列寫微分方程的一般方法及線性化

1、 自動(dòng)控制理論 http:/1/40第二章第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型機(jī)電學(xué)院自動(dòng)化研究所：柯海森仰儀南樓310 電話：86914549 自動(dòng)控制理論 http:/2/402.1 2.1 列寫系統(tǒng)微分方程式的一般方法列寫系統(tǒng)微分方程式的一般方法2.2 2.2 非線性數(shù)學(xué)模型的線性化非線性數(shù)學(xué)模型的線性化2.3 2.3 傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)2.4 2.4 系統(tǒng)框圖及其等效變換系統(tǒng)框圖及其等效變換2.6 2.6 信號(hào)流圖和梅遜公式的應(yīng)用信號(hào)流圖和梅遜公式的應(yīng)用2 2 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.5 2.5 控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 自動(dòng)控制理論 http:/3/

2、40 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型：描述系統(tǒng)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型：描述系統(tǒng)輸入輸入、輸出變量輸出變量以及以及內(nèi)部其內(nèi)部其它變量它變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。2.1 2.1 列寫系統(tǒng)微分方程式的一般方法列寫系統(tǒng)微分方程式的一般方法 實(shí)際存在的系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能都可以通過(guò)數(shù)學(xué)模型來(lái)描述實(shí)際存在的系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能都可以通過(guò)數(shù)學(xué)模型來(lái)描述（例如微分方程、（例如微分方程、傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)等）等） 。 建立合理的控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型是控制系統(tǒng)分析中最重要建立合理的控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型是控制系統(tǒng)分析中最重要的內(nèi)容，與系統(tǒng)性能密切相關(guān)。的內(nèi)容，與系統(tǒng)性能密切相關(guān)。 自動(dòng)控制理論 http:/4/402. 2. 狀態(tài)變量描述

3、：不僅可以描述系統(tǒng)的輸入、輸出之間的關(guān)系，而且還可以描述系統(tǒng)的內(nèi)部特性?；蚍Q內(nèi)部描述，例如狀態(tài)變量空間法（矩陣），適用于多輸入、多輸出系統(tǒng)，也適用于時(shí)變系統(tǒng)、非線性系統(tǒng)和隨機(jī)控制系統(tǒng)?？刂葡到y(tǒng)中常見(jiàn)的控制系統(tǒng)中常見(jiàn)的兩兩種數(shù)學(xué)模型形式：種數(shù)學(xué)模型形式：1. 1. 輸入輸入輸出描述：把系統(tǒng)的輸出描述：把系統(tǒng)的輸出量輸出量與與輸入量輸入量之間的關(guān)系用之間的關(guān)系用數(shù)學(xué)方式表達(dá)出來(lái)?；蚍Q端部描述，例如數(shù)學(xué)方式表達(dá)出來(lái)?；蚍Q端部描述，例如微分方程微分方程、傳遞函傳遞函數(shù)數(shù)、框圖框圖和差分方程。適用于單輸入、單輸出系統(tǒng)。和差分方程。適用于單輸入、單輸出系統(tǒng)。2.1 2.1 列寫系統(tǒng)微分方程式的一般方法列寫

4、系統(tǒng)微分方程式的一般方法 自動(dòng)控制理論 http:/5/40數(shù)學(xué)模型分為靜態(tài)模型和動(dòng)態(tài)模型兩種。數(shù)學(xué)模型分為靜態(tài)模型和動(dòng)態(tài)模型兩種。系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型2. 2. 根據(jù)所應(yīng)用的根據(jù)所應(yīng)用的系統(tǒng)分析方法系統(tǒng)分析方法，建立，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。1. 1. 全面了解系統(tǒng)特性，確定研究目的以及準(zhǔn)確性要求，決全面了解系統(tǒng)特性，確定研究目的以及準(zhǔn)確性要求，決定能否忽略一些次要因素而簡(jiǎn)化系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。定能否忽略一些次要因素而簡(jiǎn)化系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。2.1 2.1 列寫系統(tǒng)微分方程式的一般方法列寫系統(tǒng)微分方程式的一般方法微分方程微分方程代數(shù)方程代數(shù)方程解析法

