《工程水文學(xué)》(第4版)第6章 水文統(tǒng)計

1、工程水文學(xué)工程水文學(xué) (Engineering Hydrology)安徽水電學(xué)院水文與水資源專業(yè)教研室安徽水電學(xué)院水文與水資源專業(yè)教研室二二一五年二月一日一五年二月一日二二一五年二月一日一五年二月一日一、概述 （1 1）水文現(xiàn)象）水文現(xiàn)象 水文現(xiàn)象水文現(xiàn)象是一種自然現(xiàn)象，它具有必然性的一面，也具有偶然性的一面。 必然現(xiàn)象必然現(xiàn)象是指在一定條件下事物在發(fā)展、變化中必然會出現(xiàn)的現(xiàn)象。 偶然現(xiàn)象偶然現(xiàn)象是指在一定條件下事物在發(fā)展、變化中有可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的現(xiàn)象，或稱隨機現(xiàn)象隨機現(xiàn)象。 （2 2）水文統(tǒng)計的任務(wù)）水文統(tǒng)計的任務(wù) 統(tǒng)計學(xué)的任務(wù)統(tǒng)計學(xué)的任務(wù)就是要從偶然現(xiàn)象中揭露事物的規(guī)律。這種規(guī)律需要

2、從大量的隨機現(xiàn)象中統(tǒng)計出來，稱為統(tǒng)計規(guī)律統(tǒng)計規(guī)律。 研究隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律的學(xué)科稱為概率論概率論，而由隨機現(xiàn)象的一部分試驗資料區(qū)研究總體現(xiàn)象的數(shù)字特征和規(guī)律的學(xué)科稱為數(shù)理統(tǒng)計學(xué)數(shù)理統(tǒng)計學(xué)。 水文統(tǒng)計的任務(wù)水文統(tǒng)計的任務(wù)就是研究和分析水文隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計變化特性，并以此為基礎(chǔ)對水文現(xiàn)象未來可能的長期變化做出在概率意義上的定量預(yù)估，以滿足工程規(guī)劃、設(shè)計、施工以及運營期間的需要。河流湖泊必然現(xiàn)象融雪融雪偶然現(xiàn)象二、概率的基本概念 1 1、事件、事件 在概率論中，對隨機現(xiàn)象的觀測或觀察叫做隨機試驗隨機試驗，隨機試驗的結(jié)果稱為事件事件。事件分為以下三種： （1）必然事件必然事件。在每次試驗中一定會出現(xiàn)的事件

3、。 （2）不可能事件不可能事件。在任何一次試驗中都不會出現(xiàn)的事件。 （3）隨機事件隨機事件。在一次隨機試驗中，可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的事件。隨機事件常用A，B，C，表示，簡稱為事件事件。 2 2、概率、概率 一定條件下，隨機事件在試驗中可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)，但不同隨機事件其出現(xiàn)的可能性大小可能不相同。為了了解隨機事件出現(xiàn)的可能性大小，必須要有一個數(shù)量標(biāo)準(zhǔn)，這個數(shù)量標(biāo)準(zhǔn)就是隨機事件的概率概率。計算公式如下： 上式只適用于古典型隨機試驗古典型隨機試驗，即試驗的所有可能結(jié)果都是等可能的，且試驗可能結(jié)果的總數(shù)是有限的。nkAP)(二、概率的基本概念 3 3、頻率、頻率 設(shè)隨機事件A在重復(fù)n次試驗中出現(xiàn)了

4、m次，則稱P(A)為事件A在n次試驗中出現(xiàn)的頻率頻率。 對于水文現(xiàn)象，可以將頻率作為概率的近似值將頻率作為概率的近似值。 4 4、概率加法定理和乘法定理、概率加法定理和乘法定理 對于A和B兩個事件，若A與B不能同時發(fā)生，則稱A與B為互斥事件互斥事件。如果兩個事件彼此互斥，則兩個事件之和出現(xiàn)的概率等于這兩個事件的概率之和，即 對于任意兩個事件A和B，則有 若A 、B是隨機試驗S的兩個事件，在事件A發(fā)生的前提下，事件B發(fā)生的概率稱為事件B在條件A下事件的條件概率條件概率，記作P(B|A)。由此推證，兩事件積的概率等于其中一事件的概率乘以另一事件在已知前一事件發(fā)生條件下的條件概率，即)()()(BP

