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文檔簡(jiǎn)介

1、一:不定方程知識(shí)精講1 .不定方程的定義1 .一次不定方程:含有兩個(gè)未知數(shù)的一個(gè)方程,叫做二元一次方程,由于它的解不唯一,所以也叫做二元一次不定方程.2 .多元不定方程:含有三個(gè)未知數(shù)的方程叫三元一次方程,它的解也不唯一.2 .不定方程的解法及步驟1 .常規(guī)方法:觀察法、試驗(yàn)法、枚舉法.2 .多元不定方程解法:根據(jù)已知條件確定一個(gè)未知數(shù)的值,或者消去一個(gè)未知數(shù),這樣就把三元一次方程變成二元一次不定方程,按照二元一次不定方程解即可.3 .涉及知識(shí)點(diǎn):列方程、數(shù)的整除、大小比較.3 .解不定方程的步驟1 .列方程.2 .消元.3 .寫(xiě)出表達(dá)式.4 .確定范圍.5 .確定特征.6 .確定答案.4 .

2、技巧總結(jié)1 .寫(xiě)出表達(dá)式的技巧:用特征不明顯的未知數(shù)表示特征明顯的未知數(shù)范圍小的未知數(shù)表示范圍大的未知數(shù).2 .消元技巧:消掉范圍大的未知數(shù).三點(diǎn)剖析重難點(diǎn):不定方程的解法以及應(yīng)用.題模精講題模一不定方程的計(jì)算例1、1、1、判斷下列不定方程就是否有正整數(shù)解,同時(shí)考慮用,若有,求出所有正整數(shù)解.-1021=101101 ./八 3工441 = 59 .10 k -20” = 1419 ,QX17.r- 32t = 4917",,(3)“;(4廠答案:/八小M'一*=5Qgv-llIv-SA=13,J-S1工=17H(2).工=4y-$fx-261h=229fx=157fjt=1

3、65x=133pc=101卜=的,y-15v-32V1-49ty-66y-S3y-10C(4)無(wú)整數(shù)解解析:/、"叉小曲)(1)L,所#"皿",即*1mod)工=37fx=5y-13411-151:工=1,r=5>=9;x=17j-14y-11y-8y-Sv1-2101101.19(modlM)+«X-I02j.84jt(modl02),所以*廠m加叫.無(wú)整數(shù)例1、1、2、駕全3I已知與分別表示兩個(gè)自然數(shù),并且二H二。,則9=答案:解析:依題意得11&5%=37,易知其自然數(shù)解為=2,*3.所以+Q5.例1、1、3、a2J有三個(gè)分子相同的最

4、簡(jiǎn)假分?jǐn)?shù),化成帶分?jǐn)?shù)后為善式三.已知a,b,c都小于10,a,b,c依次為答案:7,3,2解析:由題意有-2=-5=8;-.解這個(gè)不定方程,得”7斥3/1.例1、1、4、已知三丁代表兩位整數(shù),求方程"+)=2耳;的解題模二不定方程的應(yīng)用例1、2、1、有150個(gè)乒乓球分裝在大、小兩種盒子里,大盒每盒裝12個(gè),小盒每盒裝7個(gè).問(wèn)需要大盒子仝、小盒子能恰好把這些球裝完答案:大盒9個(gè),小盒6個(gè)或者大盒2個(gè),小盒18個(gè)解析:設(shè)需要x個(gè)大盒子,y個(gè)小盒子,依題意得= 15°,解得= "b=is ,.所以需要大盒9個(gè),小盒6個(gè)或者大盒2個(gè),小盒18個(gè).例1、2、2、某單位的職工

5、到郊外植樹(shù),其中有男職工也有女職工,并且有M的職工各帶一個(gè)孩子參加.男職工每人種13棵樹(shù),女職工每人種10棵樹(shù),每個(gè)孩子種6棵樹(shù),她們一共種了216棵樹(shù).請(qǐng)問(wèn):其中有答案:12名解析:設(shè)有x名男職工,y名女職工,則孩子有手“一”名,依題意得E-1。句IE,整理得:&一盯心化簡(jiǎn)得51尸72,解得3 = 8 jc =4、g,h-13,其中只有才就是整數(shù),所以有12名男職工.例1、2、3、有甲、乙、丙、丁四種貨物,若購(gòu)買(mǎi)甲1件、乙5件、丙1件、丁3件共需195元;若購(gòu)買(mǎi)甲2件、乙1件、丙4件、丁2件共需183元;若購(gòu)買(mǎi)甲2件、乙6件、內(nèi)6件、丁5件共需375元.現(xiàn)在購(gòu)買(mǎi)甲、乙、丙、丁各一件共

