微積分下冊總復習-文檔資料

1、1總總 復復 習習21 1、多元函數(shù)的定義、極限及連續(xù)性、多元函數(shù)的定義、極限及連續(xù)性確定極限確定極限不存在不存在的方法的方法(1)(1)此時即可斷言極限不存在。此時即可斷言極限不存在。找兩種不同趨近方式找兩種不同趨近方式, ,但兩者不相等但兩者不相等, ,),(lim00yxfyyxx使使存在存在, ,第七章第七章 多元函數(shù)微分學多元函數(shù)微分學32 2、偏導數(shù)與、偏導數(shù)與全微分全微分 )(0,0yxxzxyxfyxxfx ),(),(lim00000),(yxfz 0000),(),(lim0 xxyxfyxfxx ),0()( oyBxAz),(),(0000yxfyyxxfz zd22)

2、()(yx 0dPzdyyxfdxyxfyx),(),(0000 yyzxxzPP 004處處在在點點),(),(000yxPyxfz 可可 微微 連連 續(xù)續(xù)偏導數(shù)連續(xù)偏導數(shù)連續(xù)偏導存在偏導存在5處可微的步驟：處可微的步驟：在在判定判定),(),(00yxyxfz 是是否否存存在在，、判判定定),(),()1(0000yxfyxfyx若不存在，則不可微，若不存在，則不可微， 否則轉下一步；否則轉下一步；，是是否否為為判判定定0),(),(lim)2(00000 yyxfxyxfzyx 若為若為0 0，則可微，則可微， 否則不可微。否則不可微。63 3、復合函數(shù)求導法、復合函數(shù)求導法),(vuf

3、z 則復合函數(shù)則復合函數(shù)),(),(yxyxfz uvxzy xzuz xu vz xv yzuz yu vz yv ),(),(yxvyxu 及及7(1) 一個方程情形一個方程情形(二元方程、三元方程二元方程、三元方程)4 4、隱函數(shù)的求導法隱函數(shù)的求導法隱函數(shù)存在定理隱函數(shù)存在定理1 1),(yxF),(00yxP設設的某一鄰域內滿足的某一鄰域內滿足: :在點在點, 0),()3(00 yxFy則方程則方程; 0),()2(00 yxF),(xyy ),(00 xyy 的某一鄰域內的某一鄰域內并有并有),(),(ddyxFyxFxyyx (1) 具有連續(xù)偏導數(shù)具有連續(xù)偏導數(shù);0),( yx

4、F),(00yxP它它滿足滿足條件條件在點在點恒能恒能唯一唯一確定一個確定一個連續(xù)且具有連續(xù)導數(shù)連續(xù)且具有連續(xù)導數(shù)的函數(shù)的函數(shù)89(2) 方程組情形方程組情形隱函數(shù)的個數(shù)隱函數(shù)的個數(shù)=方程的個數(shù)方程的個數(shù)隱函數(shù)的自變量個數(shù)隱函數(shù)的自變量個數(shù)=總自變量個數(shù)總自變量個數(shù) 方程的個數(shù)方程的個數(shù)105. 多元函數(shù)微分學的幾何應用多元函數(shù)微分學的幾何應用(1) 空間曲線的切線與法平面空間曲線的切線與法平面(三種情形三種情形)(2) 空間曲面的切平面與法線空間曲面的切平面與法線(三種情形三種情形)6. 方向導數(shù)與梯度方向導數(shù)與梯度00000(P)(P )lim.PPPPPP Plfffl與 同向方向導數(shù)方

5、向導數(shù)梯度梯度., adrg00PyxPfff.|)(00llgradflfPPcos)( cos)( 00PfPfyx*11方向導數(shù)與梯度的關系方向導數(shù)與梯度的關系函數(shù)沿梯度方向的方向導數(shù)最大函數(shù)沿梯度方向的方向導數(shù)最大(即增長最即增長最快快)，且方向導數(shù)的最大值為梯度的模。，且方向導數(shù)的最大值為梯度的模。7. 多元函數(shù)的極值與最值多元函數(shù)的極值與最值(1) 極值的必要條件極值的必要條件極值的充分條件極值的充分條件(2) 求條件極值的方法求條件極值的方法代入法，代入法，Lagrange乘數(shù)法乘數(shù)法, 0),(00 yxfx. 0),(00 yxfy),(),(),(yxyxfyxL *12(

6、3) 求最值的方法求最值的方法1. 求求D內所有的駐點和不可導點；內所有的駐點和不可導點；2. 用求條件極值的方法用求條件極值的方法(Lagrange乘數(shù)法或乘數(shù)法或代入法代入法)求求D的邊界上的條件極值點；的邊界上的條件極值點；3. 求求D的邊界的邊界點；的邊界的邊界點；4. 計算上面三步求出的所有點的函數(shù)值，最計算上面三步求出的所有點的函數(shù)值，最大者即為大者即為D上的最大值，最小者即為最小值。上的最大值，最小者即為最小值。13 1. 理解二重積分、三重積分的概念理解二重積分、三重積分的概念,第八章第八章 重積分重積分2. 掌握二重積分的計算法掌握二重積分的計算法(直角坐標、極直角坐標、極

