地方入手,如1=1,2,3,發(fā)現(xiàn)規(guī)律后,推廣到一般.解：的可能取值為1,2,3,1P(=1),np二2二17-1二(T(1Jnn-1n-2n-1n-2nn-2)"(1-n-k2n-2n-1n-2n-3n-k111n-1n-2n-k,2n-k-1n21)(k-nn)(T)2nn|I61n(n1)(2n1)n(n1)2

2、n(n1)2n2-112;所以巴的分布列為:12knp1n1n1n1n1.nnn121D=(1)n(122232n2)-(n1)(123說明：復(fù)雜問題的簡(jiǎn)化處理,即從個(gè)數(shù)較小的看起,找出規(guī)律所在,進(jìn)而推廣到一般,方差的公式正確使用后,涉及一個(gè)數(shù)列求和問題,合理拆項(xiàng),轉(zhuǎn)化成熟悉的公式,是解決的關(guān)鍵.次品個(gè)數(shù)的期望例某批數(shù)量較大的商品的次品率是5%,從中任意地連續(xù)取出10件,U為所含次品的個(gè)數(shù),求Et.分析：數(shù)量較大,意味著每次抽取時(shí)出現(xiàn)次品的概率都是0.05,且可能取值是：0,1,2,10. 10次抽取看成10次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),所以抽到次品數(shù)Z服從二項(xiàng)分布,由公式EU=np可得解.解：由題,B(1

3、0,0.05),所以E之=10x0.05=0.5.說明：隨機(jī)變量巴的概率分布,是求其數(shù)學(xué)期望的關(guān)鍵.因此,入手時(shí),決定已取哪些值及其相應(yīng)的概率,是重要的突破點(diǎn).此題P(U=k)=C：(0.05)k(1-0.05)10,應(yīng)覺察到這是仆B(10,0.05).根據(jù)分布列求期望和方差例設(shè)巴是一個(gè)離散型隨機(jī)變量,其分布列如下表,求q值,并求EdD上.匕101P121-2q2q分析：根據(jù)分布列的兩個(gè)性質(zhì),先確定q的值,當(dāng)分布列確定時(shí),E之D巴只須按定義代公式即可.解：離散型隨機(jī)變量的分布滿足(1)巨沁i=1,2,3,(2) p1P2P3=1.12_十12q+q=1,2所以有10M12q<1,解得q=

4、1-卜q2<1.故-的分布列為101P1&-13-22,E=(-1)-0(.2-1)13-222D；刃-1-(1-.2)21(1-.2)2(.,2-1)1-(1-.2)2-,222L21L33=(J2-2)黑+(V2-1)+2-=3-2.22.2-63.2-13-2.2=.2-1,小結(jié)：解題時(shí)不能無視條件Pukjnpi時(shí),0MpiE1,i=1,2,否那么取了q>1的值后,辛辛苦苦計(jì)算得到的是兩個(gè)毫無用處的計(jì)算.產(chǎn)品中次品數(shù)分布列與期望值例一批產(chǎn)品共100件,其中有10件是次品,為了檢驗(yàn)其質(zhì)量,從中以隨機(jī)的方式選取5件,求在抽取的這5件產(chǎn)品中次品數(shù)分布列與期望值,并說明5件中

5、有3件以上包括3件為次品的概率.精確到0.001分析：根據(jù)題意確定隨機(jī)變量及其取值,對(duì)于次品在3件以上的概率是3,4,5三種情況的和.解：抽取的次品數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量,設(shè)為亡,顯然U可以取從0到5的6個(gè)整數(shù).次品,那么其概率為抽樣中,如果恰巧有k個(gè)k=0,1,2,3,4,5k5-kP(C10C90k)一-C100根據(jù)這個(gè)公式計(jì)算,并要求精確到0.001,那么有P(=2)=0.070,P(=5)=0.P(=0)=0.583,P(=1)=0.340,P(=3)=0.07,P(=4)=0,故-的分布列為012345P0.5830.3400.0700.00700E=00.58310.34020.0703

6、0.0074050=0,501.由分布列可知,P(_3)=0.00700,P(_3)=0.007.這就是說,所抽取的5件品中3件以上為次品的可能性很小,只有7%.評(píng)定兩保護(hù)區(qū)的治理水平例甲、乙兩個(gè)野生動(dòng)物保護(hù)區(qū)有相同的自然環(huán)境,且野生動(dòng)物的種類和數(shù)量也大致相等.而兩個(gè)保護(hù)區(qū)內(nèi)每個(gè)季度發(fā)現(xiàn)違反保護(hù)條例的事件次數(shù)的分布列分別為：甲保護(hù)區(qū)：0123P0.30.30.20.2乙保護(hù)區(qū):012P0.10.50.4試評(píng)定這兩個(gè)保護(hù)區(qū)的治理水平.分析：一是要比擬一下甲、乙兩個(gè)保護(hù)區(qū)內(nèi)每季度發(fā)生的違規(guī)事件的次數(shù)的均值,即數(shù)學(xué)期望；二是要看發(fā)生違規(guī)事件次數(shù)的波動(dòng)情況,即方差值的大小.(當(dāng)然,亦可計(jì)算其標(biāo)準(zhǔn)差,同