5、解析法實(shí)驗(yàn)法實(shí)驗(yàn)法 自動(dòng)控制理論 http:/6/401.1.明確明確系統(tǒng)每一元件的輸入輸出量系統(tǒng)每一元件的輸入輸出量：根據(jù)基本的物理、化學(xué)：根據(jù)基本的物理、化學(xué)等定律，列寫出系統(tǒng)中的輸入與輸出的微分方程式。等定律，列寫出系統(tǒng)中的輸入與輸出的微分方程式。2.2.明確明確系統(tǒng)的輸入輸出量系統(tǒng)的輸入輸出量：各元件方程疊加，：各元件方程疊加，消中間量消中間量，求，求得系統(tǒng)輸入輸出微分方程；得系統(tǒng)輸入輸出微分方程；3.3.標(biāo)準(zhǔn)化處理：與標(biāo)準(zhǔn)化處理：與輸出量輸出量有關(guān)項(xiàng)列有關(guān)項(xiàng)列左側(cè)左側(cè)，輸入量輸入量有關(guān)項(xiàng)列有關(guān)項(xiàng)列右側(cè)右側(cè)。建立系統(tǒng)微分方程的步驟：建立系統(tǒng)微分方程的步驟：2.1 2.1 列寫系統(tǒng)微分方

6、程式的一般方法列寫系統(tǒng)微分方程式的一般方法例2-1：圖2-1為一R-L-C電路，其輸入電壓為ur，輸出電壓為uc。試寫出ur與uc之間的微分方程式。 圖圖2-12-1 R-L-C電路解：解： 根據(jù)電路理論中的基爾霍根據(jù)電路理論中的基爾霍夫定律，寫出下列方程式夫定律，寫出下列方程式rcuudtdiLiRidtcuc1消去中間變量，則得消去中間變量，則得rcccuudtduRCdtudLC2（2-1） 在列寫每一個(gè)元件的微分方程式時(shí)，必須注意到它與相鄰在列寫每一個(gè)元件的微分方程式時(shí)，必須注意到它與相鄰元件間的相互影響。下面舉例說(shuō)明元件間的相互影響。下面舉例說(shuō)明例2-2：已知R-C網(wǎng)絡(luò)如圖2-2所示

7、，試寫出該網(wǎng)絡(luò)輸入與輸出間的微分方程。圖圖2-22-2 R-C濾波網(wǎng)絡(luò)解：解：對(duì)于圖2-2所示的電路，由基爾霍夫定律基爾霍夫定律寫出下列方程組121111()riidti RuC222122111()i dti Rii dtCC221ci dtuC消去中間變量消去中間變量 ，得12,i i121211221222()cccrududR R C CR CR CR Cuuddtt（2-2）可知該電路的數(shù)學(xué)模型是一個(gè)二階常系數(shù)非齊次微分方程?？芍撾娐返臄?shù)學(xué)模型是一個(gè)二階常系數(shù)非齊次微分方程。2i1i例2-3：設(shè)彈簧-質(zhì)量-阻尼器系統(tǒng)如圖2-3所示。試求外力與質(zhì)量塊位移之間的微分方程式。 )(tky

8、dttdyf)(22)(dttydm22)()()()(dttydmdttdyftkytF22( )( )( )( )dy tdy tmfky tF tdtdt式中，f 為阻尼系數(shù)；k為彈簧的彈性系數(shù)。（2-3）經(jīng)變換得經(jīng)變換得解：根據(jù)牛頓第二定律牛頓第二定律得可知該電路的數(shù)學(xué)模型是一個(gè)二階常系數(shù)非齊次微分方程?？芍撾娐返臄?shù)學(xué)模型是一個(gè)二階常系數(shù)非齊次微分方程。 自動(dòng)控制理論 http:/10/402.2 2.2 非線性數(shù)學(xué)模型的線性化非線性數(shù)學(xué)模型的線性化 嚴(yán)格講，構(gòu)成控制系統(tǒng)的元件，在其輸出信號(hào)與輸入信嚴(yán)格講，構(gòu)成控制系統(tǒng)的元件，在其輸出信號(hào)與輸入信號(hào)之間，都具有不同程度的非線性。因此在