6、需多少元?答案:81元解析:設(shè)購(gòu)買(mǎi)甲一件要x元,乙一件要y元,內(nèi)一件要z元,丁一件要w元,依題意工十5v十i十3H.-195ffl得:,;2工-j-4-2舜=用I2x+Cj.'+6z+375®注意到題目要求的就是工J?一匕所以完全可以不求x、v、z、w分別就是多少,想辦法整體求出.觀察發(fā)現(xiàn)要直接湊出工一一三一討或它的倍數(shù)并不容易,一個(gè)比較明顯的就是十一可以求出二一上二30,w的系數(shù)變的一樣,得可以用來(lái)調(diào)整x與z的系數(shù).接著可以讓y與4x7j-10z*7v=55S一得767,所以卜1故現(xiàn)在購(gòu)買(mǎi)甲、乙、丙、丁各一件共需81元.(當(dāng)然本題可以直接瞧出一小一甫得到7r+7y-lz-7

7、“-S67例1、2、4、將一根長(zhǎng)為380厘米的合金鋁管截成若干根長(zhǎng)為36厘米與24厘米兩種型號(hào)的短管,加工損耗忽略不計(jì).問(wèn):剩余部分的管子最少就是多少厘米?答案:8厘米解析:設(shè)已經(jīng)截出了工根長(zhǎng)36厘米的管子與歲根長(zhǎng)24厘米的管子,那么被截出的管子一共長(zhǎng)跑-也厘米.由凸15:41,得:如-4,一定就是12的倍數(shù).而380不就是12的倍數(shù),所以%工-乂丁=3觀就是沒(méi)有自然數(shù)解的!管子不可能剛好被用盡,那么最少會(huì)剩下多少厘米呢?由于圾一定就是12的倍數(shù),小于380且能被12整除的最大自然數(shù)就是372,而竺為的自然數(shù)解就是存在的,如廿=14,也就就是截出1根長(zhǎng)36厘米的管子與14根長(zhǎng)24厘米的管子,能

8、夠使得截出的管子總長(zhǎng)度達(dá)到最大值372厘米.所以剩余部分最少就是理-3k三厘米.例1、2、5、有紙幣60張,其中1分、1角、1元與10元各有若干張請(qǐng)您判斷:這些紙幣的總面值能否恰好就是100元?設(shè)1分的有x張,1角的有y張,1元的有z張,10元的有w張,依題意得:工w二60,很明顯等號(hào)左-xWV1007-lOOChr-10000一邊就是9的倍數(shù),而等號(hào)右邊不就是9的倍數(shù),所以無(wú)自然數(shù)解,故這些紙幣的總面值不能恰好就是100元.例1、2、6、現(xiàn)有一架天平與很多個(gè)13克與17克的整碼,用這些整碼,不能稱(chēng)出的最大整數(shù)克重量就是多少?(整碼只能放在天平的一邊)答案:191解析:設(shè)用了x個(gè)13克的整碼,

9、y個(gè)17克的整碼,要稱(chēng)的重量為c克,依題意,就就是求使5v171文無(wú)自然數(shù)解的c的最大值.利用拓展14解法二中提到的結(jié)論,c最大取-映了刃呼時(shí)®-無(wú)自然數(shù)解,所以不能稱(chēng)出的最大整數(shù)克重量就是191克.例1、2、7、現(xiàn)有1、7升與4升的兩個(gè)空桶與一個(gè)大桶里的100升汽油,用這兩個(gè)空桶要倒出1升汽油,至少需要倒多少次?答案:26次解析:依題意,模擬的倒幾次后會(huì)發(fā)現(xiàn),本題與不定方程L717廣1與4丁-1-71=1的解有關(guān)系.先解出這兩個(gè)不定方程L7h-4j-1的解為1 = 10,1-1»(X=30fx=7041,-L7工=1的解為:u口J用牛刀,y=13?h=30L-10其中,心

