高等數學第六章答案

1、第六章 定積分的應用第二節(jié) 定積分在幾何上的應用1. 求圖中各陰影部分的面積: （1） . (2) 1 (3). (4). 2. 求由下列各曲線所圍成的圖形的面積: (1) . (2). (3). (4)3. . 4. （1）.（2）.4 5. (1) pa2. (2) . (3). 6. （1）（2）（3） 7求下列已知曲線所圍成的圖形, 按指定的軸旋轉所產生的旋轉體的體積：（1）（2）（3）（4）xy=1和y=4x、x=2、y=0，繞。（5）擺線8由y=x3, x=2, y=0所圍成的圖形, 分別繞x軸及y軸旋轉, 計算所得兩個旋轉體的體積. . 9把星形線所圍成的圖形, 繞x軸旋轉, 計

2、算所得旋轉體的體積.10（1）證明 由平面圖形0£a£x£b, 0£y£f(x)繞y軸旋轉所成的旋轉體的體積為 . 證明略。 （2）利用題（1）結論, 計算曲線y=sin x(0£x£p)和x軸所圍成的圖形繞y軸旋轉所得旋轉體的體積. 11計算底面是半徑為R的圓, 而垂直于底面上一條固定直徑的所有截面都是等邊三角形的立體體積. . 12計算曲線上相應于的一段弧的弧長。13計算曲線上相應于的一段弧的弧長。14求星型線的全長。6a15求曲線的周長。8a第三節(jié) 定積分的應用第四節(jié)1. 由實驗知道, 彈簧在拉伸過程中, 需要的力F(

3、單位: N)與伸長量s(單位: cm)成正比, 即F=ks (k為比例常數). 如果把彈簧由原長拉伸6cm, 計算所作的功. 18 k(牛×厘米) 解 將彈簧一端固定于A, 另一端在自由長度時的點O為坐標原點, 建立坐標系. 功元素為dW=ksds, 所求功為 k(牛×厘米). 2直徑為20cm、高80cm的圓柱體內充滿壓強為10N/cm2的蒸汽. 設溫度保持不變, 要使蒸汽體積縮小一半, 問需要作多少功？(J). 解 由玻-馬定律知: . 設蒸氣在圓柱體內變化時底面積不變, 高度減小x厘米時壓強 為P(x)牛/厘米2, 則 , . 功元素為, 所求功為 (J). 3設地球

4、的質量為M，半徑為R，現要將一個質量為m的物體從地球表面升高到h處，問需要做多少功（設引力系數為G）？4半徑為R的圓柱體沿固定水平面做純滾動，試分別求圓心C沿其軌跡移動的距離S時，作用于其上的靜滑動摩擦力和滾動摩阻力偶的功 解 圓柱體做平面運動，由運動學知，點B為圓柱體的速度瞬心，由式 （11-16）知圓柱體沿固定面做純滾動時，靜滑動摩擦力的功為零。滾動摩阻力偶的功可利用滾動摩阻力偶矩M=來計算所以它的元功為 =-如及R均為常量，滾動一段路程S后滾動摩阻力偶的功為 W=-=- 可見滾動摩阻力偶的功為負功，且其絕對值與圓柱半徑成反比5設一錐形貯水池, 深15m, 口徑20m, 盛滿水, 今以唧筒

5、將水吸盡, 問要作多少功？ 解 在水深x處, 水平截面半徑為, 功元素為 , 所求功為 =1875(噸米)=57785.7(kJ). 6. 有一閘門, 它的形狀和尺寸如圖, 水面超過門頂2m. 求閘門上所受的水壓力.205. 8(kN). 解 建立x軸, 方向向下, 原點在水面. 水壓力元素為 , 閘門上所受的水壓力為 (噸)=205. 8(kN). 7. 灑水車上的水箱是一個橫放的橢圓柱體, 尺寸如圖所示. 當水箱裝滿水時, 計算水箱的一個端面所受的壓力. 17.3(kN). 解 建立坐標系如圖, 則橢圓的方程為 . 壓力元素為 , 所求壓力為 (噸)=17.3(kN). (提示: 積分中所

6、作的變換為) 8. 有一等腰梯形閘門, 它的兩條底邊各長10m和6m, 高為20m. 較長的底邊與水面相齊. 計算閘門的一側所受的水壓力. 14388(千牛) 解 建立坐標系如圖. 直線AB的方程為 , 壓力元素為 , 所求壓力為 (噸)=14388(千牛).9一底為8cm、高為6cm的等腰三角形片, 鉛直地沉沒在水中, 頂在上, 底在下且與水面平行, 而頂離水面3cm, 試求它每面所受的壓力. 解 建立坐標系如圖. 腰AC的方程為, 壓力元素為 , 所求壓力為 (克)=1.65(牛). 10. 設有一長度為l、線密度為m的均勻細直棒, 在與棒的一端垂直距離為a單位處有一質量為m的質點M, 試

7、求這細棒對質點M的引力. 解 建立坐標系如圖. 在細直棒上取一小段dy, 引力元素為 , dF在x軸方向和y軸方向上的分力分別為 , . , 總復習題六1 填空題：（1） 曲線與直線圍成所界區(qū)域的面積為 （2）曲線與直線所界區(qū)域的面積為 18（3）曲線上相應于的一段弧長為 4(4) 圓盤繞x=-b(b>a>0)旋轉所成旋轉體的體積 . （5）一圓盤的半徑為，而密度為，其中為圓盤上一點到圓心的距離，則其質量M (6) 半徑為的球沉入水中，它與水面相切，密度與水相同，若將球從水中取出，則做 的功。2求拋物線與軸所圍成圖形的面積。3求拋物線與所圍成圖形的面積。4求圓的面積、圓周長。5求雙

8、紐線的面積。6求心臟線繞極軸旋轉所成旋轉體體積。7求擺線與軸圍成圖形的面積，弧長，繞軸旋轉體體積。8求懸鏈線下的曲邊梯形的面積，弧長，繞軸旋轉體體積。9拋物線繞軸旋轉所得旋轉拋物面的體積。10證明曲線的一個周期的弧長等于橢圓的周長。11求橢球體的體積。12設有一半徑為，長度為的圓柱體平放在深度為的水池中（圓柱體的側面與水面相切）。設圓柱體的比重為，現將圓柱體從水中移出水面，問需做多少功？13一塊高為，底為的等腰三角形薄板，垂直地沉沒在水中，頂在下，底與水面相齊，試計算薄板每面所受的壓力。14用鐵錘將一鐵釘擊入木板，設木板對鐵釘的阻力與鐵釘擊入木板的深度成正比，在鐵錘擊第一次時能將鐵釘擊入木板內

9、，如果鐵錘每次打擊鐵釘所做的功相等，問鐵錘擊第二次時，能將鐵釘又擊入多少？答案：2解：令得。故拋物線與軸交點為及，所求圖形為軸上半部分。 。3解：兩條拋物線交點為。則。4解：由對稱性，只需考慮第一象限，；故圓面積為。由圓的參數方程，求周長只需考慮第一象限，；圓周長。5解：。6解： 。7解：；8解：；。9解：。10證：曲線的一個周期的弧長為；對于橢圓，由于其參數方程為故 ；可見 。11解：用垂直于軸的平面截橢球，交軸于，所得截面為橢圓即于是此橢圓的面積為，從而橢球體的體積為。xxyR-yyo12解：建立如圖所示坐標系，把平放的圓柱體從水中移出，相當把每一個水平薄板提高，所做的功包括將薄板提升到水面提升力所做的功R+y及從水面提高到高度提升力所做的功之和；水下部分提升力，所以