山東省新泰市2015屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)熱點八計數(shù)原理概率與統(tǒng)計練習(xí)理(含解析)

1、數(shù)學(xué)熱點八 計數(shù)原理 概率與統(tǒng)計【考點精要】考點一. 概率的有關(guān)概念及等可能事件的概率. 如：從1，2，3，4，5中隨機選取一個數(shù)a，從1，2，3中隨機選取一個數(shù)b,則b>a的概率是 . 考點二. 幾何概型. 主要考查幾何概型的長度. 如：在區(qū)間上隨機取一個數(shù)x，的值介于0到之間的概率為( ).A. B. C. D.考點三. 相互獨立事件同時發(fā)生的概率，以及有關(guān)概率的計算. 如：兩個實習(xí)生每人加工一個零件加工為一等品的概率分別為和，兩個零件是否加工為一等品相互獨立，則這兩個零件中恰有一個一等品的概率為（B）A. B. C. D. 考點四. 排列組合. 考查排列組合的相關(guān)知識，重點考查兩個

2、原理. 如：某臺小型晚會由6個節(jié)目組成，演出順序有如下要求：節(jié)目甲必須排在第四位、節(jié)目乙不能排在第一位，節(jié)目丙必須排在最后一位，該臺晚會節(jié)目演出順序的編排方案共有( )A. 36種 B. 42種 C. 48種 D. 54種考點五. 用樣本的平均數(shù)、方差或標(biāo)準(zhǔn)差來估計總體的平均數(shù)、方差或標(biāo)準(zhǔn)差. 如：樣本中共有五個個體，其值分別為a，0，1，2，3，若樣本的平均值為1，則樣本方差為 . 考點六. 考查分層抽樣、隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣等，掌握各種抽樣的特征與方法. 如：一個單位有職工800人，其中具有高級職稱的160人，具有中級職稱的320人，具有初級職稱的200人，其余人員120人.為了解職工收入情

3、況，決定采用分層抽樣的方法，從中抽取容量為40的樣本.則從上述各層中依次抽取的人數(shù)分別是( )A. 12,24,15,9 B. 9,12,12,7 C. 8,15,12,5 D. 8,16,10,6考點七. 中位數(shù)、莖葉圖的相關(guān)知識及頻率分布直方圖. 考查頻率分布直方圖的基礎(chǔ)知識，在頻率分布表中，頻數(shù)的和等于樣本容量，頻率的和等于1，每一小組的頻率等于這一組的頻數(shù)除以樣本容量.頻率分布直方圖中，小矩形的高等于每一組的頻率/組距，它們與頻數(shù)成正比，小矩形的面積等于這一組的頻率. 如：將容量為n的樣本中的數(shù)據(jù)分成6組，繪制頻率分布直方圖. 若第一組至第六組數(shù)據(jù)的頻率之比為2：3：4：6：4：1，且

4、前三組數(shù)據(jù)的頻數(shù)之和等于27，則n等于 . 考點八. 離散型隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望. 如：設(shè)S是不等式的解集，整數(shù)，記使得“成立的有序數(shù)組”為事件A,（1）試列舉A包含的基本事件；（2）記，求的分布列及數(shù)學(xué)期望. ( )巧點妙撥1.排列與組合 分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理是關(guān)于計數(shù)的兩個基本原理，兩者的區(qū)別在于分步計數(shù)原理和分步有關(guān)，分類計數(shù)原理與分類有關(guān). 排列與組合主要研究從一些不同元素中，任取部分或全部元素進(jìn)行排列或組合，求共有多少種方法的問題.區(qū)別排列問題與組合問題要看是否與順序有關(guān)，與順序有關(guān)的屬于排列問題，與順序無關(guān)的屬于組合問題.2.二項式系數(shù)的性質(zhì)（1）在二項式展開式中，與首

