國(guó)小四年級(jí)學(xué)童長(zhǎng)度概念之研究

1、國(guó)小四年級(jí)學(xué)童長(zhǎng)度概念之研究戴政吉高雄縣前峰國(guó)民小學(xué)TEL：（07）6262415E-mail：expo3256劉曼麗國(guó)立屏東師範(fàn)學(xué)院數(shù)理教育研究所TEL：（08）7226141轉(zhuǎn)6103FAX：（08）7239847E-mail：.tw摘要 本研究之研究方法是屬於調(diào)查研究法，研究的主要目的是以紙筆測(cè)驗(yàn)及實(shí)測(cè)方式調(diào)查四年級(jí)學(xué)童在長(zhǎng)度概念的瞭解情形與常犯錯(cuò)誤，並且利用與學(xué)童的個(gè)別晤談來(lái)深入瞭解其迷思概念。紙筆測(cè)驗(yàn)是以高雄縣市四所小學(xué)之四年級(jí)學(xué)童共299人為樣本，其中晤談部分有59人，另外實(shí)測(cè)測(cè)驗(yàn)的樣本有33人。資料分析是以描述分析及內(nèi)容分析法為主。研究結(jié)果發(fā)現(xiàn)

2、如下：一、國(guó)小四年級(jí)學(xué)童對(duì)於長(zhǎng)度概念的瞭解尚待加強(qiáng)。二、國(guó)小四年級(jí)學(xué)童在形成長(zhǎng)度概念時(shí)，可能會(huì)造成他們解題錯(cuò)誤的原因有：（一）有些學(xué)童在測(cè)量物體長(zhǎng)度時(shí)，是以右邊端點(diǎn)所對(duì)齊之直尺上的刻度為該物體長(zhǎng)度。（二）有些學(xué)童在測(cè)量物體長(zhǎng)度時(shí)，是以點(diǎn)數(shù)物體所對(duì)直尺上的刻度數(shù)為該物體的長(zhǎng)度。（三）有些學(xué)童會(huì)將周長(zhǎng)與面積兩個(gè)公式互相混淆。（四）有些學(xué)童在解題時(shí)，只是直覺(jué)的以圖形出現(xiàn)的數(shù)字代入公式或湊出答案。（五）有些學(xué)童對(duì)長(zhǎng)度的量感不足，導(dǎo)致估測(cè)出的答案是錯(cuò)誤的，而且答錯(cuò)的學(xué)童大都是將物體的長(zhǎng)度高估。關(guān)鍵詞：迷思概念、長(zhǎng)度、周長(zhǎng)一、研究動(dòng)機(jī)與目的長(zhǎng)度是同時(shí)具有幾何與測(cè)量性質(zhì)的量化概念，它表示了物件所佔(zhàn)之一維空間

3、的大小。學(xué)童在學(xué)習(xí)這個(gè)概念時(shí)，對(duì)於有些部分不容易理解，甚至出現(xiàn)混淆的現(xiàn)象。例如：當(dāng)單位量改變時(shí)，則兒童往往對(duì)於基準(zhǔn)量的大小與複製結(jié)果的關(guān)係混淆不清，誤認(rèn)為當(dāng)基準(zhǔn)量遞減時(shí)，度量所得的結(jié)果也愈?。ǜ呔次?，民78；Kutz, 1991）。從許多研究中均發(fā)現(xiàn)學(xué)生容易對(duì)周長(zhǎng)與面積的觀念產(chǎn)生混淆（周武男，民77；高敬文，民78；Hart, 1981；Reinke，1997），上述研究的對(duì)象大多是五、六年級(jí)學(xué)童，較缺乏四年級(jí)學(xué)童的相關(guān)研究資料，因此本研究以國(guó)小四年級(jí)為對(duì)象，以長(zhǎng)度概念（測(cè)量概念與估測(cè)概念）為主要內(nèi)容，探討四年級(jí)學(xué)童對(duì)這個(gè)概念的瞭解情形，以及在形成這個(gè)概念時(shí)，他們可能會(huì)出現(xiàn)的迷思概念。希望藉由

