導數(shù)生活中的優(yōu)化舉例

1、選修2-2 導數(shù)生活中的優(yōu)化問題舉例命題人：林勇 審題人：林勇 時間：2014-3-15A卷一、選擇題（每小題10分，共50分）：1下列不屬于優(yōu)化問題的是()A汽油的使用效率何時最高B磁盤的最大存儲量問題C求某長方體容器的容積D飲料瓶大小對飲料公司利潤的影響2已知某生產(chǎn)廠家的年利潤y(單位：萬元)與年產(chǎn)量x(單位：萬件)的函數(shù)關系式為yx381x234，則使該生產(chǎn)廠家獲得最大年利潤的年產(chǎn)量為()A13萬件 B11萬件C9萬件 D7萬件3煉油廠某分廠將原油精煉為汽油，需對原油進行冷卻和加熱，如果第x小時，原油溫度(單位：)為f(x)x3x28(0x5)，那么，原油溫度的瞬時變化率的最小值是()A

2、8 B.C1 D84設底面為正三角形的直棱柱的體積為V，那么其表面積最小時，底面邊長為()A.B.C. D25要做一個圓錐形漏斗，其母線長為20 cm，要使體積最大，則其高應為()A. cm B. cmC5 cm D. cm 二、填空題（每小題10分，共30分）：6(2013·杭州調(diào)研)某商品一件的成本為30元，在某段時間內(nèi)，若以每件x元出售，可賣出(200x)件，則當每件商品的定價為_元時，利潤最大7某銀行準備設一種新的定期存款業(yè)務，經(jīng)預測，存款額與存款利率的平方成正比，比例系數(shù)為k(k0)，貸款的利率為4.8%，假設銀行吸收的存款能全部放貸出去若存款利率為x(x(0,4.8%)，

3、則使銀行獲得最大收益的存款利率為_8某公司租地建倉庫，每月土地占用費y1(萬元)與倉庫到車站的距離成反比，而每月庫存貨物的運費y2(萬元)與到車站的距離成正比，如果在距離車站10千米處建倉庫，y1和y2分別為2萬元和8萬元那么，要使這兩項費用之和最小，倉庫應建在離車_千米處三、解答題（本大題共2小題，共20分）：9如圖所示，設鐵路AB50，B、C之間距離為10，現(xiàn)將貨物從A運往C，已知單位距離鐵路費用為2，公路費用為4，問在AB上何處修建公路至C，可使運費由A至C最省10請你設計一個包裝盒，如圖所示，ABCD是邊長為60 cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線

4、折起，使得A，B，C，D四個點重合于圖中的點P，正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒，E，F(xiàn)在AB上，是被切去的一個等腰直角三角形斜邊的兩個端點，設AEFBx(cm)(1)某廣告商要求包裝盒的側面積S(cm2)最大，試問x應取何值？(2)某廠商要求包裝盒的容積V(cm3)最大，試問x應取何值？并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值B卷1橫梁的強度和它的矩形橫斷面的高的平方與寬的乘積成正比，要將直徑為d的圓木鋸成強度最大的橫梁，則橫斷面的高和寬分別為()A.d，d B.d，dC.d，dD.d，d2將邊長為1 m正三角形薄片，沿一條平行于底邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，記S，則S的最小值是_3有時可

5、用函數(shù)f(x)，描述學習某學科知識的掌握程度，其中x表示某學科知識的學習次數(shù)(xN*)，f(x)表示對該學科知識的掌握程度，正實數(shù)a與學科知識有關(1)證明：當x7時，掌握程度的增加量f(x1)f(x)總是下降；(2)根據(jù)經(jīng)驗，學科甲、乙、丙對應的a的取值區(qū)間分別為(115,121，(121,127，(127,133，當學習某學科知識6次時，掌握程度是85%，請確定相應的學科4兩縣城A和B相距20 km，現(xiàn)計劃在兩縣城外以AB為直徑的半圓弧上選擇一點C建造垃圾處理廠，其對城市的影響度與所選地點到城市的距離有關，對城A和城B的總影響度為城A與城B的影響度之和，記C點到城A的距離為x km，建在C

6、處的垃圾處理廠對城A和城B的總影響度為y.統(tǒng)計調(diào)查表明：垃圾處理廠對城A的影響度與所選地點到城A的距離的平方成反比，比例系數(shù)為4；對城B的影響度與所選地點到城B的距離的平方成反比，比例系數(shù)為k.當垃圾處理廠建在的中點時，對城A和城B的總影響度為0.065.(1)將y表示成x的函數(shù)；(2)討論(1)中函數(shù)的單調(diào)性，并判斷上是否存在一點，使建在此處的垃圾處理廠對城A和城B的總影響度最小？若存在，求出該點到城A的距離；若不存在，說明理由選修2-2 導數(shù)函數(shù)的極值參考答案A卷1解析：選C.選項A、B、D中明確提出了問題與求最值有直接的關系，是優(yōu)化問題而選項C僅要求求出容積，不是優(yōu)化問題故選C.2解析：

