高中數(shù)學(xué)必修一必修二的知識(shí)總結(jié)

1、必 修 一第一章 集合與函數(shù)的概念一、集合：1集合的定義與表示（1）集合的定義：把一些元素組成的總體叫做集合（2）集合的表示：常用大寫拉丁字母表示，集合中的元素一般用小寫拉丁字母表示 （3）集合的性質(zhì)：確定性、互異性、無序性（集合中元素的性質(zhì)） （4）元素與集合的關(guān)系：屬于() , 不屬于() （5）常用數(shù)集：（6）集合的表示：列舉法，描述法2集合間的基本關(guān)系（從文字語言、圖形語言、符號(hào)語言等方面理解）（1）子集： 一般地，對(duì)于兩個(gè)集合，如果集合中任意一個(gè)元素都是集合中的元素，稱集合是集合 的子集，記作（讀作含于）或（讀作包含）。韋恩表示圖略（2）集合相等：如果集合是集合的子集（），且集合是集

2、合的子集（），稱集合 與集合相等。記作。韋恩表示圖略（3）真子集：如果集合，但存在元素且稱集合是集合 的真子集，記作（讀作真含于）或（讀作真包含）。韋恩表示圖略（4）空集：不含任何元素的集合叫做空集。 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集（5）集合的子集個(gè)數(shù)：含有個(gè)元素的集合的子集個(gè)數(shù)為，真子集個(gè)數(shù)為，非空真子集個(gè)數(shù)為3集合的基本運(yùn)算從文字語言、圖形語言、符號(hào)語言等方面理解） （1）并集： 一般地，由所有屬于集合或?qū)儆诩系脑亟M成的集合，稱為集合與集合的并集，記作（讀作：“并”），即，韋恩表示圖略 （2）交集： 一般地，由屬于集合且屬于集合的元素組成的集合，稱為集合與集合的交集，

3、記作（讀作：“交”），即，韋恩表示圖略，數(shù)軸表示略 （3）補(bǔ)集： 對(duì)于一個(gè)集合，由全集中不屬于集合的所有元素組成的集合稱為集合相對(duì)于全集的補(bǔ)集，簡(jiǎn)稱為集合的補(bǔ)集，記作，即，韋恩表示圖略，數(shù)軸表示略說明：求并集、交集與補(bǔ)集時(shí)可借用數(shù)軸處理4集合的主要性質(zhì)和運(yùn)算律集合的主要性質(zhì)和運(yùn)算律包含關(guān)系：集合的運(yùn)算律：交換律：結(jié)合律：分配律：01律：等冪律：求補(bǔ)律：反演律：二、函數(shù)及其表示1函數(shù)的定義：（集合對(duì)應(yīng)定義法） 設(shè)是非空數(shù)集，如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，使對(duì)于集合中的任意一個(gè)，在集合中都有唯一確定的數(shù)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱為從集合到集合的一個(gè)函數(shù)，記作，其中，叫做自變量，的取值范圍叫做函數(shù)的定義域；與

4、的值對(duì)應(yīng)的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域，值域是集合的子集. 函數(shù)三要素：定義域（集合），值域（集合），解析式（表達(dá)式） 區(qū)間（集合的另一種表示方式）：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間（左開右閉、左閉右開） 無窮大的引入： 2函數(shù)的表示：解析法：用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系圖像法：用圖表表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系列表法：列出表格來表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系 分段函數(shù)： 映射：設(shè)是非的集合，如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，使對(duì)于集合中的任意一個(gè)元素，在集合中都有唯一確定的元素與之對(duì)應(yīng)，那么就稱對(duì)應(yīng)為從集合到集合的一個(gè)映射。 會(huì)區(qū)分函數(shù)與映射的關(guān)系3函數(shù)的性質(zhì)：（主要從文字?jǐn)⑹?，?shù)學(xué)符

5、號(hào)，圖象特征方面理解）（1） 單調(diào)性 增函數(shù)，增區(qū)間，遞增性一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋喝绻麑?duì)于定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值，當(dāng)時(shí)，都有，那么就說函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)；區(qū)間叫做函數(shù)的一個(gè)增區(qū)間；這種性質(zhì)叫做函數(shù)的遞增性。 減函數(shù)，減區(qū)間，遞減性一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋喝绻麑?duì)于定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值，當(dāng)時(shí)，都有，那么就說函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)；區(qū)間叫做函數(shù)的一個(gè)減區(qū)間；這種性質(zhì)叫做函數(shù)的遞減性。注：會(huì)從文字?jǐn)⑹?，?shù)學(xué)符號(hào)，圖象特征等方面理解函數(shù)單調(diào)性會(huì)用定義判斷并證明函數(shù)單調(diào)性（2）函數(shù)的最大值與最小值： 函數(shù)的最大值：一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋绻嬖趯?shí)數(shù)滿足:（1）對(duì)