5、末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等，即(r=0,1,2,n).（2）所有二項式系數(shù)和等于，即.3.概率（1）基本事件：試驗中不能再分的最簡單的“單位”隨機事件；一次試驗等可能的產(chǎn)生一個基本事件；任意兩個基本事件都是互斥的；試驗中的任意事件都可以用基本事件或其和的形式來表示（2）頻率與概率：隨機事件的頻率是指此事件發(fā)生的次數(shù)與試驗總次數(shù)的比值頻率往往在概率附近擺動，且隨著試驗次數(shù)的不斷增加而變化，擺動幅度會越來越小隨機事件的概率是一個常數(shù)，不隨具體的實驗次數(shù)的變化而變化（3）注意理解互斥事件與對立事件發(fā)生的條件. （4）古典概型與幾何概型：古典概型：具有“等可能發(fā)生的有限個基本事件”的概率模型

6、幾何概型：每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成事件區(qū)域的長度（面積或體積）成比例兩種概型中每個基本事件出現(xiàn)的可能性都是相等的，但古典概型問題中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個，而幾何概型問題中所有可能出現(xiàn)的基本事件有無限個【典題對應(yīng)】例1. （2014 · 山東7）為了研究某藥廠的療效，選取若干名志愿者進(jìn)行臨床試驗，所有志愿者的舒張壓數(shù)據(jù)（單位：）的分組區(qū)間為12,13),13,14),14,15),15,16),16,17,將其按從左到右的順序分別編號為第一組，第二組，第五組，右圖是根據(jù)試驗數(shù)據(jù)制成的頻率分布直方圖，已知第一組與第二組共有20人，第三組中沒有療效的有6人，則第三組中有療效的人

7、數(shù)為( )A. B. C. D. 命題意圖：本題主要考查頻率分布直方圖的相關(guān)知識，尤其是頻率域圖中縱坐標(biāo)、小矩形的面積的關(guān)系. 解析：第一組與第二組頻率之和為0.24+0.16=0.4答案：C名師坐堂：頻率分布直方圖中，應(yīng)明確所有矩形的面積之和為1，掌握頻率、頻數(shù)、中數(shù)、眾數(shù)的關(guān)系. 例2. （2014 · 山東18）乒乓球臺面被球網(wǎng)分成甲、乙兩部分.如圖，甲上有兩個不相交的區(qū)域，乙被劃分為兩個不相交的區(qū)域.某次測試要求隊員接到落點在甲上的來球后向乙回球.規(guī)定：回球一次，落點在上的概率為，在上的概率為.假設(shè)共有兩次來球且落在上各一次，小明的兩次回球互不影響.求：（I）小明兩次回球的落

8、點中恰有一次的落點在乙上的概率；（II）兩次回球結(jié)束后，小明得分之和的分布列與數(shù)學(xué)期望.命題意圖：本題考查概率在實際生活中的應(yīng)用，考查期望的應(yīng)用. 解析：（I）設(shè)恰有一次的落點在乙上這一事件為（II） 012346.名師坐堂：求數(shù)學(xué)期望的關(guān)鍵是要分清的情況，在每一中情況下的概率要分清是何種概率. 例3.（2013·山東10）用0,1，9十個數(shù)字可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為( )A. 243 B. 252 C. 261 D. 279命題意圖:本題主要考查排列數(shù)公式的應(yīng)用，會用枚舉法進(jìn)行分類. 解析：所有三位數(shù)共有900個，無重復(fù)數(shù)字的有.所以選B.名師坐堂：與數(shù)字有關(guān)的問題若是多

9、少位數(shù)應(yīng)首先明確數(shù)字是否允許重復(fù)，切記最高位數(shù)字不能為0. 例4（2013·山東理19）甲、乙兩支球隊進(jìn)行比賽，約定先勝3局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結(jié)束. 除第五局甲隊獲勝的概率是外，其余每局比賽甲隊獲勝的概率都是. 假設(shè)各局比賽結(jié)果相互獨立. （）分別求甲隊以3：0，3：1，3：2勝利的概率；（）若比賽結(jié)果為3：0或3：1，則勝利方得3分、對方得0分；若比賽結(jié)果為3：2，則勝利方得2分、對方得1分. 求乙隊得分的分布列和數(shù)學(xué)期望. 命題意圖:本題主要考查相互獨立事件的概率、分布列、數(shù)學(xué)期望. 能夠求出在不同條件下的事件的概率. 解析：（）記“甲隊以3：0勝利”為事件，“甲隊以3：

