現(xiàn)代控制理論(第四章)

1、4.2 李雅普諾夫第一法4.1 李雅普諾夫關(guān)于穩(wěn)定性的定義4.3 李雅普諾夫第二法4.4 李雅普諾夫方法在線性系統(tǒng)中的應(yīng)用4.5 李雅普諾夫方法在非線性系統(tǒng)中的應(yīng)用系統(tǒng)穩(wěn)定性的定義與李雅普諾夫方法 控制系統(tǒng)本身處于平衡狀態(tài)。受到擾動(dòng)，產(chǎn)生偏差。擾動(dòng)消失后，偏差逐漸變小，能恢復(fù)到原來(lái)的平衡狀態(tài)，則穩(wěn)定。偏差逐漸變大，不能恢復(fù)到原來(lái)的平衡狀態(tài)，則不穩(wěn)定。李雅普諾夫第一法：求解微分方程，根據(jù)解的方法判斷穩(wěn)定性李雅普諾夫第二法：構(gòu)造李雅普諾夫標(biāo)量函數(shù)判定穩(wěn)定性，在最優(yōu)控制、濾波、自適應(yīng)控制等方面有廣泛應(yīng)用。4.1 李雅普諾夫關(guān)于穩(wěn)定性的定義4.1.1 系統(tǒng)狀態(tài)的運(yùn)動(dòng)及平衡狀態(tài)設(shè)所研究系統(tǒng)的齊次狀態(tài)方程

2、為（1） 式中， 為 維狀態(tài)矢量； 為與 同維的矢量函數(shù)，它是x的各元素 和時(shí)間 的函數(shù)。一般地，為時(shí)變的非線性函數(shù)。如果不顯含 ，則為定常的非線性系統(tǒng)。設(shè)方程式(1)在給定初始條件 下，有唯一解：（2）式中， 為表示 在初始時(shí)刻 時(shí)的狀態(tài)； 是從開(kāi)始觀察的時(shí)間變量。 式(2)實(shí)際上描述了系統(tǒng)式(1)在n 維狀態(tài)空間中從初始條件 出發(fā)的一條狀態(tài)運(yùn)動(dòng)的軌跡，簡(jiǎn)稱系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)或狀態(tài)軌線狀態(tài)軌線。 若系統(tǒng)式(1)存在狀態(tài)矢量 ，對(duì)所有 ，都使：成立，則稱 為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)平衡狀態(tài)。（3） 對(duì)于一個(gè)任意系統(tǒng)，不一定都存在平衡狀態(tài)，有時(shí)即使存在也未必是唯一的，例如對(duì)線性定常系統(tǒng)： 當(dāng)A A為非奇異矩陣時(shí)，

3、滿足 的解 是系統(tǒng)唯一存在的一個(gè)平衡狀態(tài)。而當(dāng)A A為奇異矩陣時(shí)，則系統(tǒng)將有無(wú)窮多個(gè)平衡狀態(tài)。（4） 對(duì)非線性系統(tǒng)，通?？捎幸粋€(gè)或多個(gè)平衡狀態(tài)。它們是由方程式(3)所確定的常值解例加系系統(tǒng)：就有三個(gè)平衡狀態(tài)： 穩(wěn)定性都是相由于平衡點(diǎn)而言，任意一個(gè)已知的平衡狀態(tài)，都可以通過(guò)坐標(biāo)變換將其 移到坐標(biāo)原點(diǎn) 處。所以今后將只討論系統(tǒng)在坐標(biāo)原點(diǎn)處的穩(wěn)定性就可以了。 若用 表示狀態(tài)矢量 與平衡狀態(tài) 的距離，用點(diǎn)集 表示以 為中心 為半徑的超球體，那么 ，則表示：（5）式中， 為歐幾里德范數(shù)。在n維狀態(tài)空間中，有：（6） 當(dāng) 很小時(shí)，則稱 為 的鄰域。因此，若有 ，則意味著 同理，若方程式(1)的解 位于球域