4、這個(gè)研究使得國(guó)小教師在長(zhǎng)度概念的教學(xué)上能有所助益。二、研究方法（一）研究對(duì)象本研究先以高雄縣甲國(guó)小與乙國(guó)小的四年級(jí)（甲國(guó)小有10班，乙國(guó)小有5班）每班各3名學(xué)童，共45名學(xué)童作為填寫(xiě)開(kāi)放性試題的預(yù)試樣本。每班3名學(xué)童是由該班數(shù)學(xué)教師選出數(shù)學(xué)程度高、中、低各1人，但程度低的學(xué)童必須達(dá)到能理解一般文字語(yǔ)句。其次，以甲國(guó)小兩班學(xué)生共73名（扣除6名曾填寫(xiě)過(guò)開(kāi)放性試題的學(xué)生）作為封閉性試題的預(yù)試樣本。最後，從高雄縣甲、乙兩所國(guó)小及高雄市丙、丁兩所國(guó)小的四年級(jí)，每所國(guó)小各選擇兩個(gè)班級(jí)共8班，總計(jì)299人作為正式封閉性試題的研究樣本，其研究樣本數(shù)統(tǒng)計(jì)如表1：表1 研究樣本數(shù)統(tǒng)計(jì)表縣市學(xué)校名稱(chēng)選取班級(jí)數(shù)人數(shù)

5、高雄縣甲國(guó)小280乙國(guó)小274高雄市丙國(guó)小272丁國(guó)小273合計(jì)8299參加實(shí)作的樣本是以填寫(xiě)開(kāi)放性試題的45名學(xué)童扣掉正式研究樣本的12人，剩下的33名學(xué)童為樣本。晤談對(duì)象是根據(jù)所有題目錯(cuò)誤選項(xiàng)百分率較高者，再?gòu)倪x擇該選項(xiàng)的學(xué)童中隨機(jī)選出，其人數(shù)共有59人。（二）研究工具本研究所選用的工具為研究者依研究目的而編製的開(kāi)放式測(cè)驗(yàn)卷作為預(yù)試工具。針對(duì)開(kāi)放性試題所蒐集到的錯(cuò)誤，將較多學(xué)童所犯的錯(cuò)誤及該題答案編製為選擇題的選項(xiàng)，完成一份封閉性試題，以便做大樣本的施測(cè)，蒐集到較多的資料。為了彌補(bǔ)紙筆測(cè)驗(yàn)不足以測(cè)量出學(xué)童是否能進(jìn)行實(shí)測(cè)，所以又編製一份實(shí)測(cè)的測(cè)驗(yàn)卷，以收集學(xué)童在作實(shí)測(cè)時(shí)的表現(xiàn)。封閉式測(cè)驗(yàn)卷與

6、實(shí)測(cè)測(cè)驗(yàn)卷的試題分配情形及概念瞭解分析表如表2：表2 試題分配及概念瞭解分析表概念概念瞭解分析題號(hào)筆試實(shí)測(cè)長(zhǎng)度測(cè)量概念（1）測(cè)量學(xué)童是否能正確使用測(cè)量工具，及使用時(shí)，會(huì)出現(xiàn)哪些錯(cuò)誤。（2）測(cè)量學(xué)童是否能以工具移動(dòng)、等分觀念與倍數(shù)觀念來(lái)求出周長(zhǎng)，並看看他們會(huì)出現(xiàn)哪些錯(cuò)誤。B1、B2、B3、B4、C3、C4估測(cè)概念測(cè)量學(xué)童是否能運(yùn)用基本單位或特定長(zhǎng)度的量感去合理估計(jì)物體的長(zhǎng)度，並看看他們?cè)诠烙?jì)時(shí)，會(huì)出現(xiàn)哪些錯(cuò)誤。B5、B6、C1、C2 本研究之封閉性試題的隔兩週再測(cè)信度（Pearrson積差相關(guān)）為 .701。在效度方面，本研究的試題編製是在確定研究的內(nèi)容與重點(diǎn)後，再?gòu)南嚓P(guān)研究文獻(xiàn)中搜尋適合的題目