5、APBAPnmAP)()(-)()()(ABPBPAPBAP二、概率的基本概念 如果兩個事件是相互獨立的，即任一事件的發(fā)生不影響另一事件發(fā)生的概率。那么兩個獨立事件獨立事件共同出現(xiàn)的概率P（AB）等于這些事件各自出現(xiàn)概率的乘積，即 0)(),()()(0)(),()()(BPBAPBPABPAPABPAPABP)()()(BPAPABP三、隨機變量及其概率分布 1、隨機變量、隨機變量 隨機變量隨機變量是指在隨機試驗中測量到的數(shù)量。水文現(xiàn)象中的隨機變量一般是指某種水文特征值，如年徑流、洪峰流量等。 隨機變量分為兩大類：離散型隨機變量和連續(xù)型隨機變量。 （1）離散型隨機變量離散型隨機變量，是指隨機

6、變量僅能取得有限個數(shù)值或可列的有限個數(shù)值。 （2）連續(xù)型隨機變量連續(xù)型隨機變量，是指隨機變量可以取得一個有限連續(xù)區(qū)間或無限連續(xù)區(qū)間的任何數(shù)值。)()(xXPxF三、隨機變量及其概率分布 2、隨機變量的概率分布 隨機變量的概率分布隨機變量的概率分布是指隨機變量的取值與其概率之間的對應(yīng)關(guān)系。 對于離散型隨機變量離散型隨機變量，其概率分布一般以分布列分布列表示，即Xx1x2xmP(X=xm)p1p2pm 其中，pm為隨機變量X取值xm(m=1，2，)的概率。它滿足下列兩個條件： （1）pm0(m=1，2，) （2） 對于連續(xù)型隨機變量連續(xù)型隨機變量，無法研究個別值的概率，只能研究某個區(qū)間的概率。水文

7、學(xué)習(xí)慣研究事件Xx的概率及其分布。 事件Xx的概率P(Xx)隨著隨機變量取值x而變化，所以P(Xx)是x的函數(shù)，這個函數(shù)稱為隨機變量隨機變量X的分布函數(shù)的分布函數(shù)，記為F(x)，即11mmpdxxdFxFxf)()()()()(xXPxF三、隨機變量及其概率分布 F(x)代表隨機變量X大于或等于某一取值x的概率。該分布函數(shù)用幾何圖形表示出來，如下圖所示，在數(shù)學(xué)上稱此為隨機變量的概率分布曲線隨機變量的概率分布曲線，在水文上通常稱為隨機變量的累積頻率曲線隨機變量的累積頻率曲線，簡稱頻率曲線頻率曲線。 上式中，f(x)為分布函數(shù)導(dǎo)數(shù)的負值，刻劃了密度的性質(zhì)，叫做概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)，或簡稱密度函

8、數(shù)密度函數(shù)。密度函數(shù)f(x)的幾何曲線稱為密密度曲線度曲線。實際上，分布函數(shù)和密度函數(shù)是微分與積分的關(guān)系，即xdxxfxXPxF)()()(【實例】P136三、隨機變量及其概率分布 2、隨機變量的統(tǒng)計參數(shù) 隨機變量的統(tǒng)計參數(shù)隨機變量的統(tǒng)計參數(shù)是指能說明隨機變量的統(tǒng)計規(guī)律的某些數(shù)字特征的量值。 統(tǒng)計參數(shù)有總體統(tǒng)計參數(shù)總體統(tǒng)計參數(shù)與樣本統(tǒng)計參數(shù)樣本統(tǒng)計參數(shù)。所謂總體總體是某隨機變量所有取值的全體，樣本樣本則是從總體中任意抽取的一個部分，樣本中所包括的項數(shù)則稱為樣本容樣本容量量。在水文計算中，常用的樣本統(tǒng)計參數(shù)有： （1 1）均值）均值 設(shè)某水文變量的觀測系列（樣本）為x1，x2，xn，則其均值為

