高中數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)之用分類討論思想解題

1、1高中數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)之用分類討論思想解題參數(shù)廣泛地存在于中學(xué)數(shù)學(xué)的各類問題中，也是近幾年來高考重點考查的熱點問題之一。以命題的條件和結(jié)論的結(jié)構(gòu)為標(biāo)準(zhǔn)，含參數(shù)的問題可分為兩種類型，。一種類型的問題是根據(jù)參數(shù)在允許值范圍內(nèi)的不同取值(或取值范圍)，去探求命題可能出現(xiàn)的結(jié)果，然后歸納出命題的結(jié)論；另一種類型的問題是給定命題的結(jié)論去探求參數(shù)的取值范圍或參數(shù)應(yīng)滿足的條件。本文擬就第一類問題的解題思想方法一一分類與討論作一些探討，不妥之處，敬請斧正。解決第一類型的參數(shù)問題，通常要用“分類討論”的方法，即根據(jù)問題的條件和所涉及到的概念；運用的定理、公式、性質(zhì)以及運算的需要，圖形的位置等進(jìn)行科學(xué)合理的分類，然后

2、逐類分別加以討論，探求出各自的結(jié)果，最后歸納出命題的結(jié)論，達(dá)到解決問題的目的。它實際上是一種化難為易，化繁為簡的解題策略和方法。一、科學(xué)合理的分類把一個集合A分成若干個非空真子集Ai(i=i、2、3-n)(n2,nN),使集合A中的每一個元素屬于且僅屬于某一個子集。即1AiuA2UA3UUAn=A2AinAj=(i,jN,且i勺)。則稱對集A進(jìn)行了一次科學(xué)的分類(或稱一次邏輯劃分)科學(xué)的分類滿足兩個條件：條件保證分類不遺漏；條件保證分類不重復(fù)。在此基礎(chǔ)上根據(jù)問題的條件和性質(zhì)，應(yīng)盡可能減少分類。二、確定分類標(biāo)準(zhǔn)在確定討論的對象后，最困難是確定分類的標(biāo)準(zhǔn)，一般來講，分類標(biāo)準(zhǔn)的確定通常有三種：(1)

3、根據(jù)數(shù)學(xué)概念來確定分類標(biāo)準(zhǔn)a(a0)例如：絕對值的定義是：|a|0(a0)a(a0)2所以在解含有絕對值的不等式|logix|+|logi(3x)|1時，就必須根據(jù)確定logix,373logi(3x)正負(fù)的x值1和2將定義域(0,3)分成三個區(qū)間進(jìn)行討論，即0vxv1,31xv2,22還是x1兩種情況給出的，所以在解底數(shù)中含有字母的不等式；如logx*1就應(yīng)以底數(shù)x1和0vxv1進(jìn)行分類討論，即：當(dāng)x2為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類討論可41時，11,當(dāng)0vxv1時，11.3x3xnai(q1)又如，等比數(shù)列前幾項和公式是分別給出的：&a1(1qn),小-(q1)1q一11當(dāng)q1時，lim0,lim

4、Tnnqnq1(0q1)1-(q1)q(3)根據(jù)運算的需要確定分類標(biāo)準(zhǔn)。例如：解不等式組3X1xloga2x2logax(a1)x2a21所以在解這類問題時，如果q是可以變化的量，就要以q為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類討論。例2、設(shè)首項為1,公比為q(q0)的等比數(shù)列的前、，一S。n項和為Sn,又設(shè)Tn=,n=1,Sn12，求Tn解：當(dāng)q=1時，Sn=n,Tn=limTnnSnTn于是當(dāng)0qv1時,limn0,limTnn綜上所述，limTnn顯然，應(yīng)以3,4為標(biāo)準(zhǔn)將a分為1av3,3va4三種情況進(jìn)行討論。例3、解關(guān)于x的不等式組5其中a0且a乒1。a,其解的狀況均取決于a1還是av1，所以1為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類

5、,(I)當(dāng)0Vav1時，可求得解為：頊a1x2;，一x2(n)當(dāng)a1時，可解得：0/,此時不等式組是否有解關(guān)鍵取決于Va1與2的大小關(guān)系，所以以Va12即a=3為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行第二次分類。(1)當(dāng)1va3時解集為(2,Ja1).綜上所述：當(dāng)0vav1時，原不等式解集為(2,Ja1);當(dāng)1va3時，解集為(2,旨).三、分類討論的方法和步驟(1)確定是否需要分類討論以及需要討論時的對象和它的取值范圍；(2)確定分類標(biāo)準(zhǔn)科學(xué)合理分類；(3)逐類進(jìn)行討論得出各類結(jié)果；(4)歸納各類結(jié)論。例4、若函數(shù)f(x)=a+bcosx+csinx的圖象經(jīng)過點(0,1)和(一,1)兩點，且x0,時，|f(x)|v2恒成

6、立，試求a的取值范圍。解：由f(0)=a+b=1,f()=a+c=1,求得b=c=1af(x)=a+(1a)(sinx+cosx)=a+%，2(1a)sin(x+)4解：由于不等式中均含有參數(shù)63-2-x一,sim(x)144424當(dāng)av1時，1vf(x)va+2(1a)|f(x)|v2.只要a+2(1a)v2解得aa272vav1；當(dāng)a1時，a+V2(1a)vf(x)V1,.只要a+72(1a)a2,解得av4+3J2，.二1vav4+3%/2，綜合，知實數(shù)a的取值范圍為一742,4+30。例5、已知函數(shù)f(x)=sim2x-asim2；(xR,aR)試求以a表示f(x)的最大值bo解：原函

7、數(shù)化為f(x)=(cosx)2a)令t=cosx，則1Vt1記g(t)=(t：)2(；)。tC-1,1因為二次函數(shù)g(t)的最大值的取得與二次函數(shù)y=g(t)的圖象的頂點的橫坐標(biāo)相對于定義域1,1的位置密切相關(guān)，所以以a相對于區(qū)間1,1的位置分三種情況討論：4當(dāng)一1VV1,即一4Vav4時,b=g(t)max=4(2)當(dāng)1,即a4時，b=0,此時，t=140(a4)綜上所述：b=(a4)(4a4)16a(a4)例6、等差數(shù)列an的公差dv0,Sn為前n項之和，若d,p,q表示Sn的最大值。pq1.略解：由Sp=Sqp乒q可求得adJ,此時t=164Sp=Sq,(p,qN,p乒q)試用8an0d

8、v0,.a10,當(dāng)且僅當(dāng)時Sn最大。an10工pq1工pq1由3n0得n，由an+122pq1n1+2J2時，不等式無解。例8、實數(shù)k為何值時，方程kx2+2|x|+k=0有實數(shù)解?略解：運用函數(shù)的思想解題:由方程可得k=耳2x(2)當(dāng)p+q為奇數(shù)時,n=Pq1或n=P；1Sn最大，且為(Sn)max1(Pq)2d分類討論的思想是一種重要的解題策略，對于培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性, 嚴(yán)謹(jǐn)性和靈活性以及提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力無疑具有較大的幫助。然而并不是問題中一出現(xiàn)含參數(shù)問題就一定得分類討論，如果能結(jié)合利用數(shù)形結(jié)合的思想, 函數(shù)的思想等解題思想方法可避免或簡化分類討論，從而達(dá)到迅速、準(zhǔn)確的解題效果。例7、解關(guān)于x的不等式：v32xx2略解：運用數(shù)形結(jié)合的思想解題如圖:在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出y=v32xx2和y=a-x的圖象,以Li,