高斯小學(xué)奧數(shù)五年級(jí)上冊(cè)含答案_直線形計(jì)算中的倍數(shù)關(guān)系

1、第六講直線型計(jì)算中的倍數(shù)關(guān)系迄今為止,同學(xué)們已經(jīng)學(xué)會(huì)了很多圖形計(jì)算面積的方法.在計(jì)算這些面積的時(shí)候,只要知道相應(yīng)線段的長(zhǎng)度,然后利用公式即可以計(jì)算.例如計(jì)算長(zhǎng)方形的面積,只需知道長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬即可利用長(zhǎng)方形的面積長(zhǎng)寬進(jìn)行計(jì)算？但很多時(shí)候,題目中并不給出長(zhǎng)和寬,8、那怎么來(lái)求面積呢？我們來(lái)看下面這個(gè)例題.Frz例題1.如圖,有9個(gè)小長(zhǎng)方形,其中的5個(gè)小長(zhǎng)方形的面積分別為4、12、16、20平方米.其余4個(gè)長(zhǎng)方形的面積分別是多少平方米？分析如果兩個(gè)長(zhǎng)方形的一條邊相等,我們可以比擬它們的另一條邊來(lái)求它們的面積關(guān)系,看看下列圖,能利用左上角的三塊面積求出的面積嗎？對(duì)于長(zhǎng)方形,我們總結(jié)出：如果兩個(gè)長(zhǎng)方形

2、的長(zhǎng)寬相等,那么它們的面積的比等于它們寬長(zhǎng)之比.例如：如下圖的長(zhǎng)方形ABCD與長(zhǎng)方形BEFC寬BC相同,那么長(zhǎng)方形ABCD的面積:長(zhǎng)方形BEFC的面積AB:BE.如圖,有7個(gè)小長(zhǎng)方形,其中的5個(gè)小長(zhǎng)方形的面積分別為20,4,6,8,10平方厘米.求陰影長(zhǎng)方形的面積是多少平方厘米？2046810從上面的例題可以看出,求一個(gè)圖形的面積不一定要通過公式,有些時(shí)候我們也可以利用圖形各局部之間的面積關(guān)系進(jìn)行計(jì)算.實(shí)際問題中,各圖形的形狀各異.我們很難直接看出面積間的關(guān)系,更容易發(fā)現(xiàn)的是長(zhǎng)度之間的倍數(shù)關(guān)系.本章重點(diǎn)就是長(zhǎng)度的倍數(shù)關(guān)系與面積倍數(shù)關(guān)系的轉(zhuǎn)化.過三角形一個(gè)頂點(diǎn)的直線將三角形分為兩個(gè)小三角形那么這

3、兩個(gè)小三角形面積之比等于該直線分對(duì)邊所得的兩條線段長(zhǎng)度之比,這是由兩個(gè)小三角形有共同的高決定的F為BE中點(diǎn),如果三角形三角形ABD的面積：三角形ADC的面積BD:DC例題2.下列圖中三角形ABC的面積是180平方厘米,D是BC的中點(diǎn),AD的長(zhǎng)是AE長(zhǎng)的3倍.那么三角形ABE的面積是多少平方厘米？分析你能從圖中發(fā)現(xiàn)前面講過的根本圖形嗎？如何利用其中的比例關(guān)系解題呢？如圖,三角形ABC中,D為AB的中點(diǎn),E為BC的中點(diǎn),ABC的面積是120平方厘米,那么三角形DEF的面積是多少？比方知道兩條線段的在實(shí)際問題中,給出的圖形結(jié)構(gòu)往往只能滿足上述形式的一局部長(zhǎng)度關(guān)系,卻找不到適宜的圖形引出面積關(guān)系.此時(shí)

4、,我們可以添加適當(dāng)?shù)妮o助線,使得兩個(gè)圖形之間可以找到一個(gè)過渡的量,這個(gè)量和兩個(gè)圖形都有比擬緊密的聯(lián)系.角形ABC,例題3.如圖,把三角形DEF的各邊分別向外延長(zhǎng)1倍后得到三三角形DEF的面積為1,那么三角形ABC的面積是多少？分析容易看出,此題也需要通過邊長(zhǎng)的倍數(shù)關(guān)系去求三角形面積之間的關(guān)系？但是我們所求的是三角形DEF的面積,而沒有.那么我們的是三角形ABC的面積,這兩個(gè)三角形之間一條直接相連的邊也該怎么辦呢？如圖,把三角形DEF的各邊分別向外延長(zhǎng)1倍、2倍、3倍后得到三角形ABC,三角形DEF的面積為1,那么三角形ABC的面積是多少？A除了利用圖形間的長(zhǎng)度關(guān)系尋找面積關(guān)系外,我們有時(shí)候也利