9、均值表示系列的平均情況，可以說明這一系列總水平的高低。 niinxnnxxxx1211三、隨機變量及其概率分布（2 2）均方差（標(biāo)準(zhǔn)差）均方差（標(biāo)準(zhǔn)差） 均方差反映隨機變量系列在均值兩側(cè)絕對離散的程度。 計算公式如下：nxxnii12)(均方差對密度曲線的影響：均方差對密度曲線的影響：均方差愈大，系列愈離散；反之，愈集中。三、隨機變量及其概率分布 （3 3）變差系數(shù)（離差系數(shù)、離勢系數(shù)）變差系數(shù)（離差系數(shù)、離勢系數(shù)） 數(shù)理統(tǒng)計中，用均方差與均值之比作為衡量系列相對離散程度的一個參數(shù)，它是一個無因次的數(shù)，用小數(shù)表示，其計算公式為 稱模比系數(shù),其中,)1(12xxKnKxCiiniiv均方差對密度

10、曲線的影響：均方差對密度曲線的影響：變差系數(shù)愈大，系列愈離散；反之，愈集中。三、隨機變量及其概率分布 （4 4）偏態(tài)系數(shù)）偏態(tài)系數(shù) 在水文統(tǒng)計中，主要采用偏態(tài)系數(shù)作為衡量系列不對稱程度（偏態(tài)）的參數(shù)，它也是一個無因次的量，其計算公式為313313313)1()()(vniiniiniisnCKnxxnxxC【注意】對于總體統(tǒng)計參數(shù)，通常用EX或E(X)表示均值（或稱數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望），而離勢系數(shù)及偏態(tài)系數(shù)仍用Cv和Cs表示。三、隨機變量及其概率分布 （5 5）原點矩）原點矩 隨機變量X對原點離差的r次冪的數(shù)學(xué)期望E(X)，稱為隨機變量X的r階原點矩，以符號mr表示，即)(11XEmniirir

11、rPxXEm1)(niiPXEm1001)(對離散型隨機變量，r階原點矩為-)()(dxxfxXEmrrr),2 ,1 ,0(),(nrXEmrr對連續(xù)型隨機變量，r階原點矩為 當(dāng)r=0時， ，即零階原點矩就是隨機變量所有可能取值的概率之和，其值等于1。 當(dāng)r=1時， ，即一階原點矩就是數(shù)學(xué)期望，也就是算術(shù)平均值。三、隨機變量及其概率分布 （6 6）中心矩）中心矩 隨機變量X對分布中心E(X)離差的r次冪的數(shù)學(xué)期望EX-E(X)r，稱為隨機變量X的r階中心矩，以符號r表示，即niirirrpXExXEXE1)()(對離散型隨機變量，r階中心矩為-)()()(dxxfXEXXEXErrrrrXE

12、XE)(對連續(xù)型隨機變量，r階中心矩為 顯然，當(dāng)r=0時，0 =1；當(dāng)r=1時，1=0；當(dāng)r=2時，2=2；當(dāng)r=3時，Cs=3/ 3。四、水文頻率計算 1 1、分布線型、分布線型 水文頻率計算的兩個基本內(nèi)容包括分布線型分布線型和參數(shù)估計參數(shù)估計。 連續(xù)型隨機變量的分布是以概率密度曲線概率密度曲線和分布曲線分布曲線來表示的，我國水文計算中常用的有正態(tài)分布、皮爾遜型分布及對數(shù)正態(tài)分布等。 （1）正態(tài)分布）正態(tài)分布 正態(tài)分布的密度函數(shù)及密度曲線的特點如下：)(21)(222)(xexfax 正態(tài)分布的密度曲線有以下三個特點： 1）單峰； 2）關(guān)于均值a對稱，即Cs =0。 3）曲線兩端趨于無限，并

13、以x軸為漸近線。正態(tài)分布在水文上的應(yīng)用頻率格紙的橫坐標(biāo)橫坐標(biāo)：兩端稀疏，中間密集四、水文頻率計算 （2 2）皮爾遜皮爾遜型分布（型分布（P-P-型型 分布分布） P-型曲線是一條一端有限一端無限的不對稱單峰正偏曲線一端有限一端無限的不對稱單峰正偏曲線，如下圖所示，數(shù)學(xué)上稱為伽馬分布，其概率密度函數(shù)為)21(24)()()(02)(100svsvsxCCEXCEXCCexxf 式中，()為的伽馬函數(shù)伽馬函數(shù)；、0的為P-型分布的形狀形狀、尺度尺度和位位置置參數(shù)， 0、0，且三個參數(shù)與總體的三個參數(shù)Ex、Cv、Cs具有如上關(guān)系。四、水文頻率計算 （2 2）皮爾遜皮爾遜型分布（型分布（P-P-型型

