導(dǎo)數(shù)典型例題講解

1、資料一 ：導(dǎo)數(shù).知識(shí)點(diǎn)1導(dǎo)數(shù)的概念例1已知曲線y=上的一點(diǎn)P(0, 0)，求過點(diǎn)P的切線方程·解析：如圖，按切線的定義，當(dāng)x0時(shí)，割線PQ的極限位置是y軸（此時(shí)斜率不存在），因此過P點(diǎn)的切線方程是x=0.例2求曲線yx2在點(diǎn)(2，4)處的切線方程·解析： y=x2, y=(x0x)2x022x0x(x)2 =4x(x)2 k. 曲線yx2在點(diǎn)(2，4)處切線方程為y44(x2)即4xy40.例3物體的運(yùn)動(dòng)方程是 S1tt2，其中 S的單位是米，t的單位是秒，求物體在t5秒時(shí)的瞬時(shí)速度及物體在一段時(shí)間5，5t內(nèi)相應(yīng)的平均速度解析： S=1+t+t2, S=1+(t+t)+(t

2、+t)2(1+t+t2)=2t·t+t+(t)2, 即, , 即在5，5t的一段時(shí)間內(nèi)平均速度為(t11)米秒 v(t)=S 即v(5)2×5111. 物體在t5秒時(shí)的瞬時(shí)速度是11米秒例4利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)y=在x=1處的導(dǎo)數(shù)。解析：y=, =, =.例5已知函數(shù)f(x)=, 求函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)解析：由已知f(x)=0，即f(x)在x=0處有定義，y=f(0+x)f(0)=,=, =0, 即 f (0)0. 函數(shù)f(x)在x0處導(dǎo)數(shù)為0.例6已知函數(shù)f(x)=, 判斷f(x)在x1處是否可導(dǎo)？解析：f(1)=1, , , 函數(shù)y=f(x)在x1處不可導(dǎo)例7已

3、知函數(shù) y2x33，求 y.解析： y=2x3+3, y=2(x+x)3+3(2x3+3)=6x2·x+6x·(x)2+2(x)3, =6x2+6x·x+2(x)2, y=6x2. 例8已知曲線y2x33上一點(diǎn)P，P點(diǎn)橫坐標(biāo)為x1，求點(diǎn)P處的切線方程和法線方程解析： x=1, y=5, P點(diǎn)的坐標(biāo)為(1, 5), 利用例7的結(jié)論知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為y=6x2, y6, 曲線在P點(diǎn)處的切線方程為y56(x1)即6xy10, 又曲線在P點(diǎn)處法線的斜率為， 曲線在P點(diǎn)處法線方程為y5( x1)，即 6yx310.例9拋物線yx2在哪一點(diǎn)處切線平行于直線y4x5？解析： y=,

4、 令2x4 x=2, y4, 即在點(diǎn)P(2，4)處切線平行于直線y4x5.例10設(shè)mt0，f(x)在x0處可導(dǎo)，求下列極限值 (1) ； (2) .解析：要將所求極限值轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)f (x0)定義中的極限形式。(1) =,（其中m·x0）(2) =.（其中）例11設(shè)函數(shù)f(x)在x1處連續(xù)，且，求f (1).解析： f(x)在x1處連續(xù)， f(1). 而又×2=0. f(1)=0. f (1)=（將x換成x1） 即f (1)2.例12已知拋物線yax2+bx+c (a0)，通過點(diǎn)(1，1)，且在點(diǎn)(2，1)處與直線yx3相切，求a，b，c的值 解析：由y=, 由函數(shù)在點(diǎn)(2，

5、1)處與直線yx3相切, 2a×2b1， 又函數(shù)過點(diǎn)(1，1)，(2，1), abc=1， 4a2bc1， 由三式解得a3，b11，c=9.例13設(shè)曲線ysinx在點(diǎn)A(，)處切線傾斜角為，求tan()的值.解析： y=sinx， y=sin(x+x)sinx=2cos(x+)sin, y=. 即y(sinx)cosx, 令在A點(diǎn)處切線斜率為k=cos=, tan=, (0, ), tan() H，例14設(shè)f(x)是定義在R上的函數(shù)，且對(duì)任何x1、x2R，都有f(x1x2)=f(x1)f(x2)，若f(0)0，f (0)1，證明：對(duì)任何xR，都有f(x)=f (x)解析：由f(x1x

