高中數(shù)學(xué)步步高大一輪復(fù)習(xí)講義文科選修44坐標(biāo)系與參數(shù)方程

1、選修44坐標(biāo)系與參數(shù)方程1極坐標(biāo)系(1)極坐標(biāo)系的建立：在平面上取一個(gè)定點(diǎn)O，叫做_，從O點(diǎn)引一條射線Ox，叫做_，再選定一個(gè)長(zhǎng)度單位、一個(gè)角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時(shí)針方向)，這樣就確定了一個(gè)極坐標(biāo)系設(shè)M是平面內(nèi)一點(diǎn)，極點(diǎn)O與點(diǎn)M的距離OM叫做點(diǎn)M的_，記為，以極軸Ox為始邊，射線OM為終邊的角叫做點(diǎn)M的極角，記為.有序數(shù)對(duì)(，)叫做點(diǎn)M的極坐標(biāo)，記作M(，)(2)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系：把直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn)，x軸的正半軸作為極軸，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位，設(shè)M是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，它的直角坐標(biāo)是(x，y)，極坐標(biāo)為(，)，則它們之間的關(guān)系為x_，y_.另一種關(guān)系為

2、2_，tan _.2簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程(1)直線的極坐標(biāo)方程 (R)表示過極點(diǎn)且與極軸成角的直線；cos a表示過(a,0)且垂直于極軸的直線；sin b表示過且平行于極軸的直線；sin()1sin(1)表示過(1，1)且與極軸成角的直線方程(2)圓的極坐標(biāo)方程2rcos 表示圓心在(r,0)，半徑為|r|的圓；2rsin 表示圓心在，半徑為|r|的圓；r表示圓心在極點(diǎn)，半徑為|r|的圓3曲線的參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系xOy中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x，y都是某個(gè)變量t的函數(shù)并且對(duì)于t的每一個(gè)允許值上式所確定的點(diǎn)M(x，y)都在這條曲線上，則稱上式為該曲線的_，其中變量t稱為_4一些常見曲

3、線的參數(shù)方程(1)過點(diǎn)P0(x0，y0)，且傾斜角為的直線的參數(shù)方程為_(t為參數(shù))(2)圓的方程(xa)2(yb)2r2的參數(shù)方程為_(為參數(shù))(3)橢圓方程1(a>b>0)的參數(shù)方程為_(為參數(shù))(4)拋物線方程y22px(p>0)的參數(shù)方程為_(t為參數(shù))1在極坐標(biāo)系中，直線sin()2被圓4截得的弦長(zhǎng)為_2極坐標(biāo)方程sin 2cos 能表示的曲線的直角坐標(biāo)方程為_3已知點(diǎn)P(3，m)在以點(diǎn)F為焦點(diǎn)的拋物線(t為參數(shù))上，則PF_.4直線(t為參數(shù))的傾斜角為_5已知曲線C的參數(shù)方程是(t為參數(shù))則點(diǎn)M1(0,1)，M2(5,4)在曲線C上的是_題型一極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的

4、互化例1在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系曲線C的極坐標(biāo)方程為cos()1，M，N分別為C與x軸、y軸的交點(diǎn)(1)寫出C的直角坐標(biāo)方程，并求M、N的極坐標(biāo)； (2)設(shè)MN的中點(diǎn)為P，求直線OP的極坐標(biāo)方程思維升華直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程，只需把公式xcos 及ysin 直接代入并化簡(jiǎn)即可；而極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程要通過變形，構(gòu)造形如cos ，sin ，2的形式，進(jìn)行整體代換其中方程的兩邊同乘以(或同除以)及方程兩邊平方是常用的變形方法但對(duì)方程進(jìn)行變形時(shí)，方程必須保持同解，因此應(yīng)注意對(duì)變形過程的檢驗(yàn)在極坐標(biāo)系中，已知圓2cos 與直線3cos 4sin a0相切

5、，求實(shí)數(shù)a的值題型二參數(shù)方程與普通方程的互化例2已知兩曲線參數(shù)方程分別為(0<)和(tR)，求它們的交點(diǎn)坐標(biāo)思維升華(1)參數(shù)方程化為普通方程常用的消參技巧有代入消元、加減消元、平方后再加減消元等對(duì)于與角有關(guān)的參數(shù)方程，經(jīng)常用到的公式有sin2cos21,1tan2等(2)在將曲線的參數(shù)方程化為普通方程時(shí)，還要注意其中的x，y的取值范圍，即在消去參數(shù)的過程中一定要注意普通方程與參數(shù)方程的等價(jià)性將下列參數(shù)方程化為普通方程(1)(t為參數(shù))；(2)(為參數(shù))題型三極坐標(biāo)、參數(shù)方程的綜合應(yīng)用例3在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系曲線C的極坐標(biāo)方程是4cos