14、分布分布） 水文計算中，一般需求出指定頻率p所對應(yīng)的隨機變量xp，這要通過對密度曲線進行積分，求出等于或大于xp的累積頻率p值，即vEXCEXxpxxpdxexxxPP)(100)()()(dEXCdxCEXxvvp)1(令dCfPpsp),()(則有簡化后得到公式 已知P，求xp? 直接利用上式求解比較困難，引入中間變量 ， 是標(biāo)準(zhǔn)化變量，稱為離均系數(shù)離均系數(shù)， 的均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1。已知已知P和和Cs，查附錄，查附錄1得到得到p，計算，計算xp。【應(yīng)用舉例】【應(yīng)用舉例】 已知某地多年平均降雨量1000mm，Cv=0.5、 Cs=1.0。若降雨量分布符合P-型，試求頻率P=1%的年降雨量為

15、多少?解：由Cs=1.0，P=1%，查附錄1得 p=3.02龍門水文站年最大洪峰流量理論頻率曲線龍門水文站年最大洪峰流量理論頻率曲線【應(yīng)用舉例】 已知P、Cv、Cs、均值，求xp？ 利用P-型分布，查表計算，繪制理論頻率曲線如下四、水文頻率計算 2 2、參數(shù)估計、參數(shù)估計 用有限的樣本觀測資料去估計總體分布線型中的參數(shù)，稱為參數(shù)估計參數(shù)估計。參數(shù)估計的方法主要有：矩法、概率權(quán)重矩法、線性矩法、權(quán)函數(shù)法及適線法。 （1）矩法估計）矩法估計 矩法是用樣本矩估計總體矩，并通過矩和參數(shù)之間的關(guān)系，來估計頻率曲線參數(shù)的一種方法。矩法估算樣本參數(shù)的無偏估計量公式如下：3133132)3()1()1()2)

16、(1(vniivniisCnKnCKnnnC稱模比系數(shù),其中,1-)1(12xxKnKxsCiiniivniixnx11niixxns12)(11 隨機變量所取數(shù)值的全體稱為總體總體，從總體中任意抽取的一部分稱為樣本樣本，樣本中所包括的項數(shù)稱為樣本容量樣本容量。水文變量的總體水文變量的總體是指自古迄今以至未來的水文系列，現(xiàn)有的水文觀測的系列可以當(dāng)作總體的一個樣本。 用一個樣本的統(tǒng)計參數(shù)來估計總體的統(tǒng)計參數(shù)是存在誤差的，稱之為抽樣誤差抽樣誤差。這種誤差是由于從總體中隨機抽取的樣本與總體有差異而引起的。 樣本抽樣誤差的均方值稱為均方誤均方誤，是衡量抽樣誤差的大小的常用指標(biāo)。皮爾遜型分布參數(shù)矩法估計

17、的均方誤公式如下：）165231(6243212431242222SSCsSVSvvCvsXCCnCCCcnCcnn 由表中可見，當(dāng)n100時，CS的誤差在40126%之間。 水文資料一般都很短（n100），按矩法公式算得的CS值，抽樣誤差太大。四、水文頻率計算 （2）適線法）適線法 根據(jù)估計的頻率分布曲線和樣本經(jīng)驗點據(jù)分布配合最佳來優(yōu)選參數(shù)的方法叫做適線法適線法（亦叫配線法），包括傳統(tǒng)傳統(tǒng)目估適線法目估適線法、計算機優(yōu)化適線法計算機優(yōu)化適線法。 1）經(jīng)驗頻率曲線 水文計算中習(xí)慣把由實測資料（樣本）所繪制的頻率曲線稱為經(jīng)驗頻率曲經(jīng)驗頻率曲線線，而把由數(shù)學(xué)方程式所表示，符合經(jīng)驗點據(jù)分布規(guī)律的頻率