6、0)=f(x1)f(x2)，令x1x20得f(0)f(0)f(0), 又f(0)0 f(0)=1 由f (0)=1即, f (x).即f (x)=f(x)成立2幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例1已知f(x)=x3，求f (x) ，f (1)，(f(1)，f ( 0.5)解析：f(x)=x3, f (x)3x2, f (1)=3, f ( 0.5)3×(0.5)2= 0.75，(f(1)=(1)=0. 說明：導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)在某點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)要弄清區(qū)別與聯(lián)系后者是導(dǎo)函數(shù)的某一函數(shù)值，因此在求函數(shù)某一點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)時(shí)可先求導(dǎo)函數(shù)，再直接求導(dǎo)函數(shù)值例2已知曲線y=x2上有兩點(diǎn)A(1, 1), B(2, 4)，求 割線

7、AB的斜率；在1， 1x內(nèi)的平均變化率； 過點(diǎn)A處的切線斜率kAT； 點(diǎn)A處的切線方程解析： kAB3； 平均變化率, y2x , y|x12. 即點(diǎn)A處的切線斜率為KAT2. 點(diǎn)A處的切線方程為y12(x1)即2xy10.說明：通過本例搞清割線斜率，區(qū)間上平均變化率，某點(diǎn)處切線斜率與某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)之間的區(qū)別與聯(lián)系，再次驗(yàn)證了導(dǎo)數(shù)與平均變化率之間的關(guān)系y=.例3利用導(dǎo)數(shù)定義和導(dǎo)數(shù)公式兩種方法求曲線y=在點(diǎn)P(1，1)處的切線傾斜角及該點(diǎn)處的法線方程解析：解法一：f(x)=, y=f(1+x)f(1)=, y|x=1=.即在點(diǎn)P處斜率為k1， 傾斜角為135°，法線方程y1x1即xy0.

8、 解法(二)：y=f(x)，y=f (x)=, y|x=11. 即在點(diǎn)P處切線斜率為k=1，以下同法(一)說明：求導(dǎo)致方法有兩種，一種是利用導(dǎo)致定義法求導(dǎo)數(shù)，第二種用導(dǎo)數(shù)公式，要注意題目要求，若無聲明，用最簡(jiǎn)單的方法即可例4已知曲線y=上的一點(diǎn)P(0，0)，求過點(diǎn)P的切線方程. 解析：由y=, y=, 在x=0處導(dǎo)數(shù)不存在，由圖形知過P點(diǎn)的切線方程是x=0.例5設(shè)曲線ycosx在A(，)點(diǎn)處的切線傾斜角為，求cot()的值解析：y=cosx, y=sinx, x=時(shí), k=sin=, tan=， cot()=.例6求曲線yx3在點(diǎn)(3，27)處的切線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積 解析： y=x3

9、, y=3x2, y|x=3=27, 曲線 y=x3在點(diǎn)(3，27)處的切線方程為y2727(x3),即y27x54. 其與x軸，y軸交點(diǎn)分別為(2，0)，(0，54) 切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為 S=×2×5454.例7在拋物線yx2上取橫坐標(biāo)為x11及x23的兩點(diǎn)，作過這兩點(diǎn)的割線，問該拋物線上哪一點(diǎn)的切線平行于這一割線？ 解析：已知兩點(diǎn)A(1，1)B(3，9)，割線斜率為kAB=4, y2x，令y=2x4得x2, 即在點(diǎn)(2，4)處切線平行于這一割線3函數(shù)和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)例1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： y=3x2xcosx； y=； y=xtanx； y=.解析： y

10、=6x+cosxxsinx； y=； y=, y= =. y=, y=.例2已知函數(shù)f(x)=x37x+1，求f (x)，f (1)，f (1.5). 解析：f(x)=x37x+1, y= f (x)=3x27, f (1)=4，f (1.5)=.注意：導(dǎo)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系，函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是導(dǎo)函數(shù)在這一點(diǎn)處的函數(shù)值例3已知函數(shù)yx3ax2a的導(dǎo)數(shù)為0的x值也都使y值為0，求常數(shù)a的值解析：y=3x2+2ax, 令y=0, 則3x2+2ax=0, x1=0, x2=a, 當(dāng)x=0時(shí)，y=0=a， a=0，即a0滿足條件, 當(dāng)x=a時(shí)y0= 得a0或a±3 檢驗(yàn)知a±3

