高考考前數(shù)學(xué)專題輔導(dǎo)數(shù)列

1、高考考前數(shù)學(xué)專題輔導(dǎo)數(shù)列一 、知識(shí)點(diǎn)歸納1定義：等差數(shù)列 等比數(shù)列 2等差（AP）、等比數(shù)列（GP）性質(zhì) 等差數(shù)列 等比數(shù)列通項(xiàng)公式 前n項(xiàng)和 an=am+ (nm)d, an=amqn-m; m+n=p+q時(shí)am+an=ap+aq m+n=p+q時(shí)aman=apaq 性質(zhì) 成AP 成GP成AP, 成GP,二、常見題型歸納“熟練運(yùn)用基本量解決”的題型：在等差數(shù)列中，若，則；在等比數(shù)列中，若，則等差（等比）數(shù)列中簡(jiǎn)化運(yùn)算的技巧多源于這條性質(zhì)此題型在以下題目中體現(xiàn) 1(1) 3.1 4.2 6.1 13.1數(shù)列通項(xiàng)的求法：定義法（利用AP,GP的定義）；如果是等差數(shù)列或者等比數(shù)列，一定要用定義去證

2、明并說明此題型在以下題目中體現(xiàn) 1.2 2.1 6.2 10 11.1 累加法（型）；形如：+的遞推數(shù)列，求通項(xiàng)用疊加（消項(xiàng)）法此題型在以下題目中體現(xiàn) 2.2an=S1 (n=1)SnSn-1 (n2)公式法： 已知數(shù)列的前項(xiàng)和，求數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，要注意分段.當(dāng)滿足時(shí)，才能用一個(gè)公式表示.此題型在以下題目中體現(xiàn) 2.1 4.1 8.1 9.1 累乘法（型）；形如：的遞推數(shù)列，求通項(xiàng)用連乘（約項(xiàng)）法.例如:若數(shù)列滿足：，求構(gòu)造法（型）； 一次線性遞推關(guān)系是最重要的遞推關(guān)系式，可以通過“法”將此數(shù)列轉(zhuǎn)化成等比數(shù)列此題型在以下題目中體現(xiàn) 7.1 14.2間接法（例如：）；此題型在以下題目中體現(xiàn) 5

3、.1 形如（處理方法見例題）此題型在以下題目中體現(xiàn) 11.24前項(xiàng)和的求法：（）公式法數(shù)列是等比數(shù)列，其前項(xiàng)的和是關(guān)于的分段函數(shù)，在求和過程中若公比不是具體數(shù)值時(shí)，則要進(jìn)行討論.此題型在以下題目中體現(xiàn) 3.2 6.2() 13.2（）分組求和法；此題型在以下題目中體現(xiàn) 4.2（）裂項(xiàng)法；此題型在以下題目中體現(xiàn) 7.2 9.2 （）錯(cuò)位相減法。此題型在以下題目中體現(xiàn) 8.2 5等差數(shù)列前n項(xiàng)和最值的求法： ；利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)。等差數(shù)列當(dāng)首項(xiàng)且公差，前n項(xiàng)和存在最大值.當(dāng)首項(xiàng)且公差，前n項(xiàng)和存在最小值.求等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值可以利用不等式組來確定的值；也可以利用等差數(shù)列的前項(xiàng)的和是的二次函

4、數(shù)（常數(shù)項(xiàng)為0）轉(zhuǎn)化成函數(shù)問題來求解.此題型在以下題目中體現(xiàn) 12.26.恒成立問題此題型在以下題目中體現(xiàn) 9.2 12.2 14.3三、典型題目集錦、（2011豐臺(tái)二模理15）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，a2=4， S5=35（）求數(shù)列的前項(xiàng)和；（）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項(xiàng)和、 （2011東城二模文16）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且（）（）證明:數(shù)列是等比數(shù)列；（）若數(shù)列滿足，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式、（2011朝陽(yáng)二模文16）設(shè)是一個(gè)公差為的等差數(shù)列，成等比數(shù)列.（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）數(shù)列滿足，求（用含的式子表示）.、（2011豐臺(tái)二模文20）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且數(shù)列為等比數(shù)列，且， （）求數(shù)列

5、，的通項(xiàng)公式；（）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和； (類似例題)在等比數(shù)列中，且，是和的等差中項(xiàng). （I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）若數(shù)列滿足（），求數(shù)列的前項(xiàng)和.（2011昌平二模理20）.已知數(shù)列滿足，且對(duì)任意，都有(）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；（2011順義二模文16）已知是公差不為零的等差數(shù)列，且成等比數(shù)列. （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）若a>0,求數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.（東城）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列滿足，且.（）求的通項(xiàng)公式；（）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，證明：.已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前項(xiàng)和為，且滿足（）求；（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和（昌平）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，點(diǎn)在

6、直線上數(shù)列滿足，且，前11項(xiàng)和為154.（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求使不等式對(duì)一切都成立的最大正整數(shù)的值；10（房山）已知數(shù)列中，設(shè)（）試寫出數(shù)列的前三項(xiàng)；（）求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；11. 設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為 已知（I）設(shè)，證明數(shù)列是等比數(shù)列 （II）求數(shù)列的通項(xiàng)公式。12（豐臺(tái)）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，點(diǎn)（）均在函數(shù)的圖象上（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和；（）存在，使得對(duì)任意恒成立，求出的最小值； (類似例題)在等比數(shù)列中，公比，且， 與的等比中項(xiàng)為2（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè) ，數(shù)列的前項(xiàng)和為，當(dāng)最大時(shí)，求的值。13（2011西