9、研究控制系統(tǒng)動(dòng)號(hào)之間，都具有不同程度的非線性。因此在研究控制系統(tǒng)動(dòng)態(tài)過(guò)程時(shí)就會(huì)遇到求解非線性微分方程的問(wèn)題。然而，對(duì)于態(tài)過(guò)程時(shí)就會(huì)遇到求解非線性微分方程的問(wèn)題。然而，對(duì)于高階非線性微分方程來(lái)說(shuō)，在數(shù)學(xué)上不可能求得一般形式的高階非線性微分方程來(lái)說(shuō)，在數(shù)學(xué)上不可能求得一般形式的解。因此，當(dāng)研究這類控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程時(shí)，在理論上將解。因此，當(dāng)研究這類控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程時(shí)，在理論上將會(huì)遇到困難。會(huì)遇到困難。問(wèn)題提出問(wèn)題提出 自動(dòng)控制理論 http:/11/402.2 2.2 非線性數(shù)學(xué)模型的線性化非線性數(shù)學(xué)模型的線性化 但是，如果對(duì)求解非線性運(yùn)動(dòng)方程作某些近似或縮小研但是，如果對(duì)求解非線性運(yùn)動(dòng)方程作某

10、些近似或縮小研究問(wèn)題的范圍，那么對(duì)控制系統(tǒng)中所采用的大多數(shù)元件來(lái)說(shuō)其究問(wèn)題的范圍，那么對(duì)控制系統(tǒng)中所采用的大多數(shù)元件來(lái)說(shuō)其輸出和輸入信號(hào)間的關(guān)系可近似看成是線性的，并可用常系數(shù)輸出和輸入信號(hào)間的關(guān)系可近似看成是線性的，并可用常系數(shù)線性微分方程來(lái)描述。這種將線性微分方程來(lái)描述。這種將非線性微分方程在一定條件下近非線性微分方程在一定條件下近似似轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為線性微分方程線性微分方程的方法，稱為的方法，稱為非線性微分方程的線性化非線性微分方程的線性化。通過(guò)線性化得到的線性微分方程將通過(guò)線性化得到的線性微分方程將有條件地、近似地有條件地、近似地描述系統(tǒng)描述系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過(guò)程。也就是說(shuō)，只有近似條件成立時(shí)，基

11、于線性化微的動(dòng)態(tài)過(guò)程。也就是說(shuō)，只有近似條件成立時(shí)，基于線性化微分方程來(lái)討論系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)才有實(shí)際意義。分方程來(lái)討論系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)才有實(shí)際意義。 自動(dòng)控制理論 http:/12/402.2 2.2 非線性數(shù)學(xué)模型的線性化非線性數(shù)學(xué)模型的線性化線性化的基本思想線性化的基本思想1. 1. 對(duì)于一些較復(fù)雜的函數(shù)，為了研究方便，往往希望用一對(duì)于一些較復(fù)雜的函數(shù)，為了研究方便，往往希望用一些簡(jiǎn)單的函數(shù)來(lái)近似表達(dá)。些簡(jiǎn)單的函數(shù)來(lái)近似表達(dá)。2. 2. 由多項(xiàng)式表示的函數(shù)，只要對(duì)自變量進(jìn)行有限的加、減、由多項(xiàng)式表示的函數(shù)，只要對(duì)自變量進(jìn)行有限的加、減、乘三種運(yùn)算，便能求出它的函數(shù)值來(lái)，因此我們經(jīng)常用多乘三種運(yùn)

12、算，便能求出它的函數(shù)值來(lái)，因此我們經(jīng)常用多項(xiàng)式來(lái)近似表達(dá)函數(shù)。項(xiàng)式來(lái)近似表達(dá)函數(shù)。1xexln(1)xx 自動(dòng)控制理論 http:/13/40 控制系統(tǒng)都有一個(gè)平衡的工作狀態(tài)和響應(yīng)的工作點(diǎn)。非線控制系統(tǒng)都有一個(gè)平衡的工作狀態(tài)和響應(yīng)的工作點(diǎn)。非線性數(shù)學(xué)模型線性化的一個(gè)基本假設(shè)是變量對(duì)于平衡工作點(diǎn)的偏性數(shù)學(xué)模型線性化的一個(gè)基本假設(shè)是變量對(duì)于平衡工作點(diǎn)的偏離很小。離很小。微偏法：微偏法： 若非線性函數(shù)不僅連續(xù)，而且其各階導(dǎo)數(shù)均存在，則由級(jí)若非線性函數(shù)不僅連續(xù)，而且其各階導(dǎo)數(shù)均存在，則由級(jí)數(shù)理論可知，可在給定工作點(diǎn)鄰域?qū)⒋朔蔷€性函數(shù)展開(kāi)為泰勒數(shù)理論可知，可在給定工作點(diǎn)鄰域?qū)⒋朔蔷€性函數(shù)展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)，