7、樣說明道理.)解：甲保護(hù)區(qū)的違規(guī)次數(shù)匕的數(shù)學(xué)期望和方差為：E1=00.310.320.230.2=1.3;D；二(0-1.3)20.3-(1-1.3)20.3(2-1.3)20.2-(3-1.3)20.2=1.21;乙保護(hù)區(qū)的違規(guī)次數(shù)J的數(shù)學(xué)期望和方差為：E2=00.110.520.4=1.3;Dg=(0-1.3)2父0.1+(1-1.3)2父0.5+(2-1.3)晨0.4=0.41；由于E：1=E%,D,Dg,所以兩個(gè)保護(hù)區(qū)內(nèi)每季度發(fā)生的違規(guī)平均次數(shù)是相同的,但乙保護(hù)區(qū)內(nèi)的違規(guī)事件次數(shù)更集中和穩(wěn)定,而甲保護(hù)區(qū)的違規(guī)事件次數(shù)相對(duì)分散和波動(dòng).(標(biāo)準(zhǔn)差武1=拒£=1.1,.與二?仄-0.

8、64這兩個(gè)值在科學(xué)計(jì)算器上容易獲得,顯然,吟也)說明：數(shù)學(xué)期望僅表達(dá)了隨機(jī)變量取值的平均大小,但有時(shí)僅知道均值大小還是不夠的,比方：兩個(gè)隨機(jī)變量的均值相等了(即數(shù)學(xué)期望值相等),這就還需要知道隨機(jī)變量的取值如何在均值周期變化,即計(jì)算其方差(或是標(biāo)準(zhǔn)差).方差大說明隨機(jī)變量取值分散性大；方差小說明取值分散性小或者說取值比擬集中、穩(wěn)定.射擊練習(xí)中耗用子彈數(shù)的分布列、期望及方差例某射手進(jìn)行射擊練習(xí),每射擊5發(fā)子彈算一組,一旦命中就停止射擊,并進(jìn)入下一組的練習(xí),否那么一直打完5發(fā)子彈后才能進(jìn)入下一組練習(xí),假設(shè)該射手在某組練習(xí)中射擊命中一次,并且他射擊一次的命中率為0.8,求在這一組練習(xí)中耗用子彈數(shù)之的

9、分布列,并求出的期望Et與方差Dt(保存兩位小數(shù)).分析：根據(jù)隨機(jī)變量不同的取值確定對(duì)應(yīng)的概率,在利用期望和方差的定義求解.解：該組練習(xí)耗用的子彈數(shù)U為隨機(jī)變量,已可以取值為1,2,3,4,5.七=1,表示一發(fā)即中,故概率為P(2：=1)=0.8;- =2,表示第一發(fā)未中,第二發(fā)命中,故P(-2)=(1-0.8)0.8-0.20.8-0.16;- =3,表示第一、二發(fā)未中,第三發(fā)命中,故P(=3)=(1-0.8)20.8=0.220.8=0.032;=4,表示第一、二、三發(fā)未中,第四發(fā)命中,故P.：=4)=(1-0.8)30.8=0.230.8=0.0064- =5,表示第五發(fā)命中,故P(=5

10、)=(1-0.8)41=0.24=0.0016.因此,巴的分布列為12345P0.80.160.0320.00640.0016E=10.820.1630.03240.006450.0016=0.80.320.0960.02560.008-1.25,D=(1-1.25)20.8(2-1.25)20.16(3-1.25)20.032(4-1.25)20.0064(5-1.25)20.0016=0.050.090.0980.04840.0225=0.31.說明：解決這類問題首先要確定隨機(jī)變量的所有可能取值,然后再根據(jù)概率的知識(shí)求解對(duì)應(yīng)的概率.準(zhǔn)備禮品的個(gè)數(shù)例某尋呼臺(tái)共有客戶3000人,假設(shè)尋呼臺(tái)準(zhǔn)備了100份小禮品,邀請(qǐng)客戶在指定時(shí)間來領(lǐng)取.假設(shè)任一客戶去領(lǐng)獎(jiǎng)的概率為4%.問：尋呼臺(tái)能否向每一位顧客都發(fā)出獎(jiǎng)邀請(qǐng)？假設(shè)能使每一位領(lǐng)獎(jiǎng)人都得到禮品,尋呼臺(tái)至少應(yīng)準(zhǔn)備多少禮品？分析：可能來多少人,是一個(gè)隨機(jī)變量之.而顯然是服從二項(xiàng)分布的,用數(shù)學(xué)期望來反映平均來領(lǐng)獎(jiǎng)人數(shù),即能說明是否可行.解：設(shè)來領(lǐng)獎(jiǎng)的人數(shù)£=k,k=0,1,2,300,0所以PU=k=C；0000.04k10.0