7、3. 會用重積分求一些幾何量與物理量會用重積分求一些幾何量與物理量.了解了解重積分的性質重積分的性質.了解三重積分的計算法（直角坐標、了解三重積分的計算法（直角坐標、坐標坐標)，柱面坐標、球面坐標柱面坐標、球面坐標).14其中其中 iiniiDfyxfI ),(limd),(10二重積分二重積分是各小閉區(qū)域的直徑中的最大值是各小閉區(qū)域的直徑中的最大值.幾何意義幾何意義二重積分二重積分I表示以表示以D為底為底,柱體的體積柱體的體積.z =f (x, y)為曲頂為曲頂, 側面是側面是定義定義1.平面上有界閉區(qū)域平面上有界閉區(qū)域D上二元有界函數(shù)上二元有界函數(shù)z = f (x, y)的二重積分的二重積

8、分2.當連續(xù)函數(shù)當連續(xù)函數(shù),0),(時時 yxfz以以D的邊界為準線的邊界為準線,母線平行于母線平行于z軸的柱面的軸的柱面的曲頂曲頂一般情形一般情形, Dyxf d),(xOy平面上方的曲頂柱體體積平面上方的曲頂柱體體積減減xOy平面下方的曲頂柱體體積平面下方的曲頂柱體體積.15物理意義物理意義3.若平面薄片占有平面內有界閉區(qū)域若平面薄片占有平面內有界閉區(qū)域D,),(yx 則它的質量則它的質量M為為:它的面它的面密度為連續(xù)函數(shù)密度為連續(xù)函數(shù).d),( DyxM 性質性質1(線性運算性質線性運算性質)為常數(shù)為常數(shù), 則則(重積分與定積分有類似的性質重積分與定積分有類似的性質) Dyxgyxf d

9、),(),( 、設設 DDyxgyxf d),(d),(4 4、二重積分的性質二重積分的性質16性質性質2 將區(qū)域將區(qū)域D分為兩個子域分為兩個子域 Dyxf d),()(21DDD 對積分區(qū)域的可加性質對積分區(qū)域的可加性質. 1d),(Dyxf 2d),(Dyxf ,21DD以以1為高的為高的 性質性質3(幾何應用幾何應用) 若若 為為D的面積的面積 注注 D d既可看成是以既可看成是以D為底為底,柱體體積柱體體積. D d1 D d又可看成是又可看成是D的面積的面積.17 Dyxf d),(特殊地特殊地性質性質4(4(比較性質比較性質) ),(),(yxgyxf 設設,),(Dyx 則則 D

10、yxg d),( Dyxf d),( Dyxf d),( ( (保序性保序性) ) DMyxfm d),(性質性質5(5(估值性質估值性質) ),),(Myxfm 設設為為D的面積的面積, 則則18性質性質6(6(二重積分中值定理二重積分中值定理) ),( Dyxf d),(體體積等于以體體積等于以D為底為底),( f以以幾何意義幾何意義域域D上連續(xù)上連續(xù),為為D的面積的面積, 則在則在D上至少存在一點上至少存在一點使得使得 ),(f,),( , 0),(Dyxyxf 設設則曲頂柱則曲頂柱 為高的平頂柱體體積為高的平頂柱體體積.設設f (x, y)在閉區(qū)在閉區(qū)19(1)設設f (x, y)在有

11、界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域D上連續(xù)上連續(xù). Dyxyxfdd),(若若D關于關于,dd),(21yxyxfD 則則x軸對稱軸對稱, f (x, y)對對y為奇函數(shù)為奇函數(shù), 即即, 0,),(),(),(Dyxyxfyxf f (x, y)對對y為偶函數(shù)為偶函數(shù), 即即,),(),(),(Dyxyxfyxf 則則 Dyxyxfdd),(其中其中;01 yDD5 5、對稱區(qū)域上奇偶函數(shù)的積分性質、對稱區(qū)域上奇偶函數(shù)的積分性質20(2)設設f (x, y)在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域D上連續(xù)上連續(xù). Dyxyxfdd),(若若D關于關于,dd),(21yxyxfD 則則 y軸對稱軸對稱, f (x, y)對

12、對x為奇函數(shù)為奇函數(shù), 即即, 0,),(),(),(Dyxyxfyxf f (x, y)對對x為偶函數(shù)為偶函數(shù), 即即,),(),(),(Dyxyxfyxf 則則 Dyxyxfdd),(其中其中;01 xDD21),()(,),( 21xyxbxayxD 其中函數(shù)其中函數(shù) 、)(1x )(2x b)(2xy )(1xy aD在區(qū)間在區(qū)間a, b上連續(xù)上連續(xù).(1) 直角坐標系直角坐標系xOy Dyxf d),( baxxyyxfx)()(21d),(d 先對先對y 后對后對x的二次積分的二次積分6、二重積分計算、二重積分計算22),()(,),( 21yxydycyxD 其中函數(shù)其中函數(shù) 、

13、)(1y )(2y 在區(qū)間在區(qū)間c, d上連續(xù)上連續(xù). Dyxf d),( dcyyxyxfy)()(21d),(d 先對先對x 后對后對y的二次積分的二次積分.xOyD)(2yx cd)(1yx 23交換積分次序的步驟交換積分次序的步驟 (1) 利用已給的二次積分的積分限得出利用已給的二次積分的積分限得出相應的二重積分的積分區(qū)域相應的二重積分的積分區(qū)域,(2) 按相反順序寫出相應的二次積分按相反順序寫出相應的二次積分.并畫出草圖并畫出草圖;24 Dyxf d),( ddrr極坐標系中的面積元素極坐標系中的面積元素 Drrrrf dd)sin,cos(2) 極坐標系極坐標系 )(1 r)(2