6、于任意的，都有；（2）存在，使得。那么，我們稱是函數(shù)的最大值。 函數(shù)的最小值：一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，如果存在?shí)數(shù)滿足:（1）對(duì)于任意的，都有；（2）存在，使得。那么，我們稱是函數(shù)的最小值。注：函數(shù)最小值的求法：基本函數(shù)法，圖像法，單調(diào)性法等（3）函數(shù)的奇偶性： 偶函數(shù)：一般地，如果對(duì)于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個(gè)，都有，那么函數(shù)叫做偶函數(shù)。偶函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱。 奇函數(shù)：一般地，如果對(duì)于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個(gè)，都有，那么函數(shù)叫做奇函數(shù)。奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。第二章 基本初等函數(shù)一、指數(shù)與指數(shù)函數(shù)1指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算（1）根式：一般地，如果，那么叫做的次方根；當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的次方根是一個(gè)正數(shù)，

7、負(fù)數(shù)的次方根是一個(gè)負(fù)數(shù)。當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的次方根有兩個(gè)，它們是一對(duì)互為相反數(shù)，記作。負(fù)數(shù)沒有偶次方根。式子叫做根式，是根指數(shù)，叫做被開方數(shù)；由次方根的意義得：（2）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪： ；0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義（3）指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：2指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)：（1）指數(shù)函數(shù)：一般地，形如的函數(shù)，叫做指數(shù)函數(shù)；其中是自變量，函數(shù)的定義域?yàn)椤＃?）指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)：指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)圖象定義域值域性質(zhì)（1）過定點(diǎn)（0，1），即時(shí)（2）單調(diào)性在上是減函數(shù)在上是增函數(shù)（3）范圍時(shí)；時(shí)；時(shí)；時(shí)；3對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)的運(yùn)算：（1）對(duì)數(shù)：（定義、記法、讀法，各部分符號(hào)及名稱）一般地，如果，那么數(shù)叫

8、做以為底的對(duì)數(shù)，記作注：理解對(duì)數(shù)定義的本質(zhì)；熟記對(duì)數(shù)符號(hào)各部分名稱，明確各部分的范圍常用對(duì)數(shù)： 自然對(duì)數(shù)：（2）對(duì)數(shù)與指數(shù)的互化：（3）對(duì)數(shù)的性質(zhì)： （4）對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：（5）對(duì)數(shù)恒等式：（6）對(duì)數(shù)換底公式： 4對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)：（1）對(duì)數(shù)函數(shù)：一般地，形如的函數(shù)，叫做對(duì)數(shù)函數(shù)；其中是自變量，函數(shù)的定義域?yàn)?。?）對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)：指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)圖象定義域值域性質(zhì)（1）過定點(diǎn)（1，0），即時(shí)（2）單調(diào)性在上是減函數(shù)在上是增函數(shù)（3）范圍時(shí)；時(shí)；時(shí)；時(shí)； 5冪函數(shù)：（1）冪函數(shù)定義：一般地，形如的函數(shù)，叫做冪函數(shù)；其中是自變量，是常數(shù)。（2）冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)：圖象定義域值域奇偶性對(duì)

9、稱性奇函數(shù)原點(diǎn)對(duì)稱偶函數(shù)軸對(duì)稱奇函數(shù)原點(diǎn)對(duì)稱無奇函數(shù)原點(diǎn)對(duì)稱單調(diào)性在上遞增上遞減上遞增在上遞增上遞增及上遞減公共點(diǎn)6函數(shù)圖象變換平移變換：左右平移與上下平移翻折變換：如何由圖象得到圖象對(duì)稱變換：如何由圖象得到圖象第三章 函數(shù)的應(yīng)用一、函數(shù)與方程1方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)：（1）函數(shù)的零點(diǎn)：對(duì)于函數(shù)，我們把使的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的零點(diǎn)。（2）方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)的關(guān)系：方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)函數(shù)有零點(diǎn)（3）方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理： 一般地，我們有：如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，即存在，使得，這個(gè)也就是方程的根。2二分法：（1）二分法定義：對(duì)

10、于區(qū)間上連續(xù)不斷且的函數(shù)，通過不斷地把函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法（2）給定精度，用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值得基本步驟：1. 確定區(qū)間，驗(yàn)證，給定精度；2. 求區(qū)間的中點(diǎn)3. 計(jì)算（1）若，則就是函數(shù)的零點(diǎn)；（2）若，則令（此時(shí)零點(diǎn)）；（3）若，則令（此時(shí)零點(diǎn)）；4. 判斷是否達(dá)到精度：即若，則得到零點(diǎn)近似值（或）；否則重復(fù)24。二、函數(shù)模型及其應(yīng)用：1幾類不同增長(zhǎng)的函數(shù)模型：一次函數(shù)型（直線型）：均勻上升指數(shù)型：爆炸式上升對(duì)數(shù)型：緩慢式上升冪函數(shù)型：爆炸或緩慢式上升2函數(shù)模型的應(yīng)用：必 修 二第一章 空間幾何體1.空間幾何體的結(jié)