13、并略去二階和二階以上的各項(xiàng)，用所得到的線性化方程級(jí)數(shù)，并略去二階和二階以上的各項(xiàng)，用所得到的線性化方程代替原來(lái)的非線性方程。這種線性化的方法就叫做微偏法。代替原來(lái)的非線性方程。這種線性化的方法就叫做微偏法。2.2 2.2 非線性數(shù)學(xué)模型的線性化非線性數(shù)學(xué)模型的線性化 自動(dòng)控制理論 http:/14/40 必須注意：如果系統(tǒng)在原平衡工作點(diǎn)處的特性不是連續(xù)的，必須注意：如果系統(tǒng)在原平衡工作點(diǎn)處的特性不是連續(xù)的，而是呈現(xiàn)折線或跳躍現(xiàn)象，如圖而是呈現(xiàn)折線或跳躍現(xiàn)象，如圖2-10，那么就不能應(yīng)用微偏法。，那么就不能應(yīng)用微偏法。yxyx圖圖2-10 2-10 本質(zhì)非線性特征本質(zhì)非線性特征2.2 2.2 非

14、線性數(shù)學(xué)模型的線性化非線性數(shù)學(xué)模型的線性化y yx xy。 x。 x xA A圖圖2-112-11非線性特征的線性化非線性特征的線性化設(shè)一非線性元件的輸入為x、輸出為y，它們間的關(guān)系如圖2-11所示，相應(yīng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為y=f(x) （2-5） 在給定工作點(diǎn)（在給定工作點(diǎn)（ ）附近，將上式展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)：）附近，將上式展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)：00,xy000220021( )( )()2!x xx xdffdyf xf xx xx xdxdx00()yyK xxxKy或?qū)憺榛驅(qū)憺椋?-6）式（式（2-62-6）就是式（）就是式（2-52-5）的線性化方程。）的線性化方程。0 0 微分方程式是描述線性系統(tǒng)

15、運(yùn)動(dòng)的一種基本的數(shù)學(xué)模型，微分方程式是描述線性系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的一種基本的數(shù)學(xué)模型，通過(guò)求解，可以得到系統(tǒng)在給定信號(hào)作用下的輸出響應(yīng)。通過(guò)求解，可以得到系統(tǒng)在給定信號(hào)作用下的輸出響應(yīng)。 1 1）求解難度大；）求解難度大； 2 2）很難反映系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)與其性能間的關(guān)系。）很難反映系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)與其性能間的關(guān)系。 在控制工程中，一般也在控制工程中，一般也不需要精確不需要精確的知道其輸出響應(yīng)。的知道其輸出響應(yīng)。 希望用希望用簡(jiǎn)單的方法判斷簡(jiǎn)單的方法判斷系統(tǒng)的系統(tǒng)的穩(wěn)穩(wěn)定性和定性和動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)，以，以及判別當(dāng)系統(tǒng)中某些及判別當(dāng)系統(tǒng)中某些參數(shù)改變參數(shù)改變或校正裝置對(duì)系統(tǒng)或校正裝置對(duì)系統(tǒng)性能的影