4、 內(nèi)，便有：4.1.2 穩(wěn)定性的幾個(gè)定義（7） 式(7)表明齊次方程式(1)內(nèi)初態(tài) 或短暫擾動(dòng)所引起的自由響應(yīng)是有界有界的。李雅普諾夫根據(jù)系統(tǒng)自由響應(yīng)是否有界把系統(tǒng)的穩(wěn)定性定義為四種情況。1李雅普諾夫意義下穩(wěn)定2漸近穩(wěn)定3大范圍漸近穩(wěn)定4不穩(wěn)定 設(shè)系統(tǒng)對(duì)于任意選定的設(shè)系統(tǒng)對(duì)于任意選定的 ，都對(duì)應(yīng)的存在另一實(shí)數(shù)，都對(duì)應(yīng)的存在另一實(shí)數(shù) 使當(dāng)使當(dāng)0),(0t則稱系統(tǒng)的平衡則稱系統(tǒng)的平衡 狀態(tài)狀態(tài) 在在李雅普諾夫意義下穩(wěn)定。李雅普諾夫意義下穩(wěn)定。-簡(jiǎn)稱為穩(wěn)定簡(jiǎn)稱為穩(wěn)定ex如果如果 與初始時(shí)間無(wú)關(guān)，稱為與初始時(shí)間無(wú)關(guān)，稱為一致穩(wěn)定一致穩(wěn)定。其中其中 與與 有關(guān)，一般情況下也與有關(guān)，一般情況下也與 有關(guān)。

5、有關(guān)。1 1、李雅普諾夫意義下穩(wěn)定、李雅普諾夫意義下穩(wěn)定0時(shí)，從任意初始狀態(tài)出發(fā)的解都滿足時(shí)，從任意初始狀態(tài)出發(fā)的解都滿足0t幾何意義：幾何意義： 初始狀態(tài)初始狀態(tài)有界有界，隨時(shí)間推移，狀，隨時(shí)間推移，狀態(tài)向量距平衡點(diǎn)的距離可以維持在一態(tài)向量距平衡點(diǎn)的距離可以維持在一個(gè)確定的數(shù)值內(nèi)，而到達(dá)不了平衡點(diǎn)。個(gè)確定的數(shù)值內(nèi)，而到達(dá)不了平衡點(diǎn)。 任給一個(gè)從球域任給一個(gè)從球域 ，出發(fā)的若存在一個(gè)球域，出發(fā)的若存在一個(gè)球域 使得當(dāng)使得當(dāng) 時(shí)，從時(shí)，從 出發(fā)的軌跡不離開(kāi)出發(fā)的軌跡不離開(kāi) ，則稱系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是，則稱系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是李雅普諾夫意義下李雅普諾夫意義下的的穩(wěn)定。穩(wěn)定。)( St)(S)(S)( S1

6、x2xex)(S)( S 設(shè)系統(tǒng)初始狀態(tài)位于以設(shè)系統(tǒng)初始狀態(tài)位于以平衡狀態(tài)平衡狀態(tài) 為球心，為球心， 為半徑的閉球域?yàn)榘霃降拈]球域 內(nèi)，即內(nèi)，即)(S ex則稱系統(tǒng)的平衡狀態(tài)則稱系統(tǒng)的平衡狀態(tài) 是是漸近穩(wěn)定漸近穩(wěn)定的的。ex若系統(tǒng)方程的平衡狀態(tài)若系統(tǒng)方程的平衡狀態(tài) 不僅具有李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性，且有不僅具有李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性，且有ex2 2、漸近穩(wěn)定、漸近穩(wěn)定幾何意義：幾何意義：初始狀態(tài)有界，隨時(shí)間推移，初始狀態(tài)有界，隨時(shí)間推移，狀態(tài)向量距平衡點(diǎn)的距離可狀態(tài)向量距平衡點(diǎn)的距離可以無(wú)限接近，直至到達(dá)平衡以無(wú)限接近，直至到達(dá)平衡點(diǎn)后停止運(yùn)動(dòng)。點(diǎn)后停止運(yùn)動(dòng)。1x2xex)(S)( S當(dāng)當(dāng)

7、時(shí)，從時(shí)，從 出發(fā)的軌跡不僅不超出出發(fā)的軌跡不僅不超出 ，而且最終收斂于，而且最終收斂于 ，則，則稱系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是稱系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定漸近穩(wěn)定的。的。)( S)(Stex初始狀態(tài)在整個(gè)狀態(tài)空間時(shí)，平衡狀態(tài)都漸近穩(wěn)定。初始狀態(tài)在整個(gè)狀態(tài)空間時(shí)，平衡狀態(tài)都漸近穩(wěn)定。 當(dāng)初始條件擴(kuò)展到整個(gè)狀態(tài)空間，且平衡狀態(tài)均具有漸近穩(wěn)定性時(shí)，稱此平當(dāng)初始條件擴(kuò)展到整個(gè)狀態(tài)空間，且平衡狀態(tài)均具有漸近穩(wěn)定性時(shí)，稱此平衡狀態(tài)是衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定大范圍漸近穩(wěn)定的。的。3 3、大范圍漸近穩(wěn)定、大范圍漸近穩(wěn)定幾何意義：幾何意義： 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，從狀態(tài)空間任意一點(diǎn)出發(fā)的軌跡都時(shí)，從狀態(tài)空間任意一點(diǎn)出發(fā)的軌跡都收斂于收斂