10、1勝利”為事件，“甲隊以3：2勝利”為事件 ，由題意，各局比賽結(jié)果相互獨立，故，.所以，甲隊以3：0勝利、以3：1勝利的概率都為，以3：2勝利的概率為.（）記“乙隊以3：2勝利”為事件，由題意，各局比賽結(jié)果相互獨立，所以，由題意，隨機變量的所有可能的取值為0，1，2，3，又 ，所以的分布列為0123因此.名師坐堂：求解概率的題目判斷一個隨機變量是否服從二項分布，關(guān)鍵有二：其一是獨立性，即一次實驗中，事件發(fā)生與不發(fā)生二者必居其一；其二是重復(fù)性，即試驗是獨立重復(fù)地進(jìn)行了次. 例6(2011·山東理7) 某產(chǎn)品的廣告費用x與銷售額y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表廣告費用x（萬元）4235銷售額y（萬元）

11、49263954根據(jù)上表可得回歸方程中的為9.4，據(jù)此模型預(yù)報廣告費用為6萬元時銷售額為A. 63.6萬元 B. 65.5萬元 C. 67.7萬元 D. 72.0萬元命題意圖：本題主要考查線性回歸方程、平均數(shù)的相關(guān)知識. 解析：由表可計算，因為點在回歸直線，且為9.4，所以，解得，故回歸方程為，令得，選B. 名師坐堂：線性回歸方程是新課程的內(nèi)容，因線性回歸方程的公式較為復(fù)雜，往往會被忽視，尤其是也在線性回歸方程上，應(yīng)注意靈活應(yīng)用. 例5（2012·山東理19） 現(xiàn)有甲、乙兩個靶. 某射手向甲靶射擊一次，命中的概率為，命中得1分，沒有命中得0分；向乙靶射擊兩次，每次命中的概率為,每命中

12、一次得2分，沒有命中得0分. 該射手每次射擊的結(jié)果相互獨立. 假設(shè)該射手完成以上三次射擊. （）求該射手恰好命中一次得的概率；（）求該射手的總得分X的分布列及數(shù)學(xué)期望EX.命題意圖：本題主要考查獨立重復(fù)實驗、二項分布以及數(shù)學(xué)期望與分布列. 重在考查學(xué)生對于獨立重復(fù)試驗?zāi)Ｐ偷睦斫馀c應(yīng)用. 解析：（）；（）,X012345PEX=0×+1×+2×+3×+4×+5×=.名師坐堂：對于獨立重復(fù)試驗應(yīng)注意運用，同時注意X的取值，注意驗證p的所有之和是否為1.【命題趨向】1每一年都有對概率的考查，題目背景均來源與現(xiàn)實生活，如文科2009年以轎車的

13、分配與使用為背景，2010年以隨機取球為背景，2011年以教師支教選派為背景，20121年以取卡片為背景，2013年以身高為背景，理科2009年以投籃為背景，2010年以知識競賽答題為背景，2011年圍棋賽為背景，2012年以射擊比賽為背景，2013年以球隊比賽為背景. 2015年以乒乓球賽為背景，這些背景材料均來源生活但有不陌生，今后生活中的諸如高考志愿選擇、污染治理、物價漲幅、社會保障、課程選擇、質(zhì)量抽測、住房保障等都可作為背景用來考查概率.2. 從近幾年考查的題目來看，理科每年都有對數(shù)學(xué)期望的考查，今后仍將保持高概率進(jìn)行考查，但就形式的發(fā)展來看，直方圖、頻率分布表等一些平時疏忽的知識點也