16、響性能的影響。 以以傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)為工具的根軌跡法和頻率響應(yīng)法就可以實(shí)現(xiàn)上為工具的根軌跡法和頻率響應(yīng)法就可以實(shí)現(xiàn)上述要求。述要求。 自動(dòng)控制理論 http:/17/40v拉普拉斯變換拉普拉斯變換v傳遞函數(shù)的定義傳遞函數(shù)的定義v傳遞函數(shù)的基本性質(zhì)傳遞函數(shù)的基本性質(zhì)v典型環(huán)節(jié)函數(shù)的數(shù)學(xué)模型典型環(huán)節(jié)函數(shù)的數(shù)學(xué)模型2.3 2.3 控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 自動(dòng)控制理論 http:/18/40拉普拉斯變換拉普拉斯變換js yxjFFsF F ss22j 1. 復(fù)數(shù)有關(guān)概念 復(fù)數(shù) 復(fù)函數(shù) 例： dtetftfLsFst02. 拉氏變換定義 3. 幾種常見(jiàn)函數(shù)的拉氏變換 單位階躍單位階躍：0

17、,0()1,0tftt01)(dtstetfL01tstes0)(1stdessts1 st0F sf tedt單位速度：?jiǎn)挝凰俣龋?f (t)=t0)(dttetfLstdteseststtst00121s0)(1stetds2)(ttf單位加速度：?jiǎn)挝患铀俣龋?2)(dtettfLstdtetseststtst00221dttesst0232s0 te0 t0) t ( fatatst(s-a)t(sa)t000111Lf (t)e edt=edte(01)sasasa指數(shù)函數(shù)：指數(shù)函數(shù)：00 t0(t)sint t0f正弦函數(shù)正弦函數(shù)：00sin)(dttetfLst00000cossi

18、ndtteseststtst002002200cossinststtettedtss000202201sincossttLtetss00220sinLts0 0微分的拉氏變換微分的拉氏變換0)(dtetfst00)(1)(1dtedttdfsetfssttst0)(1) 0(1dtedttdfsfsst0)()(dtetfsFst0)()(dtedttdfdttdfLst)0()()(fssFdttdfL令令 0fsFstfL nn-2n 1nn-1n-2L fts F ss f 0s f 0sf0f0 sFtfL微分定理：設(shè)微分定理：設(shè) 則則 sFs1dttfL sFtfL積分定理：設(shè)積分定

19、理：設(shè) 則零初始條件下有則零初始條件下有)mn(asasasasbsbsbsb) s (A) s (B) s (Fn1 -n2-n21 -n1nm1 -m1m1m0)ps ()ps)(ps () s (An210) s (An1iiinn332211pscpscpscpscpsc) s (Fn1itpitpntp3tp2tp1in321ececececec) t (f若若其中分母多項(xiàng)式可以分解因式為：其中分母多項(xiàng)式可以分解因式為：P Pi i為為A(S)A(S)的根的根( (特征根特征根) )，當(dāng)，當(dāng)無(wú)重根時(shí)：無(wú)重根時(shí)： 自動(dòng)控制理論 http:/23/406532xxx例1： )(323xx

20、x32xBxA待定系數(shù)法待定系數(shù)法)()(233xBxAx)()(BAxBAx2333231)(BABA65BA)()(233xBxAx代入特殊值代入特殊值x=3 x=3 得得 B=6B=6x=2 x=2 得得 A=-5A=-5拉普拉斯變換拉普拉斯變換 自動(dòng)控制理論 http:/24/40 0 t0 f t1 0 t1 F s0 t1求) 1t ( 1) t ( 1) t (f sse1s1es1s1sF例2： 解：解： 終值定理（終值定理（極限極限確實(shí)確實(shí)存在存在時(shí)）時(shí)） sFslimftflim0st拉普拉斯變換拉普拉斯變換 自動(dòng)控制理論 http:/25/40 引入拉普拉斯變換的一個(gè)主要

21、優(yōu)點(diǎn)，是可采用引入拉普拉斯變換的一個(gè)主要優(yōu)點(diǎn)，是可采用傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)代替代替微分方程微分方程來(lái)描述系統(tǒng)的特性。這就為采用直觀和簡(jiǎn)便的來(lái)描述系統(tǒng)的特性。這就為采用直觀和簡(jiǎn)便的圖解方法來(lái)確定控制系統(tǒng)的整個(gè)特性（見(jiàn)信號(hào)流程圖、動(dòng)態(tài)圖解方法來(lái)確定控制系統(tǒng)的整個(gè)特性（見(jiàn)信號(hào)流程圖、動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖）、分析控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程（見(jiàn)根軌跡法、奈奎斯結(jié)構(gòu)圖）、分析控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程（見(jiàn)根軌跡法、奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)），以及綜合控制系統(tǒng)的校正裝置（見(jiàn)控制系統(tǒng)特穩(wěn)定判據(jù)），以及綜合控制系統(tǒng)的校正裝置（見(jiàn)控制系統(tǒng)校正方法）提供了可能性。校正方法）提供了可能性。 拉普拉斯變換拉普拉斯變換 自動(dòng)控制理論 http:/26/402