18、曲線稱為理論頻理論頻率曲線率曲線。四、水文頻率計算1）（nmxXPm 2）經(jīng)驗頻率 經(jīng)驗頻率經(jīng)驗頻率是指將實測水文變量資料按遞減次序排列，并以自然數(shù)順序編序號，然后依次利用一定的公式（如期望公式）計算系列中各項的頻率，即稱為經(jīng)驗頻率。 我國水利水電工程設(shè)計洪水規(guī)范中規(guī)定采用的經(jīng)驗頻率計算公式采用期望公式期望公式，公式如下【應(yīng)用舉例】【應(yīng)用舉例】 已知某水文站24年最大洪峰流量實測資料，繪制其經(jīng)驗頻率曲線，并求10年一遇的設(shè)計洪水。某站某站24年的最大洪峰流量經(jīng)驗頻率曲線年的最大洪峰流量經(jīng)驗頻率曲線解: 由第（3）欄最大洪峰流量及對應(yīng)的第（4）欄經(jīng)驗頻率， 繪制經(jīng)驗頻率曲線如下四、水文頻率計算

19、頻率比較抽象，為便于理解，常采用重現(xiàn)期。所謂重現(xiàn)期重現(xiàn)期是指在許多試驗中，某一事件重復(fù)出現(xiàn)的時間間隔的平均數(shù)，即平均的重現(xiàn)間隔期。在工程水文計算中，重現(xiàn)期用字母 T 表示，一般以年為單位，它是頻率的倒數(shù)。頻率與重現(xiàn)期的關(guān)系有兩種表示方法如下： 當(dāng)研究暴雨洪水暴雨洪水時，一般P 50%，采用PT1 所謂百年一遇的暴雨或洪水百年一遇的暴雨或洪水是指大于或等于這樣的暴雨或洪水在長時期內(nèi)平均100年發(fā)生一次，而不能認為每隔100年必然遇上一次。PT11四、水文頻率計算3）目估適線法 目估適線法估計頻率曲線參數(shù)的基本步驟目估適線法估計頻率曲線參數(shù)的基本步驟四、水文頻率計算 3）目估適線法 目估適線法估計

20、頻率曲線參數(shù)的具體步驟如下：目估適線法估計頻率曲線參數(shù)的具體步驟如下： 1將實測資料由大到小排列，用期望公式期望公式計算各項的經(jīng)驗頻率經(jīng)驗頻率，在頻率格紙上點繪經(jīng)驗點據(jù)（縱坐標(biāo)為變量的取值，橫坐標(biāo)為對應(yīng)的經(jīng)驗頻率），繪制經(jīng)驗經(jīng)驗頻率曲線頻率曲線。 2選定水文頻率分布線型（一般選用皮爾遜皮爾遜型型）。 3假定一組參數(shù)x、Cv和Cs。假定值可用矩法矩法求出三個參數(shù)的值，作為第一次的假定值。由于Cs的抽樣誤差比較大，而根據(jù)經(jīng)驗假定假定CsCs為為CvCv的某一倍數(shù)的某一倍數(shù)。 4根據(jù)初估的參數(shù)值，查附錄查附錄1 1，計算xp值。以xp為縱坐標(biāo)，P為橫坐標(biāo)，即可得到理論頻率曲線理論頻率曲線。將此線畫在

21、繪有經(jīng)驗點據(jù)的圖上，看與經(jīng)驗點據(jù)配合的情況，若不理想，則修改參數(shù)（主要是調(diào)整主要是調(diào)整CvCv和和CsCs），再次進行計算。 5 最后根據(jù)理論頻率曲線與經(jīng)驗點據(jù)的配合情況，從中選擇一條與經(jīng)驗點據(jù)配合比較好的曲線作為采用曲線。相應(yīng)于該曲線的參數(shù)便看作是總體參數(shù)的估相應(yīng)于該曲線的參數(shù)便看作是總體參數(shù)的估值。值。四、水文頻率計算（1 1）均值）均值EXEX對頻率曲線的影響。對頻率曲線的影響。 Cv和Cs不變時，均值大的頻率曲線位于均值小的頻率曲線之上； 均值大的頻率曲線比均值小的頻率曲線陡。統(tǒng)計參數(shù)對頻率曲線的影響統(tǒng)計參數(shù)對頻率曲線的影響（2 2）變差系數(shù)）變差系數(shù)CvCv對頻率曲線的影響。對頻率曲