7、或是由研究者自行設(shè)計(jì)試題，設(shè)計(jì)完成後，經(jīng)過(guò)二次預(yù)試及參考一位資深國(guó)小數(shù)學(xué)教師（教學(xué)年資10年）與在師院教授數(shù)學(xué)教育相關(guān)科目的兩位老師之建議，經(jīng)修改才完成封閉性試題。另外，再以學(xué)生四年級(jí)上學(xué)期的數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)橥庠谛?biāo)，求得第二次預(yù)試分?jǐn)?shù)與外在效標(biāo)的Pearson相關(guān)係數(shù)為 .617。（三）資料蒐集與分析 就筆試資料來(lái)說(shuō)，統(tǒng)計(jì)選擇題各選項(xiàng)的圈選人數(shù)，再將各選項(xiàng)的圈選人數(shù)除以總樣本數(shù)，算出其百分比，將學(xué)童通過(guò)各題情形的統(tǒng)計(jì)數(shù)字製成統(tǒng)計(jì)表，以利分析比較。就實(shí)測(cè)資料來(lái)說(shuō)，將學(xué)童的實(shí)測(cè)情形以錄影方式記錄，以實(shí)測(cè)所得的資料做為紙筆測(cè)驗(yàn)與晤談資料的補(bǔ)強(qiáng)，期待能更深入瞭解學(xué)童的想法。由研究者與2名研究生共同討論測(cè)量

8、與估測(cè)合理值的範(fàn)圍。本研究在統(tǒng)計(jì)單一線段估測(cè)結(jié)果時(shí)允許每次估計(jì)長(zhǎng)度時(shí)有（5公分到5公分）的誤差，所以單一線段長(zhǎng)度的合理估測(cè)值的範(fàn)圍是（實(shí)際值5）公分到（實(shí)際值5）公分，因?yàn)榇蠖鄶?shù)學(xué)童在估測(cè)實(shí)驗(yàn)桌的周長(zhǎng)時(shí)是以公式運(yùn)算出來(lái)的，所以周長(zhǎng)的合理估測(cè)值的範(fàn)圍是（實(shí)際值20）公分到（實(shí)際值20）公分。凡是在此範(fàn)圍以?xún)?nèi)，本研究均將其視為合理的估測(cè)數(shù)值。另外，本研究在統(tǒng)計(jì)單一線段測(cè)量結(jié)果時(shí)允許每次測(cè)量的合理長(zhǎng)度在（實(shí)際值2）公分到（實(shí)際值2）公分的範(fàn)圍內(nèi)。因?yàn)榇蠖鄶?shù)學(xué)童在測(cè)量實(shí)驗(yàn)桌的周長(zhǎng)時(shí)是以公式運(yùn)算出來(lái)的，所以測(cè)量周長(zhǎng)時(shí)所允許的合理測(cè)量值的的範(fàn)圍是（實(shí)際值8）公分到（實(shí)際值8）公分。凡是在合理測(cè)量值的範(fàn)圍以

9、內(nèi)，本研究均將其視為合理的測(cè)量數(shù)值。 就晤談資料來(lái)說(shuō)，根據(jù)學(xué)童答題狀況與參考文獻(xiàn)探討內(nèi)容進(jìn)行半結(jié)構(gòu)式晤談，晤談過(guò)程以錄音、錄影記錄之，再將錄音、錄影的資料轉(zhuǎn)錄成書(shū)面資料。三、研究結(jié)果與討論（一）筆試的整體表現(xiàn) 統(tǒng)計(jì)答對(duì)長(zhǎng)度測(cè)量概念與估計(jì)概念試題（見(jiàn)表2）的比率，將其製成表3：表3 國(guó)小四年級(jí)學(xué)童紙筆測(cè)驗(yàn)平均答對(duì)率統(tǒng)計(jì)表（N299）試題類(lèi)別比率長(zhǎng)度測(cè)量概念長(zhǎng)度估測(cè)概念B1B2B3B4B5B6答對(duì)率81.973.240.551.869.649.2平均答對(duì)率61.8559.4平均答對(duì)率61.03 由上表知，全部試題的平均答對(duì)率大約六成，學(xué)童在長(zhǎng)度測(cè)量概念試題的答對(duì)率比估測(cè)概念還來(lái)得高些。學(xué)童在題B3

