現(xiàn)代數(shù)學與中學數(shù)學1《微積分——從黎曼到勒貝格》

1、l陳惠勇 l江西師范大學數(shù)學與信息科學學院l第一講 微積分的基本思想l 從黎曼到勒貝格)()()(xfdttfRdxdxal若f(x)在a,b上連續(xù)，則)()()( )(aFxFdttFRxal若F (x) 在a,b上連續(xù)，則導數(shù)（切線斜率）xi-1 xi定積分（面積）創(chuàng)立（17世紀）：Newton（力學）Leibniz（幾何）(無窮小)嚴格化（19世紀）: Cauchy, Riemann, Weierstrass(極限理論(-N, -語言)，實數(shù)理論)外微分形式（20世紀初）：Grassmann, Poincare, Cartan（微積分基本定理如何在高維空間得到體現(xiàn)）l外微分形式 (整體微

2、分幾何)（微積分基本定理如何在高維空間得到體現(xiàn)）l復數(shù)域上的微積分（復變函數(shù)）l微積分的深化和拓展（實變函數(shù)）(1) Riemann積分的定義積分與分割、介點集的取法無關幾何意義（非負函數(shù)）：函數(shù)圖象下方圖形的面積。xi-1 xiiniiTbaxfdxxfR10|)(lim)()(其中iiiiiixxxxx11 f(x)在a,b上Riemann可積iniiTbaxMdxxf10|lim)(dxxfxmbainiiT)(lim10|: )(inf: )(sup11iiiiiixxxxfmxxxxfM其中：xi-1 xixi-1 xif(x)在a,b上Riemann可積iniixT1, 0，使得分

3、劃iiiiiiiiimMxxxxfmxxxxfM: )(inf: )(sup11其中：xi-1 xi f(x)在a,b上Riemann可積注：連續(xù)函數(shù)、只有有限個間斷點的有界函數(shù)和閉區(qū)間上的單調函數(shù)Riemann可積的總長度不超過的小區(qū)間，使得所有振幅分劃，iiT, 0iiiiiniixxxii1上的振幅在為其中,),(baffbaiixxfbaii),(xi-1 xi)(),(abfba例：Dirichlet函數(shù)不Riemann可積。注：D(x)的下方圖形可看成由0,1中每個有理點長出的單位線段組成。11iniixT，有分劃1lim)(10|iniiTbaxMdxxf上積分0lim)(10|

4、iniiTbaxmdxxf下積分QxQxxD1 ,011 ,00)(0 1( )( )( )xaf t dtf xf a注：推薦大家看看龔昇寫的l話說微積分， 簡明微積分,l數(shù)學歷史的啟示（數(shù)學教學，2001.1）,l微積分嚴格化后(高等數(shù)學研究,2002,1-3） 1881年Volterra作出一可微函數(shù)，導函數(shù)有界但不Riemann可積；例：設rn為0,1中全體有理數(shù)(因為其為可數(shù)集，故可把它排成序列)，作0,1上的函數(shù)列1 231 231 , , , , 00,1 , , , , ( )1,2,3,nnxr r rrnxr r rrf xndxxfdxxfnnbanban)(lim)(l

5、imQxQxnnxDxf1 , 011 , 00)()(lim則 fn(x)在a,b上Riemann可積,但不Riemann可積。Riemann積分iniiTbaxfdxxfR10|)(lim)()(xi-1 xi為使f(x)在a,b上Riemann可積，按Riemann積分思想，必須使得分劃后在多數(shù)小區(qū)間上的振幅足夠小，這迫使在較多地方振動的函數(shù)不可積。Lebesgue提出，不從分割定義域入手，而從分割值域入手；(積分與分割、介點集的取法無關)1902年Lebesgue在其論文“積分、長度與面積”中提出（參見：Lebesgue積分的產生及其影響，數(shù)學進展，2002.1）iniibamEdxx

6、fL10,lim)()(yiyi-1)(:1iiiyxfyxEiiiyy1用 mEi 表示 Ei 的“長度”iniibamEdxxfL10,lim)()(取“極限”)(:1iiiyxfyxE取點集yiyi-1f(x)在 Ei上的振幅不會大于iniimEs1作和iiiyy1其中 mEi 表示 Ei 的“長度”，Mxfmyyii)(,1其中Myyyymn210, 0 作分劃即：對此Lebesgue自己曾經作過一個比喻，他說：l假如我欠人家一筆錢，現(xiàn)在要還，此時按鈔票的面值的大小分類，然后計算每一類的面額總值，再相加，這就是Lebesgue積分思想；l如不按面額大小分類，而是按從錢袋取出的先后次序來

7、計算總數(shù)，那就是Riemann積分思想即采取對值域作分劃，相應得到對定義域的分劃（每一塊不一定是區(qū)間），使得在每一塊上的振幅都很小，即按函數(shù)值的大小對定義域的點加以歸類yiyi-10 1l(1) 集合Ei 的“長度”如何定義（測度論）； l(2)怎樣的函數(shù)可使 Ei 都有“長度”（可測函數(shù)）；l(3)定義Lebesgue積分并研究其性質（積分論）；yiyi-1)(:1iiiyxfyxE(1) Achilles追龜 問題：時間由時刻組成，每一時刻，甲、乙都在一確定點上由于甲、乙跑完相應路程所用時間一樣，故甲、乙所用“時刻數(shù)”一樣，從而跑過的點的“個數(shù)”也一樣。21111112222nnn0(甲)

8、 （乙） 3/4 7/8 15/16 1甲的速度為1，乙的速度為1/2 1, 2, 3, 4, 5, 6, a1, a2, a3, a4, a5, a6, 問下列情況是否能把新來的人安排下：1 又來了有限個人b1, b2, b3, ，bn3 每個人帶無限多個親戚（親戚可排個隊）4 又來了0,1個人2 每個人帶一個親戚b1, b2, b3, , bn, 1 b1, b2, b3 , , bn , a1 , a2 , a3 , 1, 2, 3, 4, 5, 6, a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , 4 不能安排進去（0,1是不可數(shù)集）2 b1, a1 , b2, a2 , b3, a3 , 3 a1 , a2 , a3 , a4 , a11, a12, a13, a14, a21, a22, a23, a24, a31, a32, a33, a34, l1、周民強，實變函數(shù)論，北