11、不滿足條件， 常數(shù)的值為0.例4曲線yx24x上有兩點(diǎn)A(4，0)，B(2，4)，求 割線AB的斜率kAB； 過點(diǎn)A處的切線斜率kA； 點(diǎn)A處的切線方程。解析： 割線AB的斜率kAB=2； y=2x+4， y|x=4=4，即kA=4； 過A點(diǎn)的切線方程為y04(x4)，即 y4x16.例5已知F(x)=f(x)g(x)，就下列兩種情形判斷F(x)在xx0處是否可導(dǎo)？ f(x)在xx0處可導(dǎo)，g(x)在xx0處不可導(dǎo) f(x)，g(x)在xx0處均不可導(dǎo) 解析： F(k)在xx0處不可導(dǎo) 假設(shè)F(x)在xx0處可導(dǎo)， 由F(x)=f(x)g(x), g(x)F(x)f(x). f(x)在xx0處

12、可導(dǎo)， g(x)在x=x0處可導(dǎo)，與條件g(x)在xx0處不可導(dǎo)矛盾， F(x)在xx0處不可導(dǎo) F(x)在xx0處不一定可導(dǎo)如設(shè) f(x)=sinx+, g(x)=cosx, 則f(x)，g(x)在x0處均不可導(dǎo)， 但F(x)=f(x)+g(x)sinxcosx在x0處可導(dǎo) 另：若g(x)=tanx+上，在x0處不可導(dǎo)， F(x)=f(x)+g(x)=sinx+tanx+在x0處也不可導(dǎo)例6曲線yx3x1上求一點(diǎn)P，使過P點(diǎn)切線與直線y=4x7平行 解析： y=(x3x1)3x21， 由過P點(diǎn)切線與直線y4x7平行， 令3x214得x±1， 當(dāng)x=1時(shí)，y=1，此時(shí)切線為y14(x

13、1)，即y4x3與直線y4x7平行， P點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1)。 當(dāng)x1時(shí)，y3，此時(shí)切線為y3=3(x1)，即y4x1也滿足條件， P點(diǎn)坐標(biāo)為(1，3). 綜上得P點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1)或(1，3).例7證明：過拋物線ya(xx1)(xx2), (a0，x1x2)上兩點(diǎn)A(x1，0)，B(x2，0)的切線傾斜角互補(bǔ) 解析： y=2axa(x1+ x2). , 即k1=a(x1x2), , 即k2=a(x2x1), k1=k2， 兩切線傾斜角互補(bǔ)例8已知曲線y=f(x)及y=f(x)sinax，(a0)，其中f(x)0，且為可導(dǎo)函數(shù)，求證：兩曲線在公共點(diǎn)處彼此相切 解析：由f(x)=f(x)sinax

14、, f(x)>0， sinax=1，ax=2k+ (kZ), x=，設(shè)曲線交點(diǎn)(x0, y0)， 即x0=.又兩曲線y1=f(x)，y1=f (x)，y1=f(x)sinax，y2=f (x)sinax+a·cosx·f(x) , , k1=k2，即兩曲線在公共點(diǎn)處相切.例9已知直線ykx與曲線yx33x22x相切，求k的值解析：由y=3x26x+2=k, 又由kx=x33x2+2x， 3x36x2+2x=x33x2+2x, 即2x33x20得x10或x2= k2或4復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例1函數(shù)y(sinx2)是由函數(shù)y ，u ，v= 三個(gè)函數(shù)復(fù)合

15、而成解析：答案分別為：y=u, u=sinv. v=x2.例2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： y=(x2+2x)3； y=； y=； y(sinx2)； yln(x)； yx3lig3x； y=； y=xn, (xR+, nR). 解析： y=(x2+2x)3， y=3(x2+2x)2·(2x+2)=6(x+1)(x2+2x)2. y=, y= ·(8x)=8x·. y=, y=·(2ax+b). y=(sinx2), y=·cosx2·2x=. yln(x), y=. yx3lig3x, y=3x2·lig3x+x3·lig

16、3e=3x2lig3x+x2lig3e=x2lig3(ex3). y=, y=. y=xn=, y=n··xn=. 說明：本例集中訓(xùn)練常見函數(shù)求導(dǎo)公式，導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則，復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則等，這些要反復(fù)熟記·例3求函數(shù)f(x)=的導(dǎo)數(shù)。解析：f (x)= , f (x)= 例4若f(x)=xln(x5)，g(x)ln(x1),解不等式f (x)>g(x).解析：f (x)=1+, g(x)=, 由f (x)>g(x)，有1+>, 即, x>5或x<1. 又兩函數(shù)定義域?yàn)閤>5, 所以，不等式f (x)>g(x)的解集為(