22、線的影響。 在均值、Cs一定時，Cv越大，理論頻率曲線越陡。 更正：更正：Cv=0.2【應(yīng)用實例】【應(yīng)用實例】 P150 （3 3）偏態(tài)系數(shù)）偏態(tài)系數(shù)CsCs對頻率曲線的影響。對頻率曲線的影響。 在均值、Cv值一定的情況下，隨著Cs的增大，理論頻率曲線的上段變陡，中段曲率變大，下段變平緩。 【應(yīng)用舉例】【應(yīng)用舉例】 某站共有實測降水量資料某站共有實測降水量資料2424年，見下表。年，見下表。 求：頻率求：頻率P=10%P=10%和和P=90%P=90%的年降水量。的年降水量。 計算步驟如下：計算步驟如下： 1 1、將原始資料按大小次序排列，列入表（、將原始資料按大小次序排列，列入表（4 4）欄

23、；）欄； 2 2、計算經(jīng)驗頻率、計算經(jīng)驗頻率P Pm m =m/(n+1) =m/(n+1) 列入表（列入表（5 5）欄）欄, ,并與并與x xm m 對對應(yīng)點繪于概率格紙上；應(yīng)點繪于概率格紙上；某某站站年年降降水水量量頻頻率率計計算算表表3 3、用矩法計算系列的多年平均降水量和離差系數(shù)；、用矩法計算系列的多年平均降水量和離差系數(shù)；mmxnxni4 .666241599351123.04.666)124/(708165)(1112xxxnCniiv 4 4、選定、選定C CV V0.250.25，假，假定定C CS S0.500.50。查表得。查表得P P，求得求得 根據(jù)表中（根據(jù)表中（1 1

24、）、）、（3 3）兩欄的對應(yīng)數(shù)值點）兩欄的對應(yīng)數(shù)值點繪曲線，發(fā)現(xiàn)曲線頭部和繪曲線，發(fā)現(xiàn)曲線頭部和尾部都偏于經(jīng)驗頻率點據(jù)尾部都偏于經(jīng)驗頻率點據(jù)之下。之下。)1(vppCxx 5 5、改變參數(shù)，選定、改變參數(shù)，選定C CV V0.300.30，C CS S0.750.75，查表，查表計算出各計算出各x xP P值。值。 繪制頻率曲線，該線繪制頻率曲線，該線與經(jīng)驗點據(jù)配合較好，取與經(jīng)驗點據(jù)配合較好，取為最后采用的頻率曲線。為最后采用的頻率曲線。P P10% 10% = 933mm = 933mm P P90% 90% = = 433mm433mm【應(yīng)用實例【應(yīng)用實例3 3】 已知某樞紐實測24年的年

25、最大洪峰流量資料列于下表第(1)、(2)欄。試根據(jù)該資料用矩法初選參數(shù)配線，并推求千年一遇的洪峰流量。解：（1）點繪經(jīng)驗頻率曲線（3）選配理論頻率曲線（2）計算樣本系列的統(tǒng)計參數(shù)繪出相應(yīng)的理論頻率曲線，如下圖調(diào)整參數(shù)，第二次配線再次調(diào)整參數(shù)，第三次配線 第三次配線結(jié)果見下圖，P-型理論曲線與經(jīng)驗頻率點配合較好，故選取第三次配線所得結(jié)果為設(shè)計洪峰流量計算依據(jù)。（4）推求設(shè)計洪峰流量 T=1000年，P=0.1%，查圖或第三次配線表，得出相應(yīng)洪峰流量為Qm設(shè) =18404m/s。五、相關(guān)分析 成因聯(lián)系成因聯(lián)系：自然界中有許多現(xiàn)象之間是有一定聯(lián)系的，自然界中有許多現(xiàn)象之間存在相互聯(lián)系和相互制約的關(guān)系