10、及B4表現(xiàn)較差，而且題B3僅有40.5的答對(duì)率，其中題B3為求長(zhǎng)方形周長(zhǎng)，題B4為求正方形周長(zhǎng)，由此可知四年級(jí)學(xué)童求周長(zhǎng)的答對(duì)率較差，這很可能是因?yàn)樗麄儗?duì)於周長(zhǎng)概念的瞭解不夠清楚。比較估測(cè)概念的兩個(gè)題目之答對(duì)率，可發(fā)現(xiàn)題B5比題B6高出20.4，然而這兩題最大的差別只在其被估測(cè)線段的長(zhǎng)度，由此可知，當(dāng)被估測(cè)物的長(zhǎng)度增加時(shí)，其答對(duì)率會(huì)降低。（二）長(zhǎng)度測(cè)量概念長(zhǎng)度測(cè)量概念的試題共有四題，學(xué)生在每一題的答題結(jié)果統(tǒng)計(jì)如表4：表4 國(guó)小四年級(jí)學(xué)童在長(zhǎng)度測(cè)量概念試題之答題統(tǒng)計(jì)表題目選項(xiàng)（人數(shù)）空白題B112.8(38)81.9(245)3.0(9)2.3(7)0.0(0)題B273.2(219)0.3(1

11、)0.7(2)24.5(73)1.3(4)題B38.7(26)40.8(122)40.5(121)9.7(29)0.3(1)題B427.8(83)9.0(27)10.7(32)51.8(155)0.7(2)有的選項(xiàng)為正確答案 由上表可知，學(xué)童在四題的表現(xiàn)中，在題B1的答對(duì)率較高，在題B3的答對(duì)率最低，不過(guò)在四題的錯(cuò)誤選項(xiàng)中，都有一個(gè)選項(xiàng)的被選率特別高，在題B1是j一樣長(zhǎng)，在題B2是m7公分，在題B3是k6公分，在題B4是j9公分，顯然這四個(gè)選項(xiàng)中必定有某些特質(zhì)足以引發(fā)學(xué)童去選擇該選項(xiàng)，這些可從與學(xué)童的晤談內(nèi)容可再做分析。題目：以下針對(duì)這四題的結(jié)果，並輔以訪談資料加以討論。（ ）B1、甲

12、0;     乙       上圖中，甲、乙兩條線，哪一條比較長(zhǎng)？ 一樣長(zhǎng) 乙 甲 不能比較討論：從與學(xué)童的晤談內(nèi)容中，可發(fā)現(xiàn)答對(duì)題B1的人有些是以點(diǎn)數(shù)線段所佔(zhàn)的格子來(lái)判斷其長(zhǎng)短，從晤談資料中也發(fā)現(xiàn)他們的正確答案較穩(wěn)固，不會(huì)時(shí)常變更其選擇。在答錯(cuò)的學(xué)童當(dāng)中，有12.7的人認(rèn)為甲、乙線一樣長(zhǎng)，但在晤談過(guò)程中，學(xué)童也能馬上更改其錯(cuò)誤答案，使其成為正確答案。例如：C0429看錯(cuò)點(diǎn)數(shù)格子R：為什麼你這一題的答案會(huì)選擇呢？S：因?yàn)檫@兩條線都佔(zhàn)了1、2、3、4、5，5格。R：你確定它們兩

13、個(gè)都是5格嗎？S：這個(gè)（甲線）是4格半。R：那你當(dāng)初在寫(xiě)的時(shí)候?yàn)槭颤N會(huì)選呢？題目：S：因?yàn)闆](méi)有看清楚。甲（ ）B2、          公分 0 1 2 3 4 5 6 7 8  上面的尺是學(xué)生常用的公分尺。請(qǐng)問(wèn)甲線的長(zhǎng)度是多少？ 6公分 1公分 4公分 7公分討論：在答對(duì)題B2的人中，有些是以點(diǎn)數(shù)線段所佔(zhàn)的格子解題，有些是以分合移補(bǔ)的方式解題，例如：C0823分合移補(bǔ)R：為什麼你會(huì)認(rèn)為這一題答案是6公分？S：因?yàn)檫@裡（手指線段開(kāi)端）沒(méi)有到0，然後我把這裡（手指6到7公分這一