7、選C.令導數(shù)yx2810，解得x9，又x0，0x9；令導數(shù)yx2810，解得x9，函數(shù)yx381x234在區(qū)間(0,9)上是增函數(shù)，在區(qū)間(9，)上是減函數(shù)，在x9處取極大值，也是最大值，故選C.3解析：選C.原油溫度的瞬時變化率為f(x)x22x(x1)21(0x5)，所以當x1時，原油溫度的瞬時變化率取得最小值1.4解析：選C.設底面邊長為x，側棱長為l，則Vx2·sin 60°·l，l.S表x2sin 60°3xlx2，S表x，令S表0，即x0，x34V，即x.又當x(0，)時，S表0；當x(，V)時，S表0，當x時，表面積最小5解析：選D.設圓錐

8、底面半徑為r，高為h，則h2r2202，r .圓錐體積Vr2h(400h2)h(400hh3)令V(4003h2)0，得h，當h時，V0；當h時，V0.h時，V最大，應選D.6解析：利潤s(x)(x30)(200x)x2230x6 000，s(x)2x230.由s(x)0，得x115，這時利潤最大答案：1157解析：依題意知，存款額是kx2，銀行應支付的存款利息是kx3，銀行應獲得的貸款利息是0.048kx2，所以銀行的收益是y0.048kx2kx3(0x0.048)，故y0.096kx3kx2.令y0，解得x0.032或x0(舍去)當0x0.032時，y0；當0.032x0.048時，y0.

9、因此，當x0.032時，y取得極大值，也是最大值，即當存款利率為3.2%時，銀行可獲得最大收益答案：3.2%8解析：依題意可設每月土地占用費y1，每月庫存貨物的運費y2k2x，其中x是倉庫到車站的距離，k1，k2是比例系數(shù)于是由2得k120；由810k2得k2.因此，兩項費用之和為y(x0)，y，令y0，得x5，或x5(舍去)當0x5時，y0；當x5時，y0.因此，當x5時，y取得極小值，也是最小值故當倉庫建在離車站5千米處時，兩項費用之和最小答案：59 解：設M為AB上的一點，且MBx，于是AM上的運費為2(50x)，MC上的運費為4，則由A到C的總運費為p(x)2(50x)4(0x50)p

10、(x)2，令p(x)0，解得x1，x2(舍去)當x時，p(x)0；當x時，p(x)0，故當x時，取得最小值即當離點B距離為的點M處修筑公路至C時，可使運費由A到C最省10 解：設包裝盒的高為h cm，底面邊長為a cm.由已知得ax，h(30x)，0<x<30.(1)S4ah8x(30x)8(x15)21 800，所以當x15時，S取得最大值(2)Va2h2(x330x2)，V6x(20x)由V0，得x0(舍)或x20.當x(0,20)時，V>0；當x(20,30)時，V<0，所以當x20時，V取得極大值，也是最大值此時.即包裝盒的高與底面邊長的比值為.B卷1 解析：選

11、C.如圖所示，設矩形橫斷面的寬為x，高為y，由題意知，當xy2取最大值時，橫梁的強度最大y2d2x2，xy2x(d2x2)(0xd)令f(x)x(d2x2)(0xd)求導數(shù)，得f(x)d23x2.令f(x)0，解得xd或xd(舍去)當0xd時，f(x)0；當dxd時，f(x)0，當xd時，f(x)取得極大值，也是最大值當矩形橫斷面的高為d，寬為d時，橫梁的強度最大2解析：設剪成的小正三角形的邊長為x，則S·(0x1)法一：利用導數(shù)求函數(shù)最小值S(x)·，S(x)··，S(x)0,0x1，x，當x時，S(x)0，遞減；當x時，S(x)0，遞增；故當x時，S

12、的最小值是.法二：利用函數(shù)的方法求最小值令3xt，t(2,3)，則S··，故當，x時，S的最小值是.答案：3解：(1)證明：當x7時，f(x1)f(x)，而當x7時，函數(shù)y(x3)(x4)單調(diào)遞增，且(x3)(x4)0，f(x1)f(x)單調(diào)遞減，當x7時，掌握程度的增加量f(x1)f(x)總是下降(2)由題意可知0.115ln0.85，整理得e0.05，解得a×620.50×6123(121,127，由此可知，該學科是乙學科4解：(1)如圖，由題意知ACBC，ACx km，則BC2400x2，y(0x20)由題意知，當垃圾處理廠建在的中點時，對城A和城B