26、，而不是孤立存在的。比如降雨與徑流之間、上下游洪水之間、水位與流量之間等等。 相關(guān)關(guān)系相關(guān)關(guān)系：兩個或多個隨機變量之間存在的相互聯(lián)系。相關(guān)分析相關(guān)分析：采用數(shù)理統(tǒng)計法分析和研究兩個或兩個以上隨機變量之間的相關(guān)關(guān)系的方法。目的意義目的意義：主要用于水文預(yù)報，插補和延長水文資料短系列。相關(guān)分析先決條件相關(guān)分析先決條件：變量間確實存在相關(guān)關(guān)系。 1、相關(guān)分析的概念五、相關(guān)分析 根據(jù)變量之間相互關(guān)系的密切程度，變量之間的關(guān)系有三種情況：完全相關(guān)完全相關(guān)（函數(shù)關(guān)系）、零相關(guān)零相關(guān)（沒有關(guān)系）和相關(guān)關(guān)系相關(guān)關(guān)系。2、相關(guān)的種類Y與與x之間有明確的解析函數(shù)表達式之間有明確的解析函數(shù)表達式兩變量之間毫無聯(lián)系，

27、相互獨立兩變量之間毫無聯(lián)系，相互獨立五、相關(guān)分析2、相關(guān)的種類兩變量之間的關(guān)系介于完全相關(guān)和零相關(guān)之間兩變量之間的關(guān)系介于完全相關(guān)和零相關(guān)之間五、相關(guān)分析 （1）根據(jù)隨機變量的個數(shù)可分為：簡單相關(guān)簡單相關(guān)和復(fù)相關(guān)復(fù)相關(guān)。 （2）根據(jù)隨機變量間的線型可分為：直線相關(guān)直線相關(guān)和曲線相關(guān)曲線相關(guān)。 （3）組合情況：簡單直線相關(guān)簡單直線相關(guān)、簡單曲線相關(guān)簡單曲線相關(guān) 復(fù)直線相關(guān)復(fù)直線相關(guān)、復(fù)曲線相關(guān)復(fù)曲線相關(guān)3、相關(guān)關(guān)系的分類 （1）判定變量間是否存在相關(guān)關(guān)系是否存在相關(guān)關(guān)系及其密切程度密切程度。 （2）建立變量間的回歸方程回歸方程或相關(guān)線相關(guān)線。 （3）根據(jù)自變量的值，預(yù)報或延長、插補預(yù)報或延長、插

28、補倚變量的值，并進行誤差分析誤差分析。4、相關(guān)關(guān)系的內(nèi)容五、相關(guān)分析 （1）繪圖，判斷線型。 （2）計算均值并描點。 （3）過均值點與點群中心畫一直線。 （4）量出截距a和斜率b。 （5）寫出相關(guān)方程：y=a+bx。5、簡單直線相關(guān)相關(guān)圖解法相關(guān)圖解法五、相關(guān)分析 假設(shè)相關(guān)方程：y=a+bx 已知(xi，yi)，利用最小二乘法計算參數(shù)a，b5、簡單直線相關(guān)相關(guān)分析法相關(guān)分析法五、相關(guān)分析5、簡單直線相關(guān)相關(guān)分析法相關(guān)分析法五、相關(guān)分析5、簡單直線相關(guān)相關(guān)分析法相關(guān)分析法6、簡單直線相關(guān)相關(guān)分析的誤差相關(guān)分析的誤差 （1）回歸線誤差回歸線誤差：回歸直線只是對觀測點的一條最佳配合線，并不是所有點據(jù)都在直線上，而是散布在回歸線的兩側(cè)。因此，按此關(guān)系由推求的和實際值之間存在著誤差，誤差大小一般采用均方誤均方誤SySy表示如下：五、相關(guān)分析6、簡單直線相關(guān)相關(guān)分析的誤差相關(guān)分析的誤差 （2）相關(guān)系數(shù)及其誤差相關(guān)系數(shù)及其誤差：用于表示兩個變量之間的相關(guān)密切程度的參數(shù)叫做相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)，用字母r r表示。r0,表示正相關(guān)正相關(guān)；r0,表示負相關(guān)負相關(guān)。相關(guān)系數(shù)的取值范圍為|r|1|r|1。討論如下： 若