8、于 。tex初始狀態(tài)有界，隨時(shí)間推初始狀態(tài)有界，隨時(shí)間推移，狀態(tài)向量距平衡點(diǎn)越移，狀態(tài)向量距平衡點(diǎn)越來(lái)越遠(yuǎn)。來(lái)越遠(yuǎn)。4 4、不穩(wěn)定、不穩(wěn)定幾何意義：幾何意義： 如果對(duì)于某個(gè)實(shí)數(shù)如果對(duì)于某個(gè)實(shí)數(shù) 和任一個(gè)實(shí)數(shù)和任一個(gè)實(shí)數(shù) ，不管這，不管這 有多小，在有多小，在 內(nèi)內(nèi) 出發(fā)的狀態(tài)軌跡，至少有一個(gè)軌線超出出發(fā)的狀態(tài)軌跡，至少有一個(gè)軌線超出 ， 則稱此平衡狀態(tài)則稱此平衡狀態(tài) 是是不穩(wěn)定不穩(wěn)定的。的。0)(S)( S0ex1x2xex)(S)( S注：在經(jīng)典控制理論中，漸近穩(wěn)定系統(tǒng)才稱作穩(wěn)定系統(tǒng)，而李雅普諾夫意義下的注：在經(jīng)典控制理論中，漸近穩(wěn)定系統(tǒng)才稱作穩(wěn)定系統(tǒng)，而李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定但不是漸近穩(wěn)定

9、的系統(tǒng)（臨界穩(wěn)定），在工程上屬于不穩(wěn)定系統(tǒng)。穩(wěn)定但不是漸近穩(wěn)定的系統(tǒng)（臨界穩(wěn)定），在工程上屬于不穩(wěn)定系統(tǒng)。4.2 李雅普諾夫第一法4.2.1 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定判據(jù)線性定常系統(tǒng)（1） 平衡狀態(tài) 漸近穩(wěn)定的充要條件是矩陣A的所有特征值均具有負(fù)實(shí)部。 以上討論的都是指系統(tǒng)的狀態(tài)穩(wěn)定性狀態(tài)穩(wěn)定性，或稱內(nèi)部穩(wěn)定性。但從工程意義上看，往往更重視系統(tǒng)的輸出穩(wěn)定性輸出穩(wěn)定性。 如果系統(tǒng)對(duì)于有界輸入 所引起的輸出 是有界的，則稱系統(tǒng)為輸出輸出穩(wěn)定穩(wěn)定。 線性定常系統(tǒng) 輸出穩(wěn)定的充要條件是其傳遞函數(shù)：的極點(diǎn)全部位于s的左半平面。（2）4.2.2 非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：（3） 為其平衡狀態(tài)； 為與 同

10、維的矢量函數(shù)，且對(duì)工具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)。 為討論系統(tǒng)在 處的穩(wěn)定性，可將非線性矢量函數(shù) 在 鄰域內(nèi)展成泰勒級(jí)數(shù)，得：（4）例4-1說(shuō)明傳遞函數(shù)在未出現(xiàn)零極點(diǎn)對(duì)消的現(xiàn)象時(shí)，矩陣A的穩(wěn)定性與傳遞函數(shù)表現(xiàn)出的穩(wěn)定性一致。式中， 為級(jí)數(shù)展開(kāi)式中的高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)。而（5）稱為雅可比(Jacohian)矩陣。 若令 ，并取式(4)的一次近似式，可得系統(tǒng)的線性化方程： （6） 在一次近似的基礎(chǔ)上，李雅普諾夫給出下述結(jié)論： 1)如果方程式(6)中系數(shù)矩陣A的所有特征值都具有負(fù)實(shí)部，則原非線性系統(tǒng)式(3)在平衡狀態(tài) ，是漸近穩(wěn)定的，而且系統(tǒng)的穩(wěn)定性與 無(wú) 關(guān)。 2)如果 A A 的特征值，至少有一個(gè)具有正實(shí)部，則原非