14、將登上高考的舞臺. 近幾年考查主要是隨機事件的概率、對立事件的概率、相互獨立事件的概率，主要在古典概型上著墨，幾何概型考查較少，只在2009年進(jìn)行考查，今后也會在小題中予以體現(xiàn)，應(yīng)引起重視.3. 二項分布是高中概率中最重要的概率分布，是近年高考非常注重的一個考點二項分布概率模型的特點是“獨立性”和“重復(fù)性”，事件的發(fā)生都是獨立的、相互之間沒有影響，事件又是在相同的條件之下重復(fù)發(fā)生要記住二項分布概率模型的這個特點，在解題時把符合這種特點的概率問題歸結(jié)到二項分布模型上面，直接根據(jù)二項分布概率模型的公式解決有的問題是局部的二項分布概率模型問題，解題時要注意這種特殊情況【直擊高考】1. 將字1、2、3

15、、4填入標(biāo)號為1、2、3、4的四個方格里，每格填一個數(shù)，則每個方格的標(biāo)號與所填數(shù)字均不相同的填法有( )A. 6種 B. 9種C. 11種 D. 23種2. 三人互相傳球，由甲開始傳球，并作為第一次傳球，經(jīng)過5次傳球后，球仍回到甲手中，則不同的傳球方式共有( )A. 6種 B. 8種 C. 0種 D. 12種3. 用0,1，2，3，4，5組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中5的倍數(shù)有( )個. A. 206 B. 106 C. 216 D. 3264. 已知集合M=-1，0，1，N=2，3，4，5，映射，當(dāng)xM時，為奇數(shù)，則這樣的映射的個數(shù)是( )A. 20 B. 18 C. 32 D. 245. 通

16、過隨即詢問110名性別不同的大學(xué)生是否愛好某項運動，得到如下的列聯(lián)表：男女總計愛好402060不愛好203050總計6050110由算得，.附表：0.0500.0100.0013.8416.63510.828參照附表，得到的正確結(jié)論是( )A.在犯錯的概率不超過0.1%的前提下，認(rèn)為“愛好該項運動與性別有關(guān)”B. 在犯錯的概率不超過0.1%的前提下，認(rèn)為“愛好該項運動與性別無關(guān)”C. 由99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項運動與性別有關(guān)”D. 由99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項運動與性別無關(guān)”6. 為了慶祝六一兒童節(jié)，某食品廠制作了種不同的精美卡片，每袋食品隨機裝入一張卡片，集齊種卡片可獲獎，現(xiàn)購買該

17、種食品袋，能獲獎的概率為( )A B C D 7. ABCD為長方形，AB2，BC1，O為AB的中點，在長方形ABCD內(nèi)隨機取一點，取到的點到O的距離大于1的概率為( )A. B. C. D. 8從長度分別為2、3、4、5的四條線段中任意取出三條，則以這三條線段為邊可以構(gòu)成三角形的概率是_. 9. 某數(shù)學(xué)老師身高176cm，他爺爺、父親和兒子的身高分別是173cm、170cm、和182cm.因兒子的身高與父親的身高有關(guān)，該老師用線性回歸分析的方法預(yù)測他孫子的身高為 cm.10. 某班有學(xué)生36人，血型分別為A型12人,B型10人,AB型8人,O型6人，現(xiàn)從中抽出2人，求這兩人血型不相同的概率.

18、11. 在第29屆北京奧運會上，中國健兒取得了51金、21銀、28銅的好成績，穩(wěn)居金牌榜首，由此許多人認(rèn)為中國進(jìn)入了世界體育強國之列，也有許多人持反對意見，有網(wǎng)友為此進(jìn)行了調(diào)查，在參加調(diào)查的2548名男性中有1560名持反對意見，2452名女性中有1200名持反對意見，在運用這些數(shù)據(jù)說明性別對判斷“中國進(jìn)入了世界體育強國之列”是否有關(guān)系時，有什么方法最有說服力( )A.平均數(shù)與方差 B.回歸直線方程 C.獨立性實驗 D.概率 12. 為2010年上海世博會挑選志愿者，大會組委會決定從上海某高級中學(xué)中選拔部分學(xué)生參加，該高級中學(xué)共有學(xué)生2000人，各年級男、女生人數(shù)如下表：高一高二高三女生373