10、.4這個(gè)解明顯要小,下面解釋一下它的含義先瞧它對(duì)應(yīng)的過(guò)程:1、倒?jié)M1、7升;2、1、7升倒入4升;3、倒?jié)M1、7升;4、1、7升倒入4升;5、倒?jié)M1、7升;6、1、7升倒入4升中,還剩1、1升;7、4升的倒入大桶里;8、1、1升倒入4升;9、倒?jié)M1、7升;10、1、7升倒入4升;11、倒?jié)M1、7升;12、1、7升倒入4升,還剩0、5升;13、4升的倒入大桶里;14、0、5升倒入4升;15、倒?jié)M1、7升;16、1、7升倒入4升;17、倒?jié)M1、7升;18、1、7升倒入4升;19、倒?jié)M1、7升;20、倒入4升,還剩1、6升.21、4升的倒入大桶里;22、1、6升倒入4升;23、倒?jié)M1、7升;24、倒

11、入4升;25、倒?jié)M1、7升;26、倒入4升,還剩1升.可以瞧出,每次從大桶中倒入兩個(gè)小桶的都就是1、7升,每次從兩個(gè)小桶中倒回大桶的都就是4升,所以?xún)蓚€(gè)小才S中量出的1升可以瞧做就是,倒進(jìn)的1、7x減去倒出的4y的差.那么就得到了上面的不定方程.另一個(gè)不定方程同理也很容易想明白.某校開(kāi)學(xué)時(shí),七年級(jí)新生人數(shù)在5001000范圍內(nèi),男、女生的比例為?.到八年級(jí)時(shí),由于收40名轉(zhuǎn)學(xué)生,男、女生的比例變?yōu)閁H.請(qǐng)問(wèn),該年級(jí)入學(xué)時(shí),男、女生各有多少人?答案:男生320人,女生280人解析:設(shè)開(kāi)始時(shí)共1或人,后來(lái)變?yōu)?"人,則MX口£66/”刈=3"易知a為8的倍數(shù),b為5的

12、倍數(shù),故可設(shè)廠配卜5d,方程化簡(jiǎn)為31=4d,且2子.解得二=1件=4,入學(xué)時(shí)總?cè)藬?shù)為15/*5=砌口人,男生320人,女生280人例1、2、9、在新年聯(lián)歡會(huì)上,某班組織了一場(chǎng)飛鏢比賽.如圖,飛鏢的靶子分為三塊區(qū)域,分別對(duì)應(yīng)17分、11分與4分.每人可以扔若干次飛鏢,脫靶不得分,投中靶子就可以得到相應(yīng)的分?jǐn)?shù)試問(wèn):如果比賽規(guī)定恰好投中100分才能獲獎(jiǎng),要想獲獎(jiǎng)至少需要投中幾個(gè)飛鏢?如果規(guī)定恰好投中120分才能獲獎(jiǎng),要想獲獎(jiǎng)至少需要投中幾個(gè)飛鏢?隨堂練習(xí)隨練1、1、1r?(1)"2j,=5,則1?=一答案:卜=1Jx-1U'2(2)"2無(wú)解口c解析:枚舉法.隨練1、2、

13、小高有若干張8分的郵票,墨莫肩擰答案:3張解析:設(shè)小高有8分郵票x張,15分郵票小局有3張8分郵票.卜列方程的自然數(shù)解_僮卜+3-8,則門(mén);(3產(chǎn)則尸卜卜=;(韋卜一”=2。,則J*千張15分的郵票,兩人的郵票總面值就是99分,那么小高的8分郵票有卜=3y張,依題意得-口弋,解得,所以將426個(gè)乒乓球裝在三種盒子里,大盒每盒裝25個(gè),中盒每盒裝20個(gè),小盒每盒裝16個(gè).現(xiàn)共裝了24盒,則用了仝大盒隨練1、4、新發(fā)行的一套珍貴的紀(jì)念郵票共三種不同的面值:20分、40分與50分,其中面值20分的郵票售價(jià)5元,面值40分的郵票售價(jià)8元而值50分的郵票售價(jià)9元.小明花了156元買(mǎi)回了總面值為8、3元的