17、5，). 說明：求導(dǎo)數(shù)有關(guān)問題時(shí)還要注意原函數(shù)定義域例5證明：可導(dǎo)奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)。 解析： 法一：定義法： 設(shè)f(x)為可導(dǎo)奇函數(shù)，則f(x)f(x), f (x)=f (x). 即f (x)=f (x)導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù). 法二：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法： 設(shè)f(x)為可導(dǎo)奇函數(shù)，則f(x)f(x)，兩邊對(duì)x求導(dǎo) 得：f (x)=f (x) 即 f (x)f ( x), f (x)f (x) f (x)為偶函數(shù)，即命題成立 同理可證：可導(dǎo)偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)例6石頭落在平靜水面上，產(chǎn)生同心波紋，若最外一圈波半徑增大速度總是am/s，問在b秒末波擾動(dòng)水面積的增大速度是多少？ 解析：設(shè)b秒末最外一圈波紋

18、的半徑為R，則R=ab, SR2，又 Ra， S|R=ab=2R·R(t)|R=ab=2a2b. 即b秒末波擾動(dòng)水面積的增大率為2a2b m2/s.例7將水注入錐形容器中，其速度為4米3/分，設(shè)錐形容器的高為8米，頂口直徑為6米，求當(dāng)水深為5米時(shí)，水面上升的速度(如圖)解析：設(shè)注入水t分鐘后，水深為h米，由相似三角形對(duì)應(yīng)過之比可得水面直徑為h米，這時(shí)水的體積溫V=(h)2·h=，由于水面高度h隨時(shí)間t而變化，因此h是t的函數(shù)hh(t)，由此可得水的體積關(guān)于時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)為VtVh·ht， Vt=， 由假設(shè)，注水的速度為 4米3分 Vt=4, 即ht=, 當(dāng)h5米時(shí)，

19、水面上升的速度為h|h=5=(米/分).5函數(shù)的單調(diào)性和極值1求函數(shù)yexx1的單調(diào)區(qū)間解析：y=(exx+1)=ex1, 由ex1>0得x>0，即函數(shù)在(0, +)上為增函數(shù)；由ex1<0得x<0，即函數(shù)在(，0)上為減函數(shù) 函數(shù)的單增區(qū)間為(0，)，單減區(qū)間為(，0).例2證明：函數(shù)y在區(qū)間(0，1)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(1，2)上單調(diào)遞減 解析： y=, 當(dāng)x(0，1)時(shí)，y>0， f(x)在(0，1)上遞增；當(dāng)x(1，2)時(shí)，y<0， f(x)在(1，2)上遞減例3討論函數(shù)y=x2sinx在(0，2)內(nèi)的單調(diào)性. y=12cosx, x(0, 2)，由

20、y>0，得<x<, 即y=f(x)在(,)內(nèi)是單調(diào)遞增；同理，由y<0，得0<x<或<x<2， y=f(x) 在(0, )和(, 2)內(nèi)都是單調(diào)遞減。例4設(shè)f(x) (a0)，求a的范圍，使函數(shù)f(x)在(0，)上是單調(diào)函數(shù)解析：f (x)=，當(dāng)x(0, +)時(shí)，0<<1, a0，且f(x)在(0，)上是單調(diào)函數(shù)，則必有f (x)<0，a1.即a1時(shí)，函數(shù)f(x)在(0，)上是單調(diào)函數(shù)例5已知函數(shù)f(x)(a0且a1)在定義域(0，1)上是減函數(shù)，求a的取值范圍解析： 定義域要求2ax>0, x<, 又函數(shù)在(0,

21、1)上都有意義， 1， a2, y=， 由y<0，得，若 0<a<1, 則 lga<0, >0，則x>>2與定義域x(0, 1)矛盾， 只有a>1，此時(shí)lga>0, <0, x<<2, 1<a2.例6當(dāng)x0時(shí)，證明不等式解析：設(shè)f(x)= =,則f (x)=,當(dāng)x>0時(shí)，f (x) =<0, 即f(x)在(0，)上是遞減函數(shù)，又當(dāng)x0時(shí)，f(0)0 f(x)<f(0), 即<0, .令g(x)ln(1x)x, g(x)當(dāng)x>0時(shí)，g(x)<O， g(x)也為減函數(shù)，又當(dāng)x0時(shí)，g(