14、rOAD)()(,),( 21 ryxD其中函數(shù)其中函數(shù).,)()(21上上連連續(xù)續(xù)在在區(qū)區(qū)間間、 d )(2)(1;d)sin,cos( rrrrf25D;d)sin,cos(d)(0 rrrrf Dyxf d),(AO )( r)(0 ,),( ryxD其中函數(shù)其中函數(shù).,)(上上連連續(xù)續(xù)在在區(qū)區(qū)間間 26 )(020d)sin,cos(d rrrrf極坐標系極坐標系下區(qū)域的下區(qū)域的面積面積.dd Drr DoA)( r)(0 ,20),( ryxD Dyxf d),(其中函數(shù)其中函數(shù).,)(上上連連續(xù)續(xù)在在區(qū)區(qū)間間 272、三重積分的幾何意義、三重積分的幾何意義表示空間區(qū)域的體積表示空間

15、區(qū)域的體積時時當當 Vdvzyxf,1),(3 3、三重積分的性質、三重積分的性質類似于二重積分的性質類似于二重積分的性質1 1、三重積分的定義、三重積分的定義三重積分三重積分28三重積分三重積分vzyxfd),(0為為f的的偶偶函函數(shù)數(shù)z對稱性質對稱性質),(),(zyxfzyxf 則稱則稱f關于變量關于變量z的的奇奇 函數(shù)函數(shù). vzyxfd),(則則 ,坐標面對稱坐標面對稱xOy關于關于的的奇奇函函數(shù)數(shù)z為為f21 若若域域xOy在在為為其其中中 1坐標面的上半部區(qū)域坐標面的上半部區(qū)域.),(),(zyxfzyxf (偶偶)29vzyxfd),(0為為f的偶函數(shù)x vzyxfd),(則則

16、 ,坐標面對稱yOz關于關于的奇函數(shù)x為為f21 若若域域yOz在為其中1坐標面的前半部區(qū)域坐標面的前半部區(qū)域.三重積分三重積分30vzyxfd),(0為為f的偶函數(shù)y vzyxfd),(則則 ,坐標面對稱zOx關于關于的奇函數(shù)y為為f21 若若域域zOx在為其中1坐標面的右半部區(qū)域坐標面的右半部區(qū)域.三重積分三重積分314 4、三重積分的計算、三重積分的計算.);()();,(),(:2121bxaxyyxyyxzzyxz .),(),()()(),(),(2121 baxyxyyxzyxzdzzyxfdydxdvzyxf.,),( ),(21czcDyxzyxz .),(),(21 zDc

17、cdxdyzyxfdzdvzyxf() 直角坐標直角坐標32 .,sin,coszzryrx () 柱面坐標柱面坐標.),sin,cos(),( dzrdrdzrrfdvzyxf ,dzrdrddv 21( , )( , )( cos , sin , ) dzzf rrz r z 21( )( )drrr d 注注通常是通常是先積先積再積再積后積后積r、z. 33 .cos,sinsin,cossin rzryrx,sin2 ddrdrdv dxdydzzyxf),( .sin)cos,sinsin,cossin(2 ddrdrrrrf() 球面坐標球面坐標通常是通常是注注、先先積積r、再再積

18、積 . 后積后積345 5、二重積分的應用、二重積分的應用(1) 體積體積的的體體積積為為之之間間直直柱柱體體與與區(qū)區(qū)域域在在曲曲面面Dyxfz),( DdxdyyxfV.),(設設S曲面的方程為：曲面的方程為：).,(yxfz 曲面曲面S的面積為的面積為 ;122dxdyAxyDyzxz (2) 曲面面積曲面面積35當薄片是均勻的，重心稱為形心當薄片是均勻的，重心稱為形心.,1 DxdAx .1 DydAy DdA 其中其中,),(),( DDdyxdyxxx .),(),( DDdyxdyxyy 設設有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的閉閉區(qū)區(qū)域域D，在在點點),(yx處處

19、的的面面密密度度為為),(yx ，假假定定),(yx 在在D上上連連續(xù)續(xù)，平平面面薄薄片片的的重重心心為為(3) 重心重心36薄片對于薄片對于x軸的轉動慣量軸的轉動慣量薄片對于薄片對于y軸的轉動慣量軸的轉動慣量,),(2 DxdyxyI .),(2 DydyxxI 設設有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的閉閉區(qū)區(qū)域域D，在在點點),(yx處處的的面面密密度度為為),(yx ，假假定定),(yx 在在D上上連連續(xù)續(xù)，平平面面薄薄片片對對于于x軸軸和和y軸軸的的轉轉動動慣慣量量為為(4) 轉動慣量轉動慣量37薄片對薄片對軸上單位質點的引力軸上單位質點的引力z 設有一平面薄片，占有設

20、有一平面薄片，占有xoy面上的閉區(qū)域面上的閉區(qū)域D，在點在點),(yx處的面密度為處的面密度為),(yx ，假定，假定),(yx 在在D上連續(xù)，計算該平面薄片對位于上連續(xù)，計算該平面薄片對位于z 軸上的點軸上的點), 0 , 0(0aM處的單位質點的引力處的單位質點的引力)0( a,zyxFFFF ,)(),(23222 dayxxyxfFDx ,)(),(23222 dayxyyxfFDy .)(),(23222 dayxyxafFDz 為引力常數(shù)為引力常數(shù)f(5) 引力引力386 6、三重積分的應用、三重積分的應用. dvM 其其中中,1 dvxMx 設設物物體體占占有有空空間間閉閉區(qū)區(qū)域