6、，直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù))，M，N分別為曲線C、直線l上的動(dòng)點(diǎn)，求MN的最小值思維升華涉及參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程的綜合題，求解的一般方法是分別化為普通方程和直角坐標(biāo)方程后求解轉(zhuǎn)化后可使問題變得更加直觀，它體現(xiàn)了化歸思想的具體運(yùn)用(2013·遼寧)在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系圓C1，直線C2的極坐標(biāo)方程分別為4sin ，cos2.(1)求C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)；(2)設(shè)P為C1的圓心，Q為C1與C2交點(diǎn)連線的中點(diǎn)已知直線PQ的參數(shù)方程為(tR為參數(shù))，求a，b的值參數(shù)的幾何意義不明致誤典例：(10分)已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，若以直角坐標(biāo)

7、系xOy的O點(diǎn)為極點(diǎn)，Ox方向?yàn)闃O軸，選擇相同的長(zhǎng)度單位建立極坐標(biāo)系，得曲線C的極坐標(biāo)方程為2cos()(1)求直線l的傾斜角；(2)若直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求AB.易錯(cuò)分析不明確直線的參數(shù)方程中的幾何意義導(dǎo)致錯(cuò)誤規(guī)范解答解(1)直線的參數(shù)方程可以化為2分根據(jù)直線參數(shù)方程的意義，直線l經(jīng)過點(diǎn)(0，)，傾斜角為60°.4分(2)直線l的直角坐標(biāo)方程為yx，6分2cos()的直角坐標(biāo)方程為(x)2(y)21，8分所以圓心(，)到直線l的距離d.所以AB.10分溫馨提醒對(duì)于直線的參數(shù)方程(t為參數(shù))來說，要注意t是參數(shù)，而則是直線的傾斜角與此類似，橢圓參數(shù)方程的參數(shù)有特別的幾何意義

8、，它表示離心角方法與技巧1曲線的極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)系的互化思路：對(duì)于簡(jiǎn)單的我們可以直接代入公式cos x，sin y，2x2y2，但有時(shí)需要作適當(dāng)?shù)淖兓?，如將式子的兩邊同時(shí)平方，兩邊同時(shí)乘以等2參數(shù)方程化普通方程常用的消參技巧：代入消元、加減消元、平方后加減消元等，經(jīng)常用到公式：cos2sin21,1tan2.3利用曲線的參數(shù)方程來求解兩曲線間的最值問題非常簡(jiǎn)捷方便，是我們解決這類問題的好方法失誤與防范1極徑是一個(gè)距離，所以0，但有時(shí)可以小于零極角規(guī)定逆時(shí)針方向?yàn)檎?，極坐標(biāo)與平面直角坐標(biāo)不同，極坐標(biāo)與P點(diǎn)之間不是一一對(duì)應(yīng)的，所以我們又規(guī)定0,0<2，來使平面上的點(diǎn)與它的極坐標(biāo)之間是一一

9、對(duì)應(yīng)的，但仍然不包括極點(diǎn)2在將曲線的參數(shù)方程化為普通方程時(shí)，還要注意其中的x，y的取值范圍，即在消去參數(shù)的過程中一定要注意普通方程與參數(shù)方程的等價(jià)性A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練1(2013·江蘇)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))試求直線l和曲線C的普通方程，并求出它們的公共點(diǎn)的坐標(biāo)2已知曲線C的參數(shù)方程為0,2)，曲線D的極坐標(biāo)方程為sin().(1)將曲線C的參數(shù)方程化為普通方程；(2)曲線C與曲線D有無公共點(diǎn)？試說明理由3(2013·福建)在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知點(diǎn)A的極坐標(biāo)為

10、(，)，直線l的極坐標(biāo)方程為cos()a，且點(diǎn)A在直線l上(1)求a的值及直線l的直角坐標(biāo)方程；(2)圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，試判斷直線l與圓C的位置關(guān)系4在極坐標(biāo)系中，P是曲線12sin 上的動(dòng)點(diǎn)，Q是曲線12cos上的動(dòng)點(diǎn)，試求PQ的最大值5在極坐標(biāo)系中，已知三點(diǎn)M、N(2,0)、P.(1)將M、N、P三點(diǎn)的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)；(2)判斷M、N、P三點(diǎn)是否在一條直線上6在同一平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過伸縮變換后，曲線C：x2y236變?yōu)楹畏N曲線，并求曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)B組專項(xiàng)能力提升1在極坐標(biāo)系中，已知圓O：cos sin 和直線l：sin().(1)求圓O和直線l的直角坐標(biāo)方程；(2)當(dāng)(0

11、，)時(shí)，求直線l與圓O公共點(diǎn)的極坐標(biāo)2已知圓O1和圓O2的極坐標(biāo)方程分別為2，22cos()2.(1)把圓O1和圓O2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；(2)求經(jīng)過兩圓交點(diǎn)的直線的極坐標(biāo)方程3(2013·課標(biāo)全國(guó))已知曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為2sin .(1)把C1的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程；(2)求C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)(0,0<2)4(2012·遼寧)在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C1：x2y24，圓C2：(x2)2y24.(1)在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，分別寫出圓C1，C2的