22、x)0， g(x)<g(0). ln( 1x)x0即ln(1x)<x. 例7右圖是函數(shù)yx3x25x5的圖象，試結(jié)合圖形說明函數(shù)的極值情況：解析：f (x)=3x2+2x5=(3x+5)(x1),令f (x)=0, 得x1=, x2=1， x=和x1是f(x)可能的極值點(diǎn)，又由圖象可以看出，f()比它臨近點(diǎn)的函數(shù)值大，f(1)比它臨近點(diǎn)的函數(shù)值要小， f()，f(1)分別是函數(shù)的極大值和極小值，除此之外，沒有其它極值點(diǎn)例8設(shè)函數(shù)f(x)ax3bx2cx，在x1與x1處有極值，且f(1)1，求f(x)表達(dá)式.解析： f(x)ax3bx2cx， f (x)=3ax2+2bx+c, x(

23、, +)，由已加f(x)在x=一1與x1時(shí)有極值 f (1)f (1)0， 又f(1)1， ，解得 a=, b=0, c=. f(x)=x3x.例9已知f(x)=x2c，且g(x)=ff(x)=f(x21)，設(shè)(x)g(x)f(x)，問：是否存在實(shí)數(shù)，使(x)在(，1)上是減函數(shù)，并且在(1，0)上是增函數(shù)解析：由ff(x)f( x21)得 (x2c)2c(x21)21，得c1， (x)g(x)f(x)x4(2)x2(2)是連續(xù)函數(shù)，(x)2x(2x22)由(x)在(，1)上是減函數(shù)，且在(1，0)上是增函數(shù)， (x)|x=1=(1)=0， =4，即存在實(shí)數(shù)4，使(x)滿足條件說明：本題若用函

24、數(shù)單調(diào)性定義太繁！6函數(shù)的最大值和最小值例1求函數(shù)f(x)5x2的值域.解析：由得f(x)的定義域?yàn)?x4，原問題轉(zhuǎn)化為求f(x)在區(qū)間3, 4上的最值問題。 yf (x), 在3，4上f (x)0恒成立, f(x)在3，4上單調(diào)遞增 當(dāng)x3時(shí)ymin15， 當(dāng)x=4時(shí)ymax=202， 函數(shù)的值域?yàn)?5，202.例2設(shè)<a<1，函數(shù)f(x)x3ax2b (1x1)的最大值為1，最小值為,求a, b的值。解析：f (x)=3x23ax=3x(xa)，當(dāng)x變化時(shí)，f (x), f(x)的變化情況列表如下： 當(dāng)x=0時(shí), f(x)取極大值b，而f(0)>f(a)，f(1)<

25、f(1)， 需要比較f(0)與f(1)的大小， f(0)f(1)a1>0， f(x)的最大值為f(0)b1， 又f(1)f(a)=(a33a2)=(a+1)2(a)<0， f(x)|min=f(1)， a1+b=a=, a=，b=1.例3若函數(shù)f(x)在0，a上單調(diào)遞增且可導(dǎo)，f(x)<0，f(x)是嚴(yán)格單調(diào)遞增的，求在(0，a上的最大值。解析：， f(x)是嚴(yán)格單調(diào)遞增的， f (x)>0， f(x)<0，x>0，f (x)·xf(x)>0， >0， 在(0，a上是增函數(shù)。 在(0，a上最大值為例4設(shè)g(y)1x24 xy3y4在y1

26、，0上最大值為f(x)，xR， 求f(x)表達(dá)式； 求f(x)最大值。解析：g(y)=4y2(y3x), y1, 0，當(dāng)x0時(shí)，g(y)0， g(y)在1, 0上遞增, f(x)=g(0)=1x2.當(dāng)<x<0時(shí)，g(y)>0，在1，3x上恒成立，在(3x，0)上恒成立， f(x)=g(3x)=1x2+27x4.當(dāng)x時(shí)，g(y)，g(y)在1，0上遞減, f(x)=g(1)=x24x, f(x)=. 當(dāng)x0時(shí)，f(x)f(0)=1， 當(dāng)x(，0)時(shí)，f(x)=27(x)2+1<f()=, 當(dāng)x時(shí)， f(x)( x2)24f(2)4, 1<< 4， f(x)|maxf(2)4.例5設(shè)函數(shù)f( x)3x2+ (x(0，)，求正數(shù)a的范圍，使對(duì)任意的x