21、域 ，在在點點),(zyx處處的的密密度度為為),(zyx ，假假定定),(zyx 在在 上上連連續(xù)續(xù)，則則該該物物體體的的重重心心為為() 重心重心,1 dvyMy .1 dvzMz 39,2 dvzIxy ( () ) 轉動慣量轉動慣量 設設物物體體占占有有空空間間閉閉區(qū)區(qū)域域 ，在在點點),(zyx處處的的密密度度為為),(zyx ，假假定定),(zyx 在在 上上連連續(xù)續(xù)，則則該該物物體體對對坐坐標標面面,坐坐標標軸軸及及原原點點的的轉轉動動慣慣量量為為,2 dvxIyz ,2 dvyIzx ,)(22 dvzyIx ,)(22 dvxzIy ,)(22 dvyxIz .)(222 d

22、vzyxIo 40第九章第九章 曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分曲線積分的性質及兩類曲線積分的關系曲線積分的性質及兩類曲線積分的關系.2. 會計算兩類曲線積分會計算兩類曲線積分.曲線積分與路徑無關的條件曲線積分與路徑無關的條件.1. 理解兩類曲線積分的概念理解兩類曲線積分的概念,了解兩類了解兩類3. 掌握格林掌握格林(Green)公式公式, 會使用平面會使用平面41(Gauss) 、5.了解散度、旋度的概念及其計算了解散度、旋度的概念及其計算6. 會用曲線積分、會用曲線積分、4. 了解兩類曲面積分的概念及高斯了解兩類曲面積分的概念及高斯并會并會計算兩類曲面積分計算兩類曲面積分.斯托克斯斯托

23、克斯(Stokes)公式公式,方法方法.曲面積分求一些曲面積分求一些幾何量與物理量幾何量與物理量.42 曲曲 線線 積積 分分第一類曲線積分第一類曲線積分第二類曲線積分第二類曲線積分定定義義 niiiiLsfdsyxf10),(lim),( LdyyxQdxyxP),(),(),(),(lim10iiiniiiiyQxP 聯(lián)聯(lián)系系dsQPQdyPdxLL)coscos( 計計算算 dtfdsyxfL22,),(三代一定三代一定)( dtQPQdyPdxL),(),(二代一定二代一定 (與方向有關與方向有關)43格林公式格林公式44與路徑無關的四個等價命題與路徑無關的四個等價命題條條件件在單連通

24、開區(qū)域在單連通開區(qū)域D上上),(),(yxQyxP具有具有連續(xù)的一階偏導數(shù)連續(xù)的一階偏導數(shù), ,則以下四個命題成立則以下四個命題成立. . LQdyPdxD與與路路徑徑無無關關內內在在)1( CDCQdyPdx閉閉曲曲線線, 0)2(QdyPdxduyxUD 使使內存在內存在在在),()3(xQyPD ,)4(內內在在等等價價命命題題45思路思路 LyQxPIddxQyP xQyP 0dd LyQxPI ),(),(00ddyxyxyQxPI閉合閉合非閉非閉閉合閉合非閉非閉補充曲線或用公式補充曲線或用公式第二類曲線積分第二類曲線積分的計算法的計算法 LyyxQxyxPd),(d),( Dyxy

25、PxQIdd)(46 如果曲面方程為以下三種：如果曲面方程為以下三種：第一類曲面積分 曲面積分曲面積分;1),(,22dxdyzzyxzyxfxyDyx dSzyxf),(),(:)1yxzz 若若曲曲面面則則;1),(,22dxdzyyzzxyxfxzDzx dSzyxf),(則則),(:)2zxyy 若若曲曲面面47.1,),(22dydzxxzyzyxfyzDzy dSzyxf),(),()3zyxx ：若若曲曲面面則則48第二類曲面積分),(:)1yxzz 若若曲曲面面yxRQdzdxPdydzddPdxdyQ)(yz)(xzR其中符號當其中符號當取上側時為正，下側時為負。取上側時為正

26、，下側時為負。xyD),(:)2zxyy 若若曲曲面面yxRQdzdxPdydzddP)(xyQdzdxR)(zy其中符號當其中符號當取右側時為正，左側時為負。取右側時為正，左側時為負。zxD49),()3zyxx ：若若曲曲面面yxRQdzdxPdydzdd)(yxPdydzQR)(zxyzD其中符號當其中符號當取前側時為正，后側時為負。取前側時為正，后側時為負。注意注意: :對坐標的曲面積分對坐標的曲面積分, ,必須注意曲面所取的側必須注意曲面所取的側. .50yxRxzQzyPddddddSRQPdcoscoscos兩類關系0(cos, cos, cos )n51高斯公式高斯公式dSRQ

27、PdvzRyQxP)coscoscos()( 或或52設向量場設向量場P, Q, R, 在域在域G內有一階內有一階 連續(xù)連續(xù) 偏導數(shù)偏導數(shù), 則則 向量場通過有向曲面向量場通過有向曲面 的通量為的通量為 ),(RQPASnAd2. 通量與散度通量與散度 G 內任意點處的內任意點處的散度散度為為 zRyQxPAdiv53斯托克斯斯托克斯(stokes)(stokes)公式公式斯托克斯公式斯托克斯公式54yozx斯托克斯斯托克斯( Stokes ) 公式公式 nRQPzyxyxxzzyddddddzRyQxPddd SRQPzyxdcoscoscos552. 2. 旋度旋度. )(ArotRQPz