7、城一模文17）已知是公比為的等比數(shù)列，且.（）求的值；（）設(shè)是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為. 當(dāng)時(shí)，試比較與的大小.14.（海淀期中考試）已知數(shù)列滿足： （I）求的值； （）求證：數(shù)列是等比數(shù)列； （）令（），如果對(duì)任意，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍. (類似例題)在數(shù)列中，（）（I）求的值；（II）設(shè)，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（III）設(shè) （），如果對(duì)任意，都有，求正整數(shù)的最小值.四、典型題目詳細(xì)解答、（2011豐臺(tái)二模理15）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，a2=4， S5=35（）求數(shù)列的前項(xiàng)和；（）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項(xiàng)和解：（）設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公差為d 則 ， 前項(xiàng)和 （）， ，且b

8、1=e 當(dāng)n2時(shí)，為定值 數(shù)列構(gòu)成首項(xiàng)為e，公比為e3的等比數(shù)列 數(shù)列的前n項(xiàng)的和是、 （2011東城二模文16）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且（）（）證明:數(shù)列是等比數(shù)列；（）若數(shù)列滿足，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式（）證明：由，時(shí)，解得.因?yàn)?，則，所以當(dāng)時(shí)，整理得.又，所以是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列. （）解：因?yàn)?，由，?，（），當(dāng)時(shí)也滿足，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.、（2011朝陽(yáng)二模文16）設(shè)是一個(gè)公差為的等差數(shù)列，成等比數(shù)列.（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）數(shù)列滿足，求（用含的式子表示）.解：（）由，成等比數(shù)列得：. 解得. 數(shù)列的通項(xiàng)公式是= . （）=. 則= =. 、（2011豐臺(tái)二模文20）已知數(shù)

9、列的前項(xiàng)和為，且數(shù)列為等比數(shù)列，且， （）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和；解：（） 數(shù)列的前項(xiàng)和為，且， 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，亦滿足上式，故，3分 又 數(shù)列為等比數(shù)列，設(shè)公比為， ， （）所以 此題,可以看成為“等比數(shù)列+等差數(shù)列”（下例），所以我們選擇分組求和，“等比+等比”也用分組求和。(類似例題)在等比數(shù)列中，且，是和的等差中項(xiàng). （I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）若數(shù)列滿足（），求數(shù)列的前項(xiàng)和.（2011昌平二模理20）.已知數(shù)列滿足，且對(duì)任意，都有(）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；解: （），即， 所以， 所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列 （2011順義二模文16）已知是公差不

10、為零的等差數(shù)列，且成等比數(shù)列. （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）若a>0,求數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.解（）設(shè)等差數(shù)列的公差為因?yàn)槌傻缺葦?shù)列 所以 即 解得d=2或d=0（舍）. 所以 （）由（）知， 所以 當(dāng)a=1時(shí)，數(shù)列的前n項(xiàng)和 當(dāng)時(shí)，令，則. 所以 故為等比數(shù)列,所以的前n項(xiàng)和. 因此,數(shù)列的前n項(xiàng)和（東城）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列滿足，且.（）求的通項(xiàng)公式；（）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，證明：.解：（）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以 由，得，又，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列所以 所以（）證明：故 所以已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前項(xiàng)和為，且滿足（）求；（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和

11、解：（）（） ， ， （n2 ） 即得 ，因?yàn)椋?所以（n）（），兩式相減得，所以 （昌平）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，點(diǎn)在直線上數(shù)列滿足，且，前11項(xiàng)和為154.（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求使不等式對(duì)一切都成立的最大正整數(shù)的值；解：（1）由題意，得，即故當(dāng)時(shí)，-=注意到時(shí)，而當(dāng)時(shí)，所以， 又，即，所以為等差數(shù)列，于是而，故，因此，即（2）=所以，=由于 因此單調(diào)遞增，故令，得，所以求一個(gè)數(shù)列（一次，二次的除外）的最值問題，我們通常用作差法來研究函的單調(diào)性，這種方法同學(xué)們必須數(shù)列掌握10（房山）已知數(shù)列中，設(shè)（）試寫出數(shù)列的前三項(xiàng)；（）求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公

12、式；解：（）由，得，. 由，可得，. （）證明：因，故. 顯然，因此數(shù)列是以為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，即. 解得. 11. 設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為 已知（I）設(shè)，證明數(shù)列是等比數(shù)列 （II）求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：（I）由及，有由， 則當(dāng)時(shí)，有得又，是首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列（II）由（I）可得，數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等比數(shù)列， 12（豐臺(tái)）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，點(diǎn)（）均在函數(shù)的圖象上（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和；（）存在，使得對(duì)任意恒成立，求出的最小值；解：（）因?yàn)?，所以 因?yàn)?， 所以，所以 因?yàn)?點(diǎn)（）均在函數(shù)的圖象上，所以 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，所以 （） （）存在，使得對(duì)任意恒成立

13、只要由（）知， 所以 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，；所以 當(dāng)或時(shí)，有最大值是所以 ，又因?yàn)?，所以的最小值為 數(shù)列掌握此方法(類似例題)在等比數(shù)列中，公比，且， 與的等比中項(xiàng)為2（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè) ，數(shù)列的前項(xiàng)和為，當(dāng)最大時(shí)，求的值。13（2011西城一模文17）已知是公比為的等比數(shù)列，且.（）求的值；（）設(shè)是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為. 當(dāng)時(shí)，試比較與的大小.解：（）由已知可得， 因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，所以. 解得或. （）當(dāng)時(shí)， 所以，當(dāng)時(shí)，. 即當(dāng)時(shí)，. 當(dāng)時(shí)， ， ， 所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，. 做差法比較大小 14.（海淀期中考試）已知數(shù)列滿足： （I）求的值； （）求證：數(shù)列是等比數(shù)列； （）令（），如果對(duì)任意，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（I） （II）由題可知：