11、構(gòu)（1）柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征： 棱柱：定義，基本元素（底面、側(cè)面、側(cè)棱、頂點(diǎn)），表示方法 棱錐：定義，基本元素（底面、側(cè)面、側(cè)棱、頂點(diǎn)），表示方法 棱臺(tái)：定義，基本元素（底面（上、下）、側(cè)面、側(cè)棱、頂點(diǎn)），表示方法 圓柱：定義，基本元素（底面、側(cè)面、軸、母線），表示方法 圓錐：定義，基本元素（底面、側(cè)面、軸、母線），表示方法 圓臺(tái)：定義，基本元素（底面、側(cè)面、軸、母線），表示方法 球：定義，基本元素（球心、半徑（直徑），表示方法（2）簡(jiǎn)單組合體：一種是由簡(jiǎn)單幾何體拼接，另一種是由簡(jiǎn)單幾何體截去或挖去一部分而成2.空間幾何體的三視圖和直觀圖（1）中心投影與平行投影：投影，投影線，投影面；中心

12、投影，平行投影（2）空間幾何體的三視圖 三視圖： 正視圖：從前往后 側(cè)視圖：從左往右 俯視圖：從上往下畫三視圖的原則：長(zhǎng)對(duì)正（正視、俯視有長(zhǎng)）、高平齊（正視、側(cè)視有高）、寬相等（側(cè)視、俯視有寬）（3）直觀圖：斜二測(cè)畫法平面圖形斜二測(cè)畫法 確定坐標(biāo)系：（） 平行于坐標(biāo)軸的線依然平行于坐標(biāo)軸； 平行于軸的線長(zhǎng)度變半，平行于，軸的線長(zhǎng)度不變；幾何體斜二測(cè)畫法：一畫軸 二畫底面 三畫側(cè)棱 四成圖3. 空間幾何體的表面積與體積（1）空間幾何體的表面積棱柱、棱錐的表面積： 各個(gè)面面積之和圓柱的表面積 圓錐的表面積圓臺(tái)的表面積 球的表面積（2）空間幾何體的體積柱體的體積 錐體的體積 臺(tái)體的體積 球體的體積

13、第二章 點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系DCBA1.空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系（1）平面含義：平面是無限延展的（2）平面的畫法及表示 平面的畫法：水平放置的平面通常畫成一個(gè)平行四邊形，銳角畫成450，且橫邊畫成鄰邊的2倍長(zhǎng)（如圖） 平面通常用希臘字母、等表示，如平面、平面等，也可以用表示平面的平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)或者相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)的大寫字母來表示，如平面AC、平面ABCD等。（3） 三個(gè)公理：LA·公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)符號(hào)表示為：AL，BL， 且A，B公理1作用：判斷直線是否在平面內(nèi)C·B·A·公理2：過不在

14、一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。符號(hào)表示為：A、B、C三點(diǎn)不共線 => 有且只有一個(gè)平面，使A、B、C。公理2作用：確定一個(gè)平面的依據(jù)。P·L公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線。符號(hào)表示為：P =>=L，且PL公理3作用：判定兩個(gè)平面是否相交的依據(jù)2.空間中直線與直線之間的位置關(guān)系（1）空間的兩條直線有如下三種關(guān)系： 共面直線：相交直線（同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)）平行直線（同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)）異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)。（2）公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。符號(hào)表示為：設(shè)a、b、c是三條

15、直線ab， cb ac強(qiáng)調(diào)：公理4實(shí)質(zhì)上是說平行具有傳遞性，在平面、空間這個(gè)性質(zhì)都適用。公理4作用：判斷空間兩條直線平行的依據(jù)。（3）等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)（4）異面直線所成的角：已知異面直線，經(jīng)過空間任一點(diǎn)作直線，則與所成的銳角（或直角）叫做異面直線與所成的角（或夾角） 與所成的角的大小只由的相互位置來確定，與的選擇無關(guān)，為簡(jiǎn)便，點(diǎn)一般取在兩直線中的一條上或空間圖形的特殊位置上； 兩條異面直線所成的角； 當(dāng)兩條異面直線所成的角是直角時(shí)，我們就說這兩條異面直線互相垂直，記作ab； 兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形； 計(jì)算中，通常把兩條