28、yxkji為為向向量量場場的的旋旋度度稱稱向向量量 .)()()(kyPxQjxRzPizQyR 56第二類曲面積分的計算法第二類曲面積分的計算法1. 利用利用Gauss公式公式)1(vzRyQxPd)( yxRxzQzyPdddddd 閉曲面閉曲面具有具有則則取取其其中中 外側外側. .在在若若RQP,中中所圍成的空間域所圍成的空間域 一階連續(xù)偏導數(shù)一階連續(xù)偏導數(shù), ,)2(,比較復雜比較復雜非閉而非閉而若若RQP 在在RQP,后后加加面面 )(為閉為閉 中中所構成的空間域所構成的空間域 具有具有一階連續(xù)偏導數(shù)一階連續(xù)偏導數(shù), ,則則 I 572. yxRxzQzyPIdddddd面投影面投

29、影在在將將xOy ),(yxfz 的的方方程程為為設設曲曲面面 xyD yxRzQzPyxdd)()(上側為正，下側為負。上側為正，下側為負。58常數(shù)項級數(shù)常數(shù)項級數(shù)函數(shù)項級數(shù)函數(shù)項級數(shù)交錯級 數(shù) 正正項項級級數(shù)數(shù)冪級數(shù)冪級數(shù)三角級數(shù)三角級數(shù)收收斂斂半半徑徑R R泰勒展開式泰勒展開式數(shù)或函數(shù)數(shù)或函數(shù)函函 數(shù)數(shù)數(shù)數(shù)任任意意項項級級數(shù)數(shù)傅氏展開式傅氏展開式傅氏級數(shù)傅氏級數(shù)泰勒級數(shù)泰勒級數(shù)0)(xR為常數(shù)為常數(shù)nu)(xuunn為為函函數(shù)數(shù)滿足狄滿足狄 氏條件氏條件0 xx 取取在收斂在收斂 級數(shù)與數(shù)級數(shù)與數(shù)條件下條件下 相互轉化相互轉化 1nnu第十章第十章 無窮級數(shù)無窮級數(shù)59定義定義0,1 n

30、nnuu.有有界界部部分分和和所所成成的的數(shù)數(shù)列列正正項項級級數(shù)數(shù)收收斂斂ns1 1、正項級數(shù)及其審斂法、正項級數(shù)及其審斂法審斂法審斂法(1) (1) 比較審斂法比較審斂法若若 1nnu收斂收斂( (發(fā)散發(fā)散) )且且)(nnnnvuuv , ,則則 1nnv收收斂斂( (發(fā)發(fā)散散) ). .60(2) (2) 比較審斂法的極限形式比較審斂法的極限形式設設 1nnu與與 1nnv都是正項級數(shù)都是正項級數(shù),如果如果lvunnn lim,則則(1) 當當 l0時時,二級數(shù)有相同的斂散性二級數(shù)有相同的斂散性; (2) 當當0 l時，若時，若 1nnv收斂收斂,則則 1nnu收斂收斂; (3) 當當

31、l時時, 若若 1nnv發(fā)散發(fā)散,則則 1nnu發(fā)散發(fā)散;61設設 1nnu是是正正項項級級數(shù)數(shù),如如果果)(lim1 數(shù)數(shù)或或nnnuu則則1 時級數(shù)收斂時級數(shù)收斂;1 時級數(shù)發(fā)散時級數(shù)發(fā)散; 1 時失效時失效.設設 1nnu是正項級數(shù)是正項級數(shù), ,如果如果 nnnulim)( 為數(shù)或為數(shù)或 , ,則則1 時時級級數(shù)數(shù)收收斂斂; ; 1 時時級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散; ;1 時時失失效效. .62定義定義 正正 、負項相間的級數(shù)稱為交錯級數(shù)、負項相間的級數(shù)稱為交錯級數(shù). . nnnnnnuu 111)1()1(或或萊萊布布尼尼茨茨定定理理 如如果果交交錯錯級級數(shù)數(shù)滿滿足足條條件件: :( () )

32、, 3 , 2 , 1(1 nuunn; ;( () )0lim nnu, ,則則級級數(shù)數(shù)收收斂斂, ,且且其其和和1us , ,其其余余 項項nr的的絕絕對對值值1 nnur. .)0( nu其其中中2 2、交錯級數(shù)及其審斂法、交錯級數(shù)及其審斂法63定義定義 正項和負項任意出現(xiàn)的級數(shù)稱為任意項級數(shù)正項和負項任意出現(xiàn)的級數(shù)稱為任意項級數(shù).定定理理 若若 1nnu收收斂斂,則則 1nnu收收斂斂.定定義義: :若若 1nnu收收斂斂, , 則則稱稱 0nnu為為絕絕對對收收斂斂; ;若若 1nnu發(fā)發(fā)散散, ,而而 1nnu收收斂斂, , 則則稱稱 1nnu為為條條件件收收斂斂. .3 3、任意

33、項級數(shù)及其審斂法、任意項級數(shù)及其審斂法644 4、函數(shù)項級數(shù)、函數(shù)項級數(shù)(1) (1) 定義定義設設),(,),(),(21xuxuxun是定義在是定義在RI 上上的函數(shù)的函數(shù), ,則則 )()()(211xuxuxunn稱為定義在區(qū)間稱為定義在區(qū)間I上的上的( (函數(shù)項函數(shù)項) )無窮級數(shù)無窮級數(shù). .(2) (2) 收斂點與收斂域收斂點與收斂域如如果果Ix 0,數(shù)數(shù)項項級級數(shù)數(shù) 10)(nnxu收收斂斂,65則稱則稱0 x為級數(shù)為級數(shù))(1xunn 的的收斂點收斂點, ,否則稱為否則稱為發(fā)散點發(fā)散點. .所有發(fā)散點的全體稱為所有發(fā)散點的全體稱為發(fā)散域發(fā)散域. .函函數(shù)數(shù)項項級級數(shù)數(shù))(1x