5、用面積的倍數(shù)關(guān)系反推出長(zhǎng)度的倍數(shù)關(guān)系.例題4.如圖,E是AB上靠近A點(diǎn)的三等分點(diǎn),梯形ABCD的面積是三角積的倍數(shù)關(guān)系.需要求的那么是長(zhǎng)度的倍數(shù)關(guān)系,所以我們考慮如形AEC面積的4倍,那么梯形的下底長(zhǎng)是上底長(zhǎng)的幾倍?分析此題中我們并不知道圖形的具體面積,而只知道面何利用面積的關(guān)系求出長(zhǎng)度關(guān)系.我們不妨假設(shè)三角形AEC的面積是“1份,那么梯形ABCD的面積就是“5份？接著可以看看“E是AB上的三等分點(diǎn)這個(gè)條件能得出什么結(jié)論,看看怎么利用求出的面積來(lái)比擬梯形的上下底？如圖,將一個(gè)長(zhǎng)為18的長(zhǎng)方形,分成一個(gè)三角形和一個(gè)梯形,且梯形的面積是三角形的5倍,那么三角形底邊BE的長(zhǎng)是多少？除了利用長(zhǎng)度間的倍

6、數(shù)關(guān)系外,積的倍數(shù)關(guān)系.我們有時(shí)候也能從公式入手,尋找圖形面例題5.把一個(gè)正方形的相鄰兩邊分別增加2厘米和4厘米,結(jié)果面積增加了50平方厘米,那么原正方形的面積為多少平方厘米？分析由于陰影局部是一個(gè)不規(guī)那么圖形,我們需要把它轉(zhuǎn)化為規(guī)那么形狀,可以將它分割成幾塊.如下圖,我們將陰影局部分割為、三個(gè)長(zhǎng)方形？其中,的長(zhǎng)和寬分別為4、2,可以求出它的面積？那么和的面積能求出來(lái)嗎？關(guān)鍵是找出它們面積的關(guān)系.例題6.如圖,直角三角形ABC套住了一個(gè)正方形CDEF,E點(diǎn)恰好在AB邊上.又已知直角邊AC長(zhǎng)20厘米,BC長(zhǎng)12厘米,那么正方形的邊長(zhǎng)為多少厘米？分析注意到EF垂直于AC,ED垂直于BC.我們可以連

7、接CE,將三角形ABC分成兩個(gè)三角形,這兩個(gè)三角形的底都給出了長(zhǎng)度,而它們的高相等.我4們的目標(biāo)就是求這個(gè)高.歐拉的故事歐拉是數(shù)學(xué)史上著名的數(shù)學(xué)家,他在數(shù)論、幾何學(xué)、天文數(shù)學(xué)、微積分等好幾個(gè)數(shù)學(xué)的分支領(lǐng)域中都取得了出色的成就.歐拉小時(shí)候幫助爸爸放羊,他一面放羊,一面讀書.他讀的書中,有不少數(shù)學(xué)書.爸爸的羊群漸漸增多了,到達(dá)了100只.原來(lái)的羊圈有點(diǎn)小了,爸爸決定建造一個(gè)新的羊圈.他用尺量出了一塊長(zhǎng)方形的土地,長(zhǎng)40米,寬15米,他一算,面積正好是600平方米,平均每一頭羊占地6平方米.正打算開工的時(shí)候,他發(fā)現(xiàn)他的材料只夠圍100米的籬笆,不夠用.假設(shè)要圍成長(zhǎng)40米,寬15米的羊圈,其周長(zhǎng)將是1

8、10米(15+15+40+40=110)父親感到很為難,假設(shè)要按原方案建造,就要再添10米長(zhǎng)的材料；要是縮小面積,每頭羊的面積就會(huì)小于6平方米.小歐拉卻向父親說(shuō),不用縮小羊圈,也不用擔(dān)憂每頭羊的領(lǐng)地會(huì)小于原來(lái)的方案.他有方法.父親不相信小歐拉會(huì)有方法,沒有理會(huì)他.小歐拉急了,大聲說(shuō)：只要稍稍移動(dòng)一下羊圈的樁子就行了.父親聽了直搖頭,心想：世界上哪有這樣廉價(jià)的事情？但是,小歐拉卻堅(jiān)信,他一定有兩全齊美的方法.父親終于同意讓兒子試試看.小歐拉見父親同意了,站起身來(lái),跑到準(zhǔn)備開工的羊圈旁.他以一個(gè)木樁為中央,將原來(lái)的40米邊長(zhǎng)截短,縮短到25米.父親著急了,說(shuō)：那怎么成呢？那怎么成呢？這個(gè)羊圈太小了