14、段）切過(guò)來(lái)放到這裡（0到1公分這一段）。在答錯(cuò)的人中，以選擇7公分者最多，佔(zhàn)了24.5，因此晤談對(duì)象就以選擇7公分的人為主。從他們的晤談資料中可發(fā)現(xiàn)有些人是以?xún)蓴?shù)相減為解題依據(jù)；有些人是以點(diǎn)數(shù)刻度方式解題，例如：C0826兩數(shù)相減R：為什麼你這一題的答案寫(xiě)？S：因?yàn)樗鼪](méi)有從0開(kāi)始，是從1開(kāi)始，然後如果要算它的長(zhǎng)度，就要用7減掉0，等於7。 C0836點(diǎn)數(shù)刻度R：為什麼這一題的答案會(huì)選7公分。題目：S：就是1、2、3、4、5、6、7（手指著尺上的刻度點(diǎn)數(shù)）。公分公分甲圖3公分乙圖B3-B4、下面兩個(gè)圖形，甲圖是長(zhǎng)方形，乙圖是一個(gè)正方形，請(qǐng)分別算出甲圖和乙圖的周長(zhǎng)。 （ ）B3、請(qǐng)問(wèn)甲圖的周長(zhǎng)是多

15、少？ 13公分 6公分 10公分 5公分 （ ）B4、請(qǐng)問(wèn)乙圖的周長(zhǎng)是多少？9公分 3公分 6公分 12公分 討論：在題B3中，從晤談內(nèi)容當(dāng)中可發(fā)現(xiàn)有些答對(duì)學(xué)童對(duì)於周長(zhǎng)有清楚的認(rèn)識(shí)。可是也發(fā)現(xiàn)原本答對(duì)的學(xué)童在晤談中將其正確答案（10公分）更改為6公分，即使研究者提醒他當(dāng)初算的答案是10公分，他亦是堅(jiān)持其答案是6公分。從訪談中，可發(fā)現(xiàn)有些學(xué)童把焦點(diǎn)集中在有數(shù)字的邊上，沒(méi)有數(shù)字的邊對(duì)他來(lái)說(shuō)似乎是不重要的，可以忽視的。答錯(cuò)的學(xué)童大部分將甲圖的周長(zhǎng)算成6公分，從晤談內(nèi)容可發(fā)現(xiàn)學(xué)童大都是利用長(zhǎng)方形面積公式求周長(zhǎng)，另外有些是只加有數(shù)字的邊，例如：C0412只加有數(shù)字的邊R：你怎麼算出答案的？S：周長(zhǎng)就算出

16、長(zhǎng)和寬就可以了，所以我就用2加3。題B4雖然也是求周長(zhǎng)，但這一題卻比題B3的答對(duì)率高出11.3，這兩題除了形狀稍有差別外，最主要的差別在題B4只呈現(xiàn)一個(gè)數(shù)字，再?gòu)奈钫勝Y料來(lái)看，兩題受訪者的解題策略均未著眼於形狀，因此，數(shù)字的呈現(xiàn)促使在B3犯錯(cuò)的學(xué)童容易將題目呈現(xiàn)的兩個(gè)數(shù)字代入長(zhǎng)方形面積公式，這可能是造成答對(duì)率有差別的主要因素。從晤談內(nèi)容可發(fā)現(xiàn)在題B4答錯(cuò)的學(xué)童之解題策略有利用正方形面積公式及只看有數(shù)字的邊，例如：C0835利用正方形面積公式R：那你是怎麼算出9公分的？S：我就用3乘以3，就得到9公分了。C0838只看有數(shù)字的邊R：你怎麼知道這一題的答案？S：因?yàn)檫@裡只有一個(gè)3公分，所以答案是3

17、公分。在求周長(zhǎng)題目中出現(xiàn)的主要錯(cuò)誤大都是由於誤用面積公式造成，由此可見(jiàn)面積公式（長(zhǎng)方形與正方形）在大多數(shù)學(xué)童認(rèn)知結(jié)構(gòu)中形成一個(gè)計(jì)算的樣版，加上學(xué)童大多喜歡利用公式解題，而且對(duì)公式的來(lái)由不求甚解，所以造成學(xué)童不易答對(duì)周長(zhǎng)問(wèn)題。另外學(xué)童也容易將注意力集中在題目出現(xiàn)的數(shù)字，較不容易自行發(fā)現(xiàn)隱含於題目中的其它數(shù)字或資訊，因而造成解題錯(cuò)誤，但從晤談中，亦可發(fā)現(xiàn)這些學(xué)童在問(wèn)題的引導(dǎo)下，也有可能自行發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，將錯(cuò)誤答案更正。從晤談內(nèi)容可發(fā)現(xiàn)學(xué)童在形成長(zhǎng)度的測(cè)量概念時(shí)，可能會(huì)產(chǎn)生的迷思概念有下列幾點(diǎn)：1. 有些學(xué)童在測(cè)量物體長(zhǎng)度時(shí)，是以右邊端點(diǎn)所對(duì)齊之直尺上的刻度為該物體長(zhǎng)度。2. 有些學(xué)童在測(cè)量物體長(zhǎng)度時(shí)，