19、xy男生377370z已知在全校學(xué)生中隨機抽取1名，抽到高二年級女生的概率是0.19.（）現(xiàn)用分層抽樣的方法在全校抽取48名學(xué)生，問應(yīng)在高三年級抽取多少人？（）已知求高三年級女生比男生多的概率.數(shù)學(xué)熱點八 計數(shù)原理 概率與統(tǒng)計1. 解析：解法一（采用“分步”方法）：完成這件事分三個步驟。第一步：任取一個數(shù)字，按規(guī)定填入方格，有3種不同填法；第二步：取與填入數(shù)字的格子編號相同的數(shù)字，按規(guī)定填入方格，仍有3種不同填法；第三步：將剩下的兩個數(shù)字按規(guī)定填入兩個格子，只有1種填法；于是，由分步計數(shù)原理得，共有N=3×3×1=9種不同填法。解法二：（采用“列舉”方法）：從編號為1的方格

20、內(nèi)的填數(shù)入手進(jìn)行分類。第一類：編號為1的方格內(nèi)填數(shù)字2，共有3種不同填法： 2413 2143 2341第二類：編號1的方格內(nèi)填數(shù)字3，也有3種不同填法： 3142 3412 3421第三類：編號為1的方格內(nèi)填數(shù)字4，仍有3種不同填法： 4123 4312 4321于是由分類計數(shù)原理得共有N=3+3+3=9種不同填法，應(yīng)選B解法三（間接法）：將上述4個數(shù)字填入4個方格，每格填一個數(shù)，共有N1=4×3×2×1=24種不同填法，其中不合條件的是(1)4個數(shù)字與4個格子的編號均相同的填法有1種；(2)恰有兩個數(shù)字與格子編號相同的填法有6種；(3)恰有1個數(shù)字與格子編號相

21、同的填法有8種；因此，有數(shù)字與格子編號相同的填法共有N2=1+6+8=15種，于是可知，符合條件的填法為24-15=9種。2.解析：（枚舉法）該題新穎，要在考試短時間內(nèi)迅速獲得答案，考慮互傳次數(shù)不多，所得選擇的答案數(shù)字也不大，只要按題意一一列舉即可。3. 解析：五位數(shù)是5的倍數(shù)，只要個位數(shù)字是0或5即可，容易求得答案為C。關(guān)于數(shù)的整除個數(shù)的性質(zhì)： 被2整除的：個位數(shù)為偶數(shù)； 被3整除的：各個位數(shù)上的數(shù)字之和被3整除； 被6整除的：3的倍數(shù)且為偶數(shù)； 被4整除的：末兩位數(shù)能被4整除；被8整除的：末三位數(shù)能被8整除； 25的倍數(shù)：末兩位數(shù)為25的倍數(shù)； 5的倍數(shù)：個位數(shù)是0，5；9的倍數(shù)：各個位數(shù)上的數(shù)字之和為9的倍數(shù).4. 解析：由映射定義知，當(dāng)xM時， 當(dāng)xM時，這里的x可以是奇數(shù)也可以是偶數(shù)，但 必須為奇數(shù)，因此，對M中x的對應(yīng)情況逐一分析，分步考察：第一步，考察x=-1的象，當(dāng)x=-1時， ，此時 可取N中任一數(shù)值，即M中的元素-1與N中的元素有4種對應(yīng)方法；第二步，考察x=0的象，當(dāng)x=0時， 為奇數(shù)，故 只有2種取法（ =3或 =5），即M中的元素0與N中的元素有2種對應(yīng)方法；第三步，考察x=1的象，當(dāng)x=1時， 為奇數(shù)，故 可為奇數(shù)也可為偶數(shù), 可取N中任一數(shù)值，即M中的元素1與N中的元素有4種對應(yīng)方法，于是由分步計數(shù)原理可知，映射