34、unn 的的所所有有收收斂斂點點的的全全體體稱稱為為收收斂斂域域, ,(3) (3) 和函數(shù)和函數(shù)在收斂域上在收斂域上, ,函數(shù)項級數(shù)的和是函數(shù)項級數(shù)的和是x的函數(shù)的函數(shù))(xs, ,稱稱)(xs為函數(shù)項級數(shù)的為函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù)和函數(shù). .66(1) (1) 定義定義形形如如nnnxxa)(00 的的級級數(shù)數(shù)稱稱為為冪冪級級數(shù)數(shù).,00時時當當 x其其中中na為為冪冪級級數(shù)數(shù)系系數(shù)數(shù).5 5、冪級數(shù)、冪級數(shù)nnnxa 067如如果果級級數(shù)數(shù) 0nnnxa在在0 xx 處處發(fā)發(fā)散散, ,則則它它在在滿滿足足不不等等式式0 xx 的的一一切切x處處發(fā)發(fā)散散. .定理定理 1 (1 (AbelAb

35、el 定理定理) )如如果果級級數(shù)數(shù) 0nnnxa在在)0(00 xxx處處收收斂斂, ,則則它它在在滿滿足足不不等等式式0 xx 的的一一切切x處處絕絕對對收收斂斂; ;(2) (2) 收斂性收斂性68如如果果冪冪級級數(shù)數(shù) 0nnnxa不不是是僅僅在在0 x一一點點收收斂斂, ,也也不不是是在在整整個個數(shù)數(shù)軸軸上上都都收收斂斂, ,則則必必有有一一個個完完全全確確定定的的正正數(shù)數(shù)R存存在在, ,它它具具有有下下列列性性質質: :當當Rx 時時, ,冪冪級級數(shù)數(shù)絕絕對對收收斂斂; ;當當Rx 時時,冪冪級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散;當當RxRx 與與時時, ,冪級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散冪級數(shù)可能收斂也可能發(fā)

36、散. .推論推論69定義定義: : 正數(shù)正數(shù)R稱為冪級數(shù)的稱為冪級數(shù)的收斂半徑收斂半徑.冪級數(shù)的收斂域稱為冪級數(shù)的冪級數(shù)的收斂域稱為冪級數(shù)的收斂區(qū)間收斂區(qū)間.定定理理 2 2 如如果果冪冪級級數(shù)數(shù) 0nnnxa的的所所有有系系數(shù)數(shù)0 na,設設 nnnaa1lim (或或 nnnalim)(1) 則則當當0 時時, 1R;(3) 當當 時時,0 R.(2) 當當0 時時, R;70a.a.代數(shù)運算性質代數(shù)運算性質: : 加減法加減法 00nnnnnnxbxa.0 nnnxc(其中其中 21,minRRR )nnnbac RRx, ,2100RRxbxannnnnn和和的收斂半徑各為的收斂半徑各

37、為和和設設 (3)(3)冪級數(shù)的運算冪級數(shù)的運算71乘法乘法)()(00 nnnnnnxbxa.0 nnnxc RRx, (其中其中)0110bababacnnnn 除法除法 00nnnnnnxbxa.0 nnnxc)0(0 nnnxb收斂域內收斂域內72b.b.和函數(shù)的分析運算性質和函數(shù)的分析運算性質: : 冪級數(shù)冪級數(shù) 0nnnxa的和函數(shù)的和函數(shù))(xs在收斂區(qū)間在收斂區(qū)間),(RR 內連續(xù)內連續(xù),在端點收斂在端點收斂,則在端點單側連續(xù)則在端點單側連續(xù). 冪級數(shù)冪級數(shù) 0nnnxa的和函數(shù)的和函數(shù))(xs在收斂區(qū)間在收斂區(qū)間),(RR 內可積內可積,且對且對),(RRx 可逐項積分可逐項

38、積分. 冪級數(shù)冪級數(shù) 0nnnxa的和函數(shù)的和函數(shù))(xs在收斂區(qū)間在收斂區(qū)間),(RR 內可導內可導, 并可逐項求導任意次并可逐項求導任意次.73 如果如果)(xf在點在點0 x處任意階可導處任意階可導,則冪級數(shù)則冪級數(shù)nnnxxnxf)(!)(000)( 稱為稱為)(xf在點在點0 x的的泰勒級數(shù)泰勒級數(shù).nnnxnf 0)(!)0(稱為稱為)(xf在點在點0 x的的麥克勞林級數(shù)麥克勞林級數(shù).(4) 冪級數(shù)展開式冪級數(shù)展開式74定理定理 )(xf在點在點0 x的泰勒級數(shù)的泰勒級數(shù), ,在在)(0 xU 內收內收斂于斂于)(xf在在)(0 xU 內內0)(lim xRnn. .充要條件充要條