11、線性系統(tǒng)的平衡狀態(tài) 是不穩(wěn)定的。 3)如果 A A 的特征值，至少有一個(gè)的實(shí)部為零。系統(tǒng)處于臨界情況，那么原非線性系統(tǒng)的平衡狀態(tài) 的穩(wěn)定性將取決于高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng) ，而不能由A A的特征值符號(hào)來(lái)確定。4.3 李雅普諾夫第二法 李雅普諾夫第二法又稱直接法。它的基本思路不是通過(guò)求解系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程，而是借助于一個(gè)李雅普諾夫函數(shù)來(lái)直接對(duì)系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性做出判斷。它是從能量觀點(diǎn)進(jìn)行穩(wěn)定性分析的。不必不必求解微分方程，求解微分方程，直接直接判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)需要能量。系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)需要能量。在非零初始狀態(tài)作用下的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若能量隨時(shí)間在非零初始狀態(tài)作用下的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若能量隨時(shí)間衰減以致最

12、終消失，則系統(tǒng)遲早會(huì)達(dá)到平衡狀態(tài)，即系統(tǒng)衰減以致最終消失，則系統(tǒng)遲早會(huì)達(dá)到平衡狀態(tài)，即系統(tǒng)漸近穩(wěn)定漸近穩(wěn)定。反之，反之，系統(tǒng)則系統(tǒng)則不穩(wěn)定不穩(wěn)定。若能量在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不增不減，則稱為若能量在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不增不減，則稱為李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定。 設(shè) 為由 維矢量 所定義的標(biāo)量函數(shù)， ，且在 處恒有 。4.3 李雅普諾夫第二法4.3.1 預(yù)備知識(shí)1.標(biāo)量函數(shù)的符號(hào)性質(zhì)所有在域 中的任何非零矢量 ，如果：2二次型標(biāo)量函數(shù) 二次型函數(shù)在李雅普諾夫第二方法分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性中起著很重要的作用。設(shè) 為n個(gè)變量，定義二次型標(biāo)量函數(shù)為：（8）矩陣 P P 的符號(hào)性質(zhì)定義如下：設(shè)P P 為 實(shí)對(duì)

13、稱方陣， 為由P P 所決定的二次型函數(shù)。3希爾維斯特判據(jù)設(shè)實(shí)對(duì)陣矩陣： 由此可見(jiàn)，矩陣P P 的符號(hào)性質(zhì)與由其所決定的二次型函數(shù) 的符號(hào)性質(zhì)完全一致。因此，要判別 的符號(hào)只要判別P P 的符號(hào)即可。而后者可由P的特征值（正定的充要條件為全為正實(shí)）或希爾維斯特(Sylvester)判據(jù)進(jìn)行判定。（9）為其各階順序主子行列式：（10）矩陣 定號(hào)性的充要條件是：4.3.2 幾個(gè)穩(wěn)定性判據(jù)用李雅普諾夫第二法分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，可概括為以下幾個(gè)穩(wěn)定性判據(jù)。平衡狀態(tài)為。 設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：（11）如果存在一個(gè)標(biāo)量函數(shù) ，它滿足：2) 是正定的，即當(dāng) 。 3) 沿狀態(tài)軌跡方向計(jì)算的時(shí)間導(dǎo)數(shù) 分別滿足下列條

14、件： 若 為半負(fù)定，那么平衡狀態(tài) 為在李雅普諾夫意義下穩(wěn)定。此稱穩(wěn)定判據(jù)。 若 為負(fù)定；或者雖然 為半負(fù)定但對(duì)任意初始狀態(tài) 來(lái)說(shuō)，除去 外，對(duì) 不恒為零。那么原點(diǎn)平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的（個(gè)別點(diǎn)與特定曲面相切）。如果進(jìn)一步還 ，則系統(tǒng)是大范圍漸近穩(wěn)定的。此稱漸近穩(wěn)定判據(jù)。1) 對(duì)所有z都具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)。若 為正定，那么平衡狀態(tài) 是不穩(wěn)定的。此稱不穩(wěn)定判據(jù)。例例4 4- -4 4：分析下列系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。：分析下列系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。)()(22212122221121xxxxxxxxxx解：解：0 xfx),(t0, 021eexx0ex選?。哼x?。?221)(xxVx0正定正定 0