12、極坐標(biāo)方程，并求出圓C1，C2的交點(diǎn)坐標(biāo)(用極坐標(biāo)表示)；(2)求圓C1與C2的公共弦的參數(shù)方程答案要點(diǎn)梳理1(1)極點(diǎn)極軸極徑(2)cos sin x2y23參數(shù)方程參數(shù)4(1)(2)(3)(4)夯基釋疑142.x2y22xy03.44.50°5.M1題型分類·深度剖析例1解(1)由cos()1得(cos sin )1.從而C的直角坐標(biāo)方程為xy1，即xy2.當(dāng)0時(shí)，2，所以M(2,0)當(dāng)時(shí)，所以N(，)(2)M點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(2,0)N點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(0，)所以P點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(1，)則P點(diǎn)的極坐標(biāo)為(，)，所以直線OP的極坐標(biāo)方程為(R)跟蹤訓(xùn)練1解將極坐標(biāo)方程化為直

13、角坐標(biāo)方程，得圓的方程為x2y22x，即(x1)2y21，直線的方程為3x4ya0.由題設(shè)知，圓心(1,0)到直線的距離為1，即有1，解得a8或a2.故a的值為8或2.例2解將兩曲線的參數(shù)方程化為普通方程分別為y21 (0y1，<x)和y2x，聯(lián)立解得交點(diǎn)為.跟蹤訓(xùn)練2解(1)x，y43×43x.又x20,2)x0,2)所求的普通方程為3xy40(x0,2)(2)4cos22x,4sin24(y1)4cos24sin22x4y4.4yx20.04cos24，02x4，2x2.所求的普通方程為x4y20(x2,2)例3解化極坐標(biāo)方程4cos 為直角坐標(biāo)方程x2y24x0，所以曲線

14、C是以(2,0)為圓心，2為半徑的圓化參數(shù)方程(t為參數(shù))為普通方程xy30.圓心到直線l的距離d，此時(shí)，直線與圓相離，所以MN的最小值為2.跟蹤訓(xùn)練3解(1)圓C1的直角坐標(biāo)方程為x2(y2)24，直線C2的直角坐標(biāo)方程為xy40.解得所以C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)為，注：極坐標(biāo)系下點(diǎn)的表示不唯一(2)由(1)可得，P點(diǎn)與Q點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為(0,2)，(1,3)故直線PQ的直角坐標(biāo)方程為xy20，由參數(shù)方程可得yx1，所以解得a1，b2.練出高分A組1解因?yàn)橹本€l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，由xt1得tx1，代入y2t，得到直線l的普通方程為2xy20.同理得到曲線C的普通方程為y22x.聯(lián)立方

15、程組解得公共點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,2)，.2解(1)由0,2)得x2y1，x1,1(2)由sin()得曲線D的普通方程為xy20.得x2x30.解得x1,1，故曲線C與曲線D無公共點(diǎn)3解(1)由點(diǎn)A(，)在直線cos()a上，可得a.所以直線l的方程可化為cos sin 2，從而直線l的直角坐標(biāo)方程為xy20.(2)由已知得圓C的直角坐標(biāo)方程為(x1)2y21，所以圓C的圓心為(1,0)，半徑r1，因?yàn)閳A心C到直線l的距離d<1，所以直線l與圓C相交4解12sin ，212sin ，x2y212y0，即x2(y6)236.又12cos，212，x2y26x6y0，(x3)2(y3)236，PQ

16、max6618.5解(1)由公式得M的直角坐標(biāo)為(1，)；N的直角坐標(biāo)為(2,0)；P的直角坐標(biāo)為(3，)(2)kMN，kNP.kMNkNP，M、N、P三點(diǎn)在一條直線上6解圓x2y236上任一點(diǎn)為P(x，y)，伸縮變換后對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為P(x，y)，則4x29y236，即1.曲線C在伸縮變換后得橢圓1，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±，0)B組1解(1)圓O：cos sin ，即2cos sin ，圓O的直角坐標(biāo)方程為x2y2xy，即x2y2xy0，直線l：sin()，即sin cos 1，則直線l的直角坐標(biāo)方程為yx1，即xy10.(2)由得故直線l與圓O公共點(diǎn)的極坐標(biāo)為(1，)2解(1)由2知24，所以x2y24；因?yàn)?2cos()2，所以22(cos cos sin sin )2，所以x2y22x2y20.(2)將兩圓的直角坐標(biāo)方程相減，得經(jīng)過兩圓交點(diǎn)的直線方程為xy1.化為極坐標(biāo)方程為cos sin 1，即sin().3解(1)C1的參數(shù)方程為.(x4)2(y5)225(cos2tsin2t)25，即C1的直角坐標(biāo)方程為(x4)2(y5)225，把xcos ，ysin 代