數(shù)值分析：5-5分段低次插值法

1、第五章第五章 函數(shù)近似計算的插值問題函數(shù)近似計算的插值問題 5.5 分段低次插值法分段低次插值法 5.5 分段低次插值法分段低次插值法一、高次插值的龍格(Runge)現(xiàn)象(插值過程的收斂性問題)問題:所構(gòu)造的插值多項式 作為 L ( )nx( ) , f xC a b近似函數(shù),是否 的次數(shù)愈高,逼近 的效果愈好,即L ( )nx( )f x( )( ), , nnL xf xxa b 利用高次插值多項式的危險性,在20世紀(jì)初被Runge發(fā)現(xiàn).例子.5 , 5,11)(2xxxf設(shè)函數(shù)ninhihxnni, 1 ,0,10,515 , 5個節(jié)點等份取將插值多項式次的作試就Lagrangenxfn

2、)(10, 8 , 6 , 4 ,2并作圖比較.解:21()1iiiff xx插值多項式次作LagrangennjnjiiijijnxxxxxxL002)()(11)(10, 8 ,6 ,4 ,2n不同次數(shù)的不同次數(shù)的Lagrange插值多項式的比較圖插值多項式的比較圖Runge現(xiàn)象現(xiàn)象-5-4-3-2-1012345-1.5-1-0.500.511.52n=2n=4n=6n=8n=10f(x)=1/(1+x2) 在在 -2,2 上上L10(x)對對f(x)逼近較逼近較好好,但在端點附近很差但在端點附近很差.可可以證明以證明即隨著即隨著n的增長的增長Ln(x)在兩在兩端點附近的振蕩會越來越大端

3、點附近的振蕩會越來越大.高次高次代數(shù)代數(shù)插值所發(fā)生的這種現(xiàn)象稱為插值所發(fā)生的這種現(xiàn)象稱為Runge現(xiàn)象現(xiàn)象.在上個世紀(jì)初在上個世紀(jì)初由由Runge發(fā)現(xiàn)發(fā)現(xiàn). )()(maxlimxLxfnxn55 這表明這表明: 并不是插值多項式的次數(shù)越高并不是插值多項式的次數(shù)越高,插值效果越好插值效果越好,精度也不一定是隨次數(shù)的提高而升高精度也不一定是隨次數(shù)的提高而升高. 不適宜在大范圍使用高次代數(shù)插值不適宜在大范圍使用高次代數(shù)插值.: 分段分段低次低次插值插值;分段分段光滑光滑插值插值;若從舍入誤差分析若從舍入誤差分析,知當(dāng)知當(dāng)n7時時,舍入誤差亦會增大舍入誤差亦會增大.可知可知, Runge現(xiàn)象是由現(xiàn)象

4、是由f(x)的高階導(dǎo)數(shù)無界所致的高階導(dǎo)數(shù)無界所致.)()!()()()()()(xwnfxLxfxRnnnn1 考考慮慮01i1 (x) a,b , (1) ( ) , ;() (2) ( ) , 0,1) ( ) (niffffxxC a bxx xinf xkxf定義:設(shè)是定義在區(qū)間 上的函數(shù)，在 結(jié)點上的函數(shù)值為若函數(shù) （ ）滿足連續(xù)在子區(qū)間（上是的 次插值多項式。 則稱 （ ）是) , xa bk在上的分段次插值多項式。分段分段低次低次插值插值二、分段線性Lagrange插值,ix設(shè)插值節(jié)點為,0,1,ifin函數(shù)值為,11kkkkxxxx形成一個插值區(qū)間任取兩個相鄰的節(jié)點構(gòu)造Lagr

5、ange線性插值1,2 , 1 ,0,1nixxhiiiiihhmax1. 分段線性插值的構(gòu)造11kkkkxxfxx11kkkkxxfxx1, 1 , 0nk-(1)-(2)( )kx顯然,當(dāng) 時1,kkkxxx 或者通過分段插值基函數(shù) 的線性組合來表示 :0 ( )niil x( )x( )x0( )( ) ,niiixl x f , xa b其中0( )lx 101,xxxx01,xx x01,xx x( )il x 11,iiixxxx1,iixxx1 ,iixx x( )nlx 11,nnnxxxx1,nnxxx1,nnxxx0,11,iiixxxx0,11,iixxx0,且0( )1

6、niil x-4-3-2-101234-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-4-3-2-101234-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-4-3-2-101234-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-4-3-2-101234-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-4-3-2-101234-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81( )yx分段線性插值的圖象( ,) ,0,1,iix yin實際上是連接點的一條折線也稱折線插值,如右圖曲線的光滑性較差在節(jié)點處有尖點

7、但如果增加節(jié)點的數(shù)量減小步長,會改善插值效果0lim ( )hx)(xf上連續(xù)在若,)(baxf因此則)()!1()(1)1(xnfnn由第二節(jié)定理1可知,n次Lagrange插值多項式的余項為)()()(xPxfxRnn( )x那么分段線性插值的余項為1( )( )( )R xf xx)(2)(1 kkxxxxf有關(guān)與且xxxxkk,1| )(|1xR|)(|max|)(|max211 kkkbxabxaxxxxxf224121hM 2281hM2. 分段線性插值的誤差估計2121 f(x)C , ,(),(0,1, ), ( ) (ab), , h |f(x)- (x)|max |( )

8、| (6.5.1)8 iini iii na bf xyinxy l xxxa bfx 定理 設(shè)且（ ）則對任意有其中11 hmax()iii nxx 三、分段三次Hermite插值( ) , ,0,1,iif xa bxf in設(shè)函數(shù)在上的節(jié)點 上的函數(shù)值為,0,1,iixf in 在節(jié)點 上的導(dǎo)數(shù)值為1, 1 ,0,1nkxxkk對任意兩個相鄰的節(jié)點可構(gòu)造兩點三次Hermite插值多項式( )( )( )( )( )3011011( )( )( )( )( )kkkkkkkkkHxfxfxfxfx,1kkxxx1, 1 ,0nk插值基函數(shù)為Hermitexxxxkkkk)(),(),(),

9、()(1)(0)(1)(0)()(0 xk)()(1xk)()(0 xk)()(1xk1121kkkxxxx21kkkxxxxkxx 211kkkxxxx21kkkxxxx1kxxkkkxxxx121211kkkxxxx其中我們稱( )331( )( ) ,0,1,1kkkHxHxxxxkn 為分段三次Hermite插值多項式，其余項為)()(! 4)(max)(max)(212)4(10)(3103kknkknkxxxxfxRxR44221421210438414)(! 4)()(max! 41hMxxMxxxxMkkkknkxxxkk例2.21( )1f xx設(shè)函數(shù)在節(jié)點處的函數(shù)值及導(dǎo)數(shù)值

10、,比較幾種插值.我們分別用分段二次、三次Lagrange插值和分段兩點三次Hermite插值作比較解:212104)()(max! 4kknkxxxxM)(3xR即 f(x)0.80000 0.307690.137930.075470.04160 H3(x) 0.81250 0.30750 0.13750 0.07537 0.04159 x0.51.52.53.54.8 R3(x)=f(x)-H3(x)-0.01250000000000 0.00019230769231 0.00043103448276 0.00009972579487 0.00001047427455 L2(x)0.875000.32500 0.12500 0.072060.04087 L3(x)0.800000.325000.133820.074430.04269分段低次插值的特點分段