22、.3 2.3 控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 微分方程式的階次一高，求解困難，且計(jì)算量也大。微分方程式的階次一高，求解困難，且計(jì)算量也大。 對(duì)于控制系統(tǒng)的分析，不僅要了解它在給定信號(hào)作用下的對(duì)于控制系統(tǒng)的分析，不僅要了解它在給定信號(hào)作用下的輸出響應(yīng)，而且更重視系統(tǒng)的輸出響應(yīng)，而且更重視系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)與其性能間的關(guān)系結(jié)構(gòu)、參數(shù)與其性能間的關(guān)系。對(duì)于后者的要求，顯然用微分方程式去描述是難于實(shí)現(xiàn)的。對(duì)于后者的要求，顯然用微分方程式去描述是難于實(shí)現(xiàn)的。問(wèn)題的提出：?jiǎn)栴}的提出： 在控制工程中，一般并不需要系統(tǒng)的精確解，而是希望用在控制工程中，一般并不需要系統(tǒng)的精確解，而是希望用簡(jiǎn)單的方法了解系統(tǒng)

23、簡(jiǎn)單的方法了解系統(tǒng)是否穩(wěn)定是否穩(wěn)定及其在及其在動(dòng)態(tài)過(guò)程中的主要特征動(dòng)態(tài)過(guò)程中的主要特征，能判別某些參數(shù)的能判別某些參數(shù)的改變改變或或校正裝置的加入校正裝置的加入對(duì)系統(tǒng)性能的影響。對(duì)系統(tǒng)性能的影響。 自動(dòng)控制理論 http:/27/40傳遞函數(shù)的定義傳遞函數(shù)的定義：線性定常系統(tǒng)在零初始條件下零初始條件下系統(tǒng)（或元件）輸出量輸出量的拉氏變換與輸入量輸入量的拉氏變換之比。)()()(sRsCsG設(shè)系統(tǒng)輸入r(t)，輸出c(t) 則系統(tǒng)傳遞函數(shù)為 當(dāng)傳遞函數(shù)和輸入已知時(shí)C(s)=G(s)R(s)。通過(guò)反變換可求出時(shí)域表達(dá)式c(t)。2.3 2.3 控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)將上式求拉氏變化，

24、得(令初始值為零令初始值為零）)()()()(11101110sRbsbsbsbsCasasasammmmnnnn10111011( )( )( )mmmmnnnnb sb sbsbC sG sR sa sa sasa稱為環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù))()()()()()() 1(1)(0) 1(1)(0trbtrbtrbtcatcatcammmnnn)0,0(,mjnibaji式中：r(t)為輸入信號(hào)，c(t)為輸出信號(hào)為常系數(shù),設(shè)系統(tǒng)或元件的微分方程為： 因?yàn)榭刂评碚撝胤治鱿到y(tǒng)的因?yàn)榭刂评碚撝胤治鱿到y(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)結(jié)構(gòu)、參數(shù)與系統(tǒng)的與系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)動(dòng)態(tài)性能性能之間的關(guān)系，所以為簡(jiǎn)化分析，設(shè)系統(tǒng)的初始條件為

25、零。之間的關(guān)系，所以為簡(jiǎn)化分析，設(shè)系統(tǒng)的初始條件為零。系統(tǒng)階次系統(tǒng)階次系統(tǒng)極點(diǎn)系統(tǒng)極點(diǎn)00系統(tǒng)零點(diǎn)特征方程特征方程p21 自動(dòng)控制理論 http:/29/40以Ur為輸入，I為輸出：dtduCiccruRiudtdudtdiRdtducrrdudiiRdtCdt1( )( )( )rRSI sI sSUsC經(jīng)拉氏變換得到經(jīng)拉氏變換得到( )( )1rI sCSUsRCS2.3 2.3 控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù) R-L-CR-L-C電路電路22rcccduduLCRCuudtdt2( )( )( )( )CccrLCS USRCSUSUSUS經(jīng)拉氏變換得經(jīng)拉氏變換得2( )1( )(