39、件唯一性唯一性定理定理 如果函數(shù)如果函數(shù))(xf在在)(0 xU 內內能能展開成展開成)(0 xx 的冪級數(shù)的冪級數(shù), , 即即 nnnxxaxf)()(00 , ,則其系數(shù)則其系數(shù) ), 2 , 1 , 0()(!10)( nxfnann且展開式是唯一的且展開式是唯一的. .75展開方法展開方法a.a.直接法直接法( (泰勒級數(shù)法泰勒級數(shù)法) )步驟步驟:;!)()1(0)(nxfann 求求,)(0lim)2()(MxfRnnn 或或討討論論).(xf斂斂于于則則級級數(shù)數(shù)在在收收斂斂區(qū)區(qū)間間內內收收b.b.間接法間接法 根據(jù)唯一性根據(jù)唯一性, 利用常見展開式利用常見展開式, 通過通過變量代

40、換變量代換, 四則運算四則運算, 恒等變形恒等變形, 逐項求導逐項求導, 逐項積逐項積分分等方法等方法,求展開式求展開式.76),(!1! 2112 xxnxxenx )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn),( x )!2()1(! 41! 211cos242nxxxxnn),( x常見函數(shù)展開式常見函數(shù)展開式77)1 , 1( x nxnnxxx!)1()1(! 2)1(1)1(2 )1ln(x nxxxxnn 132)1(31211 , 1( x78應用應用a.a.近似計算近似計算b.b.歐拉公式歐拉公式,sincosxixeix ,2cosititeet ,2s

41、inieetitit 79(1) (1) 三角函數(shù)系三角函數(shù)系,sin,cos,2sin,2cos,sin,cos, 1nxnxxxxx.,上的積分等于零上的積分等于零任意兩個不同函數(shù)在任意兩個不同函數(shù)在正交性正交性 , 0cos nxdx, 0sin nxdx三角函數(shù)系三角函數(shù)系6 6、傅里葉級數(shù)、傅里葉級數(shù)), 2 , 1( n其中其中80 nmnmnxdxmx, 0sinsin nmnmnxdxmx, 0coscos0cossin nxdxmx), 2 , 1,( nm其其中中(2) (2) 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù) 10)sincos(2nnnnxbnxaa定義定義三角級數(shù)三角級數(shù)81其中

42、其中 ), 2 , 1(,sin)(1), 2 , 1 , 0(,cos)(1nnxdxxfbnnxdxxfann稱為傅里葉級數(shù)稱為傅里葉級數(shù). 10)sincos(2nnnnxbnxaa82(3) (3) 狄利克雷狄利克雷(Dirichlet)(Dirichlet)充分條件充分條件( (收斂定理收斂定理) ) 設設)(xf是是以以 2為為周周期期的的周周期期函函數(shù)數(shù).如如果果它它滿滿足足條條件件:在在一一個個周周期期內內連連續(xù)續(xù)或或只只有有有有限限個個第第一一類類間間斷斷點點,并并且且至至多多只只有有有有限限個個極極值值點點,則則)(xf的的傅傅里里葉葉級級數(shù)數(shù)收收斂斂,并并且且(1) 當當

43、x是是)(xf的的連連續(xù)續(xù)點點時時,級級數(shù)數(shù)收收斂斂于于)(xf;(2) 當當x是是)(xf的間斷點時的間斷點時, 收斂于收斂于2)0()0( xfxf;(3) 當當x為為端端點點 x時時,收收斂斂于于2)0()0( ff.83 如如果果)(xf為為奇奇函函數(shù)數(shù), 傅傅氏氏級級數(shù)數(shù)nxbnnsin1 稱稱為為正正弦弦級級數(shù)數(shù).(4) (4) 正弦級數(shù)與余弦級數(shù)正弦級數(shù)與余弦級數(shù) 當當周周期期為為 2的的奇奇函函數(shù)數(shù))(xf展展開開成成傅傅里里葉葉 級級數(shù)數(shù)時時,它它的的傅傅里里葉葉系系數(shù)數(shù)為為 ), 2 , 1(sin)(2), 2 , 1 , 0(00 nnxdxxfbnann84 當周期為

44、當周期為 2的偶函數(shù)的偶函數(shù))(xf展開成傅里葉級數(shù)展開成傅里葉級數(shù)時時,它的傅里葉系數(shù)為它的傅里葉系數(shù)為), 2 , 1(0), 2 , 1 , 0(cos)(20 nbnnxdxxfann 如如果果)(xf為為偶偶函函數(shù)數(shù), 傅傅氏氏級級數(shù)數(shù)nxaanncos210 稱稱為為余余弦弦級級數(shù)數(shù).85奇延拓奇延拓: 0)(000)()(xxfxxxfxF令令的傅氏正弦級數(shù)的傅氏正弦級數(shù))(xf.sin)(1 nnnxbxf)0( x(5) (5) 周期的延拓周期的延拓86偶延拓偶延拓: 0)(0)()(xxfxxfxF令令的傅氏余弦級數(shù)的傅氏余弦級數(shù))(xf 10cos2)(nnnxaaxf)

45、0( x87式為式為則它的傅里葉級數(shù)展開則它的傅里葉級數(shù)展開的條件的條件滿足收斂定理滿足收斂定理的周期函數(shù)的周期函數(shù)設周期為設周期為,)(2xfl),sincos(2)(10lxnblxnaaxfnnn 式式的周期函數(shù)的傅氏展開的周期函數(shù)的傅氏展開周期為周期為 l 2)6(), 2 , 1 , 0(,cos)(1 ndxlxnxflalln), 2 , 1(,sin)(1 ndxlxnxflblln88第十一章第十一章 微分方程微分方程一階微分方程一階微分方程 可分離變量方程可分離變量方程齊次方程齊次方程 (可化為齊次方程可化為齊次方程的方程的方程)一階線性微分方程一階線性微分方程2. 可降階