15、)(222)(222212211xxxxxxVx負(fù)定負(fù)定)(,xxV0ex大范圍（一致）漸近穩(wěn)定大范圍（一致）漸近穩(wěn)定2221)(xxVx0)(2)(22221xxVx幾何意義：幾何意義：)(xV表示系統(tǒng)狀態(tài)表示系統(tǒng)狀態(tài) 到空間原點(diǎn)的距離。到空間原點(diǎn)的距離。x)(xV表示狀態(tài)表示狀態(tài) 趨向原點(diǎn)的速度。趨向原點(diǎn)的速度。x2 22 2取取V( (x)=)=x1 1 + +x2 2x1 1x2 2x1 1x2 2()0,0Vxx()0,0VxxV增大的方向增大的方向例例4-5 4-5 選取不同的李雅普諾夫函數(shù)確定是否為漸近穩(wěn)定選取不同的李雅普諾夫函數(shù)確定是否為漸近穩(wěn)定例例4-6 4-6 閉環(huán)結(jié)構(gòu)不穩(wěn)

16、定系統(tǒng)的李雅普諾夫方法分析：李雅普閉環(huán)結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系統(tǒng)的李雅普諾夫方法分析：李雅普諾夫意義的穩(wěn)定，但在經(jīng)典控制理論中不穩(wěn)定。諾夫意義的穩(wěn)定，但在經(jīng)典控制理論中不穩(wěn)定。例例4-7 4-7 局部穩(wěn)定的情況。局部穩(wěn)定的情況。例例4-8 4-8 不穩(wěn)定的情況。不穩(wěn)定的情況。4.3.3 對(duì)李雅普諾夫函數(shù)的討論 1) 是滿足穩(wěn)定性判據(jù)條件的一個(gè)正定的標(biāo)量函數(shù)，且對(duì)x應(yīng)具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)。 2)對(duì)于一個(gè)給定系統(tǒng)，如果 是可找到的，那么通常是非唯一的，但這并不影響結(jié)論的一致性。3) 的最簡(jiǎn)單形式是二次型函數(shù)：P為實(shí)對(duì)稱方陣，其元素可以定常，也可以時(shí)變；且不一定是二次型。4)如果 為二次型，且可表示為： 6)由

17、于構(gòu)造 函數(shù)需要較多技巧，因此，李雅普諾夫第二法主要用于確定那些使用別的方法無(wú)效或難以判別其穩(wěn)定性的問(wèn)題。例如高階的非線性系統(tǒng)或時(shí)變系統(tǒng)。 5) 函數(shù)只表示系統(tǒng)在平衡狀態(tài)附近某鄰域內(nèi)局部運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定情況，絲毫不能提供域外運(yùn)動(dòng)的任何信息。V(x）=Ck表示以空間原點(diǎn)為中心的超球面。V(x）則代表狀態(tài)變量離開(kāi)原點(diǎn)的距離。 V(x）對(duì)時(shí)間的偏導(dǎo)則表明了系統(tǒng)相對(duì)于原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度。（12）4.4 李雅普諾夫方法在線性系統(tǒng)中的應(yīng)用4.4.1 線性定常連續(xù)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定判據(jù)設(shè)線性定常連續(xù)系統(tǒng)為： 則平衡狀態(tài) 為大范圍漸近穩(wěn)定的充要條件是：A的特征根均具有負(fù)實(shí)部。（1）0PAPAT命題：命題：如果A的特征根均具有

18、負(fù)實(shí)部，則存在對(duì)稱矩陣P，使得設(shè)線性定常連續(xù)系統(tǒng)設(shè)線性定常連續(xù)系統(tǒng)選取選取正定正定二次型二次型函數(shù)為函數(shù)為李雅普諾夫函數(shù)李雅普諾夫函數(shù)Axx 0 ,)0(0txx0A原點(diǎn)是唯一的平衡狀態(tài)原點(diǎn)是唯一的平衡狀態(tài)PxxxTV)(xPxPxxxTTV)(PAxxPxAxTTTxPAPAxTTAxPxPxAxTTQxxxTV)(令令QPAPAT線性定常連續(xù)系統(tǒng)線性定常連續(xù)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定漸近穩(wěn)定給定給定0P存在存在0Q滿足滿足李雅普諾夫矩陣代數(shù)方程李雅普諾夫矩陣代數(shù)方程QPAPAT線性定常連續(xù)系統(tǒng)線性定常連續(xù)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定漸近穩(wěn)定QPAPAT給定給定0P存在存在0Q滿足滿足李雅普諾夫矩陣代數(shù)方程李雅普諾夫矩陣