16、異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角。3.空間中直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系平行問題：（1）直線與平面有三種位置關(guān)系：直線在平面內(nèi)有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)直線與平面相交有且只有一個(gè)公共點(diǎn)直線在平面平行沒有公共點(diǎn)指出：直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外，可用來表示 （2）直線與平面平行的判定直線與平面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。簡(jiǎn)記為：線線平行，則線面平行。符號(hào)表示：（3）平面與平面平行的判定兩個(gè)平面平行的判定定理：一個(gè)平面內(nèi)的兩條交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行。簡(jiǎn)記為：線面平行，則面面平行符號(hào)表示：判斷兩平面平行的方法有

17、三種：用定義；判定定理；垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行。（4）直線與平面、平面與平面平行的性質(zhì)定理：一條直線與一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。簡(jiǎn)記為：線面平行，則線線平行符號(hào)表示：作用：利用該定理可判斷直線的平行問題。結(jié)論：定理：如果兩個(gè)平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。簡(jiǎn)記為：面面平行，則線線平行。符號(hào)表示：作用：可以由平面與平面平行得出直線與直線平行結(jié)論：夾在兩平行平面間的平行線段相等。垂直問題：（5）直線與平面垂直定義：如果直線與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線與平面互相垂直，記作，直線叫做平面的垂線，平面叫做直線的垂面。如圖，直線與平

18、面垂直時(shí),它們唯一公共點(diǎn)叫做垂足。判定定理：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。符號(hào)表示：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。重要結(jié)論：直線與平面所成的角：如圖：是平面的一條斜線，為斜足，是平面的一條垂線，為垂足；則直線為斜線在平面內(nèi)上的射影. 平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角(6)平面與平面垂直二面角（圖形）概念：從一直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形(如圖)，這條直線叫做二面角的棱（），兩個(gè)半平面（）叫做二面角的面 記法：二面角等 二面角的平

19、面角：如圖：在平面和內(nèi)分別作垂直于棱的射線,則射線構(gòu)成的叫做二面角的平面角 二面角的平面角的做法：垂線法與垂面法當(dāng)二面角的平面角為直角時(shí)叫做直二面角。兩個(gè)平面垂直：定義：兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個(gè)平面互相垂直。記作： 畫法（略）判定定理：一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直。圖形（略） 符號(hào)：性質(zhì)：定理：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行。 符號(hào)：定理：兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直。 符號(hào)：第三章 直線與方程1.直線的傾斜角和斜率直線的傾斜角的概念：當(dāng)直線與軸相交時(shí), 取軸作為基準(zhǔn), 軸正向與直線向上方向之間所成的角叫做直線的傾斜

20、角.特別地,當(dāng)直線與軸平行或重合時(shí), 規(guī)定= 0°.傾斜角的取值范圍：0°180°. 當(dāng)直線與軸垂直時(shí), = 90°.直線的斜率:一條直線的傾斜角(90°)的正切值叫做這條直線的斜率,斜率常用小寫字母k表示,也就是 k = tan當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí), =0°, k = tan0°=0;當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí), = 90°, k 不存在.由此可知, 一條直線的傾斜角一定存在,但是斜率k不一定存在. 直線的斜率公式:給定兩點(diǎn)；則直線的斜率為2.兩條直線的平行與垂直兩條直線都有斜率而且不重合，如果它們平行，那么它們

21、的斜率相等；反之，如果它們的斜率相等，那么它們平行，即注意前提條件，若情況特殊則特殊判斷兩條直線都有斜率，如果它們互相垂直，那么它們的斜率互為負(fù)倒數(shù)；反之，如果它們的斜率互為負(fù)倒數(shù)，那么它們互相垂直，即注意前提條件，若情況特殊則特殊判斷3. 直線的方程 直線的點(diǎn)斜式方程：直線經(jīng)過點(diǎn)，且斜率為的直線方程：直線的斜截式方程：已知直線的斜率為，且與軸的交點(diǎn)為 （為直線在軸上的截距），直線的兩點(diǎn)式方程：已知兩點(diǎn)其中 ，則直線方程為： 直線的截距式方程：已知直線與軸的交點(diǎn)為A，與軸的交點(diǎn)為B，其中，則直線方程為直線的一般式方程：關(guān)于的二元一次方程（A，B不同時(shí)為0）注意：理解各種直線方程得推導(dǎo)過程 會(huì)對(duì)特殊情況進(jìn)行分類討論各種直線方程之間的互化4.直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)：聯(lián)立方程組求解即可兩點(diǎn)間的距離公式：若，則點(diǎn)到直線距離公式：點(diǎn)到直線的距離為：兩平行線間的距離公式：已知兩條平行線直線和的一般式方程為：，：，則與的距離為第四章 圓與方程1. 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程： 圓心為,半徑為；特別：（單位圓）（2）點(diǎn)與圓的關(guān)系