26、 )1crUSG SUSLCSRCS)()()()(22tFtkydttdyfdttydm2( )( )( )( )mS Y SfSY SkY SF S2( )1( )( )Y SG sF SmSfSk經(jīng)拉氏變換得經(jīng)拉氏變換得 自動(dòng)控制理論 http:/傳遞函數(shù)的求取方法及應(yīng)用舉例v 依據(jù)系統(tǒng)微分方程確定輸入輸出間傳遞函數(shù)；v 依據(jù)微分方程組代入消元法求傳遞函數(shù)；v 電網(wǎng)絡(luò)可利用復(fù)阻抗直接求取傳遞函數(shù)； v 依據(jù)系統(tǒng)輸入輸出信號(hào)求取傳遞函數(shù)。 自動(dòng)控制理論 http:/方法方法3 3求解如下： 復(fù)阻抗(R,1/CS,LS)和分壓定理使電網(wǎng)絡(luò)傳遞函數(shù)的求取過(guò)程大大簡(jiǎn)化。221111(S)crRU

27、R CSCSGURR CS p28 自動(dòng)控制理論 http:/系統(tǒng)單位輸入及零初始條件下的輸出相應(yīng)為： 求傳遞函數(shù)方法方法4 42(t)1ettce111(t)C (S)12cSSS1(t)R (S)rS22C(S)22(S)(S)32SSGRSS關(guān)于傳遞函數(shù)的幾點(diǎn)說(shuō)明v 傳遞函數(shù)的概念適用于線性定常系統(tǒng)適用于線性定常系統(tǒng)，它與線性常系數(shù)微分方程一一對(duì)應(yīng)。且與系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性一一對(duì)應(yīng)。v 傳遞函數(shù)不能反映系統(tǒng)或元件的物理性質(zhì)不能反映系統(tǒng)或元件的物理性質(zhì)。物理性質(zhì)截然不同的系統(tǒng)可能具有完全相同的傳遞函數(shù)。而研究某傳遞函數(shù)所得結(jié)論可適用于具有這種傳遞函數(shù)的各種系統(tǒng)。v 傳遞函數(shù)僅與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有

28、關(guān)僅與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，與系統(tǒng)的輸入無(wú)關(guān)。只反映了輸入和輸出之間的關(guān)系，不反映中間變量的關(guān)系。v 傳遞函數(shù)的概念主要適用于單輸入單輸出系統(tǒng)單輸入單輸出系統(tǒng)。若系統(tǒng)有多個(gè)輸入信號(hào)，在求傳遞函數(shù)時(shí)，除了一個(gè)有關(guān)的輸入外，其它的輸入量一概視為零。對(duì)于多輸入多輸出系統(tǒng)，不能用一個(gè)傳遞函數(shù)去描述，而是用傳遞函數(shù)矩陣去表征系統(tǒng)的輸入與輸出間的關(guān)系。v 傳遞函數(shù)忽略了初始條件忽略了初始條件的影響。v 傳遞函數(shù)是S的有理分式的有理分式，對(duì)實(shí)際系統(tǒng)而言分母的階次n大于分子的階次m，此時(shí)稱為n階系統(tǒng)。v 一個(gè)傳遞函數(shù)由相應(yīng)的零、極點(diǎn)零、極點(diǎn)組成。 自動(dòng)控制理論 http:/36/40 傳遞函數(shù)是經(jīng)典控制理論中最重要經(jīng)典控制理論中最重要的數(shù)學(xué)模型之一。利用傳遞函數(shù)，可以： 不必求解微分方程不必求解微分方程就可以研究零初始條件系統(tǒng)在輸入作用下的動(dòng)態(tài)過(guò)程。 了解系統(tǒng)參數(shù)或結(jié)構(gòu)變化時(shí)系統(tǒng)參數(shù)或結(jié)構(gòu)變化時(shí)系統(tǒng)