9、,太小了.小歐拉也不答復(fù),跑到另一條邊上,將原來(lái)15米的邊長(zhǎng)延長(zhǎng),又增加了10米,變成了25米.經(jīng)這樣一改,原來(lái)方案中的羊圈變成了一個(gè)25米邊長(zhǎng)的正方形.然后,小歐拉很自信地對(duì)爸爸說(shuō)：現(xiàn)在,籬笆也夠了,面積也夠了.父親照著小歐拉設(shè)計(jì)的羊圈扎上了籬笆,100米長(zhǎng)的籬笆真的夠了,不多不少,全部用光.面積也足夠了,而且還稍稍大了一些.父親心里感到非?？鞓?作業(yè)1.如圖,一個(gè)長(zhǎng)方形被分成了四個(gè)小長(zhǎng)方形,長(zhǎng)方形A的面積是45平方米,長(zhǎng)方形B的面積是15平方米,長(zhǎng)方形C的面積為15平方米,那么長(zhǎng)方形D的面積是多少？作業(yè)2.如圖,D為AB邊上的三等分點(diǎn),三角形ACD面積為12,那么三角形BCD面積是多少？作

10、業(yè)3.如圖,D、E分別為AB、BC邊上的三等分點(diǎn),三角形ABC面積為72,那么三角形CDE面積是多少？作業(yè)4.如圖,把三角形DEF的各邊向外延長(zhǎng)2倍后得到三角形ABC,三角形DEF的面積為1,那么三角形ABC的面積是多少？作業(yè)5.點(diǎn)B是正方形一條邊上的四等分點(diǎn).連接AB、BC,點(diǎn)D、E又是AB、BC的四等分點(diǎn),連接CD、DE.如果正方形邊長(zhǎng)為24厘米,那么：1三角形ABC的面積是多少？2三角形CDE的面積是多少?24厘米第六講直線型計(jì)算中的倍數(shù)關(guān)系例題1.答案：如下圖詳解：長(zhǎng)方形一邊確定,面積的倍數(shù)關(guān)系與另一鄰邊的倍數(shù)關(guān)系相同1612241230平方厘米.7個(gè)小三角形面積相等.20例題2.答案

11、：30詳解：ABD與AADC的面積比是1:1,可求出ABD的面積是90平方厘米.ABE與ABDE的面積比是1:2,那么ABE的面積是90例題3.答案：7詳解：連結(jié)AE、BF、CD,由等高三角形可以推出圖中的例題4.答案：3倍詳解：設(shè)AAEC的面積是1份,那么有梯形的面積是4份,ABC的面積是3份.所以AACD的面積是1份.而ADC與AABC的高相同,所以底的比等于面積的比,即AD:BC=1:3.例題5.答案：49詳解：設(shè)正方形邊長(zhǎng)為a,那么有2a4a2450,a=7.a厘米.可列例題6.答案：7.5詳解：連結(jié)CE,將三角形切成兩個(gè)小三角,設(shè)正方形邊長(zhǎng)為方程2012220a12a2,a=7.5.

12、84612平方厘米？再求陰影局部的面積,20102,46812215練習(xí)1.答案：15簡(jiǎn)答：先求出面積為6的長(zhǎng)方形下面長(zhǎng)方形的面積,應(yīng)該是練習(xí)2.答案：15平方厘米簡(jiǎn)答：由于D是AB的中點(diǎn),可知BDC的面積是AABC面積的一半,120260?E點(diǎn)是BC的中點(diǎn),F是BE的中點(diǎn),那么DEF的面積是ABCD的四分之一,60415?練習(xí)3.答案：18簡(jiǎn)答：如下圖,連結(jié)AF、BD和CE?根據(jù)等高三角形的性質(zhì)可以求出其他三角形的面積.練習(xí)4.答案：6CDFE的面積是長(zhǎng)簡(jiǎn)答：如下圖,連結(jié)EF,使得ABEF是一個(gè)長(zhǎng)方形？那么長(zhǎng)方形方形ABEF的兩倍,所以EC是BE的兩倍,BE長(zhǎng)為6.作業(yè)1.答案：5簡(jiǎn)答：長(zhǎng)方形A的面積是長(zhǎng)方形B的面積的3倍,因此長(zhǎng)方形C的面積也是長(zhǎng)方形D的面積的3倍,因此長(zhǎng)方形D的面積為5.作業(yè)2.答案：24簡(jiǎn)答：BD長(zhǎng)度是AD長(zhǎng)度的2倍,因此三角形BCD面積也是三角形ACD面積的2倍,因此三角形BCD面積為24.作業(yè)3.答案：16簡(jiǎn)答：由D、E分別為AB、BC邊上的三等分點(diǎn),可求得三角形BCD面積為48,三角作業(yè)4.答案：19簡(jiǎn)答：如下圖,連接AE、BF、CD.由AD2DF,BE2ED,