19、代數(shù)方程判別步驟：判別步驟：(2)(2)求解求解QPAPAT(1)(1)選取選取 為為正定正定實(shí)實(shí)對(duì)稱對(duì)稱矩陣（對(duì)角陣或單位陣）；矩陣（對(duì)角陣或單位陣）；Q(3)(3)若若P P為為正定正定實(shí)實(shí)對(duì)稱對(duì)稱矩陣，則系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。矩陣，則系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。若若 可選取可選取 為為正半定正半定實(shí)實(shí)對(duì)稱對(duì)稱矩陣矩陣Q0)( 0,xxV例：機(jī)械位移系統(tǒng)例：機(jī)械位移系統(tǒng) 狀態(tài)方程狀態(tài)方程21221xmxmkxxx)(),(txtx22121211ppppP21211110 xxxx解法一解法一 選取選取IQ 設(shè)設(shè)QPAPAT1001111011102212121122121211pppppppp15 . 05

20、. 05 . 1PP P正定，故系統(tǒng)平衡狀態(tài)正定，故系統(tǒng)平衡狀態(tài) 狀態(tài)空間原點(diǎn)狀態(tài)空間原點(diǎn)漸近穩(wěn)定漸近穩(wěn)定。22121211ppppP解法二解法二 選取選取1000Q設(shè)設(shè)QPAPAT1000111011102212121122121211pppppppp5 . 0005 . 0PP P正定，故系統(tǒng)平衡狀態(tài)正定，故系統(tǒng)平衡狀態(tài) 狀態(tài)空間原點(diǎn)狀態(tài)空間原點(diǎn)漸近穩(wěn)定漸近穩(wěn)定。負(fù)半定，且不恒為零負(fù)半定，且不恒為零PxxxTV)(QxxxTV)(222121xx 正定正定22x同一個(gè)系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)選擇同一個(gè)系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)選擇不唯一不唯一。例例4-94-9；例例4-104-10解法原理類似。解法

21、原理類似。4.4 李雅普諾夫方法在線性系統(tǒng)中的應(yīng)用4.4.2 * 線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定判據(jù)設(shè)線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程為：（2） 則系統(tǒng)在平衡點(diǎn) 處大范圍漸近穩(wěn)定的充要條件為：對(duì)于任意給定的連續(xù)對(duì)稱正定矩陣 ，必存在一個(gè)連續(xù)對(duì)稱正定矩陣 ，滿足：（3）而系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)為：（4）證明 設(shè)李雅普諾夫函數(shù)取為：式中， 為連續(xù)的正定對(duì)稱矩陣。取V（x,t）對(duì)時(shí)間的全導(dǎo)數(shù)，得：即（5）式中 由穩(wěn)定性判據(jù)可知，當(dāng) 為正定對(duì)稱矩陣時(shí)，若 也是一個(gè)正定對(duì)稱矩陣，則 是負(fù)定的，于是系統(tǒng)的平衡點(diǎn)便是漸近穩(wěn)定的。 式(3)是黎卡提黎卡提(Riccati)(Riccati)矩陣微分方程矩陣微分方程的特殊情況，其解為：特別地，當(dāng)取 時(shí)，則得： 式中， 為系統(tǒng)式(2)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣； 為矩陣微分方程式(3)的初始條件。（6）（7） 式(7)表明，當(dāng)選取正定矩陣 時(shí)，可由函 計(jì)算出 ；再根據(jù) 是否具有連續(xù)、對(duì)稱、正定性來(lái)判別線性時(shí)變系統(tǒng)的穩(wěn)定性。4.4.3 線性定常離散時(shí)間系統(tǒng)漸近穩(wěn)定判據(jù)設(shè)線性定常離散時(shí)間系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：（8）4.4.4 線性時(shí)變離散系統(tǒng)漸近穩(wěn)定判據(jù)設(shè)線性時(shí)變離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：（9） 則平衡狀態(tài) 為大范圍漸近穩(wěn)定的充要條件是，對(duì)于任意給定的正定實(shí)對(duì)稱矩陣 ，必存在一個(gè)正定的實(shí)對(duì)稱矩陣 ，使得： 則平衡狀