14、郵票,那么三種面值的郵票分別買(mǎi)了_L答案:20分的郵票3張,40分的郵票3張,50分的郵票13張解析:設(shè)買(mǎi)了x張20分的郵票,y張40分的郵票,z張50分的郵票,依題意Q上十 Q.4T 十=83得:土2 if.,消 y 得了,.1 0,解得p=0 '|_z -IO "iz-ll;同時(shí)還要滿足y為整數(shù),經(jīng)驗(yàn)證當(dāng)二.”時(shí)符合題意,所以買(mǎi)了20分的郵票3張,40分的郵票3張,50分的郵票13張.課后作業(yè)作業(yè)1、方程一訂=2口有組自然數(shù)解答案:11解析:易知y可為0至衛(wèi)了人型的所有自然數(shù),即方程有11組自然數(shù)解作業(yè)2、求知一什=11的所有整數(shù)解解析:先找出一組基本的解,然后寫(xiě)出所有解

15、即可.作業(yè)3、求不定方程2x+3y+5z=15的正整數(shù)解答案:x=2>=1解析:先確定z的值,把三元一次不定方程轉(zhuǎn)化為二元一次不定方程,再進(jìn)行計(jì)算.正作業(yè)4、B=17設(shè)A與B都就是自然數(shù),并且滿足九一百一分.那么壬1=答案:解析:<3.4-115=17,又因?yàn)閍、B為自然數(shù)得l5-1A-B=3作業(yè)5、有兩種不同規(guī)格的油桶若干個(gè),大油桶能裝8千克油,小油桶能裝5千克油,44千克油恰好裝滿這些油桶.問(wèn):大油桶仝,小油桶答案:大油桶3個(gè),小油桶4個(gè)解析:設(shè)有x個(gè)大油桶y個(gè)小郵桶,依題意得s=44,解得=4,所以有3個(gè)大油桶,4個(gè)小郵桶.作業(yè)6、新學(xué)期開(kāi)始了,幾個(gè)老師帶著一些學(xué)生去搬全班的

16、100本教科書(shū).已知老師與學(xué)生共14人,每名老師能搬12本,每名男生能搬8本,每名女生能搬5本,恰好一次搬完.問(wèn):搬書(shū)的老師男生女生答案:老師3名,男生2名,女生8名解析:十射十兔二忖0設(shè)搬書(shū)的老師有x名,男生有y名,女生有z名,依題意得T-JT=",消ILJ去z得7J"N,解得"3,所以"14-3-3=S,所以搬書(shū)白老師有3名,男生2名,女生8名作業(yè)7、小李去文具店買(mǎi)圓珠筆、鉛筆與鋼筆,每種筆都只能整盒買(mǎi),不能單買(mǎi).鋼筆4支一盒,每盒5元;圓珠筆6支一盒,每盒6元;鉛筆10支一盒,每盒7元.小李總共花了97元,買(mǎi)了90支筆.請(qǐng)問(wèn):三種筆分別買(mǎi)了多少盒?

17、答案:圓珠筆3盒,鉛筆2盒,鋼筆13盒解析:設(shè)圓珠筆買(mǎi)了x盒,鉛筆買(mǎi)了y盒,鋼筆買(mǎi)了z盒,依題意得班十10十42二9。.,消去乂得匯=7,解得.pz-10K,jr-13L.rv=21將y、z代入原方程組發(fā)現(xiàn)只有J.巴時(shí),x有自然數(shù)解I.所以買(mǎi)了圓珠3盒,鉛筆2盒,鋼筆13盒.作業(yè)8、卡莉婭到商店買(mǎi)糖,巧克力糖13元一包,奶糖17元一包,水果糖7、8元一包,酥糖10、4元一包,最后她共花了360元,且每種糖都買(mǎi)了.請(qǐng)問(wèn):卡莉婭共買(mǎi)了多少包奶糖?答案:12包解析:不妨設(shè)巧克力糖、奶糖、水果糖與酥糖分別有三包、口包、包與卡包,則.把系數(shù)都化成整數(shù)彳導(dǎo):智皿口造SJ.由于我們只關(guān)心奶糖的數(shù)量,我們將未知數(shù)分為一組,其余未知數(shù)分為另一a:"也就就是13 5*-Sy -4v': *S5y = 1S0C.令,則1知+眨部0.它的自然數(shù)解只有口,所以卡莉婭共買(mǎi)了12包奶糖.作業(yè)9、雨軒圖

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