46、的高階微分方程可降階的高階微分方程Bernoulli方程方程 全微分方程全微分方程).,(),(),()(yyfyyxfyxfyn 和和4. 常系數(shù)線性微分方程常系數(shù)線性微分方程 (齊次，非齊次齊次，非齊次)3.線性微分方程解的結構線性微分方程解的結構891 1、基本概念、基本概念微分方程微分方程凡含有未知函數(shù)的導數(shù)或微分的方程凡含有未知函數(shù)的導數(shù)或微分的方程叫微分方程叫微分方程微分方程的階微分方程的階微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導數(shù)的階數(shù)稱為微分方程的階高階導數(shù)的階數(shù)稱為微分方程的階微分方程的解微分方程的解代入微分方程能使方程成為恒等代入微分方程能使方程成為恒

47、等式的函數(shù)稱為微分方程的解式的函數(shù)稱為微分方程的解 90通解通解如果如果微分方程的解中含有任意常數(shù)，并且微分方程的解中含有任意常數(shù)，并且任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同，這樣的任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同，這樣的解叫做微分方程的通解解叫做微分方程的通解特解特解確定了通解中的任意常數(shù)以后得到的解，確定了通解中的任意常數(shù)以后得到的解，叫做微分方程的特解叫做微分方程的特解初始條件初始條件用來確定任意常數(shù)的條件用來確定任意常數(shù)的條件.初值問題初值問題求微分方程滿足初始條件的解的問題，求微分方程滿足初始條件的解的問題，叫初值問題叫初值問題91dxxfdyyg)()( 形形如如(1) 可分離變量的

48、微分方程可分離變量的微分方程解法解法 dxxfdyyg)()(分離變量法分離變量法2 2、一階微分方程的解法、一階微分方程的解法)(xyfdxdy 形如形如(2) 齊次方程齊次方程解法解法xyu 作變量代換作變量代換92)(111cybxacbyaxfdxdy 形如形如齊次方程齊次方程,01時時當當 cc00,xuxyvy令，否則為非齊次方程否則為非齊次方程(3) 可化為齊次的方程可化為齊次的方程解法解法化為齊次方程化為齊次方程是兩直線是兩直線00111cybxacbyax的交點的交點00(,)xy93)()(xQyxPdxdy 形形如如(4) 一階線性微分方程一階線性微分方程, 0)( xQ

49、當當上方程稱為齊次的上方程稱為齊次的上方程稱為非齊次的上方程稱為非齊次的., 0)( xQ當當齊次方程的通解為齊次方程的通解為.)( dxxPCey（使用分離變量法）（使用分離變量法）解法解法非齊次微分方程的通解為非齊次微分方程的通解為 dxxPdxxPeCdxexQy)()()(（使用常數(shù)變易法）（使用常數(shù)變易法）94(5) 伯努利伯努利(Bernoulli)方程方程nyxQyxPdxdy)()( 形如形如)1 , 0( n方程為線性微分方程方程為線性微分方程.時時，當當1 , 0 n 方程為非線性微分方程方程為非線性微分方程.時時，當當1 , 0 n解法解法 需經(jīng)過變量代換化為線性微分方程

50、需經(jīng)過變量代換化為線性微分方程,1 nyz 令令. )1)()()1()()1(1 cdxenxQezydxxPndxxPnn95xQyP 全全微微分分方方程程解法解法應用曲線積分與路徑無關應用曲線積分與路徑無關. yyxxdyyxQxdyxPyxu00),(),(),(0,),(),(000 xdyxPdyyxQxxyy .),(cyxu 用直接湊用直接湊全微分的方法全微分的方法.通解為通解為0),(),( dyyxQdxyxP其中其中dyyxQdxyxPyxdu),(),(),( 形如形如(6) 全微分方程全微分方程 用不定積分用不定積分的方法的方法.96(7) 可化為全微分方程可化為全微

51、分方程).(xQyP 非全微分方程非全微分方程0),(),( dyyxQdxyxP形如形如 若若0),( yx 連連續(xù)續(xù)可可微微函函數(shù)數(shù)，且且可可使使方方程程0),(),(),(),( dyyxQyxdxyxPyx 成成為為全全微微分分方方程程.則則稱稱),(yx 為為方方程程的的積積分分因因子子.觀察法觀察法: :熟記常見函數(shù)的全微分表達式，通熟記常見函數(shù)的全微分表達式，通過觀察直接找出積分因子過觀察直接找出積分因子97常見的全微分表達式常見的全微分表達式 222yxdydyxdx xydxydxxdy2 xyarctgdyxydxxdy22 xydxyydxxdyln )ln(212222yxdyxydyxdx yxyxdyxydxxdyln2122可選用積分因子可選用積分因子.,1,1,1,12222222等等xyyxyxyxxyx 983 3、可降階的高階微分方程的解法、可降階的高階微分方程的解法解法解法),(xPy 令令特點特點. y不不顯顯含含未未知知函函數(shù)數(shù)),()2(yxfy 型型)()1()(xfyn 接連積分接連積分n次，得通解次，得通解 型型解法解法代入原方程代入原方程, 得得).(,(xPxfP ,Py 99( ),yP y 令特點特點.x不顯含自變量不顯含自變量),()3(yyfy 型型解法