18、是以點(diǎn)數(shù)物體所對(duì)直尺上的刻度數(shù)為該物體的長(zhǎng)度。3. 有些學(xué)童會(huì)將周長(zhǎng)與面積公式混淆，例如：將長(zhǎng)×寬當(dāng)作是長(zhǎng)方形周長(zhǎng)公式。4. 有些學(xué)童在解題時(shí)，只是直覺(jué)的以圖形出現(xiàn)的數(shù)字代入公式或湊出答案。（三）長(zhǎng)度估測(cè)概念題B5及B6分別要學(xué)童去估測(cè)他們常接觸到的10公分以?xún)?nèi)之線段長(zhǎng)度。根據(jù)學(xué)童在長(zhǎng)度估測(cè)概念試題的答案，將其統(tǒng)計(jì)如表5：表5 國(guó)小四年級(jí)學(xué)童在長(zhǎng)度估測(cè)概念試題之答題統(tǒng)計(jì)表題目選項(xiàng)（人數(shù)）空白題B50.7(2)69.6(208)26.1(78)3.7(11)0.0(0)題B63.3(10)19.7(59)49.2(147)27.8(83)0.0(0) 由上表可發(fā)現(xiàn)，學(xué)童在題B5的答對(duì)率

19、比題B6還高。有趣的是，在題B5中，比較接近正確答案的是j1公分，可是l7公分的被選率卻比j來(lái)得高；在題B6中，比較接近正確答案10公分的是k8公分，可是m15公分的被選率卻比k來(lái)得高。由此可知，學(xué)童在估測(cè)長(zhǎng)度時(shí)，傾向於高估答案。以下針對(duì)題B5及B6的結(jié)果，並輔以訪談資料加以討論題目：B5-B6、請(qǐng)你估計(jì)一下，下面兩條直線各有多長(zhǎng)？ （ ）B5、請(qǐng)問(wèn)圖那條線段有多少公分？1公分3公分7公分12公分圖圖 （ ）B6、請(qǐng)問(wèn)圖那條線段有多少公分？5公分8公分10公分 15公分（此圖為縮小圖，比原比例小50）討論：根據(jù)晤談資料分析，答對(duì)題B5的學(xué)童主要的解題策略有刪除不可能的答案，例如： C0427刪

20、除不可能的答案R：請(qǐng)問(wèn)你這一題為什麼選3公分？S：因?yàn)樗鼘?duì)1公分來(lái)說(shuō)太長(zhǎng)；對(duì)7公分來(lái)說(shuō)太短；對(duì)12公分來(lái)說(shuō)也太短，所以以3公分較接近。在題B5答錯(cuò)學(xué)童的解題策略有利用直覺(jué)判斷，例如： C0809利用直覺(jué)判斷R：為什麼你會(huì)覺(jué)得它是7公分？S：我就是這樣猜的。根據(jù)晤談資料分析，答對(duì)題B6的學(xué)童主要的解題策略有先標(biāo)示出單位長(zhǎng)度，再憑記憶修正單位長(zhǎng)度的標(biāo)示，例如： C0807先標(biāo)示出單位長(zhǎng)度，再憑記憶修正單位長(zhǎng)度的標(biāo)示R：可是你上面不是有做記號(hào)嗎？（該生在線段上以鉛筆畫(huà)出8格大小大約相等的小線段）我?guī)湍銛?shù)了一下，這裡有8段，那你為什麼會(huì)認(rèn)為是10公分？ S：因?yàn)槲铱荚嚊](méi)有用尺，只是，反正我就是憑記憶啦

21、！R：所以你上面畫(huà)的這個(gè)不代表一格就是1公分囉？S：對(duì)。答錯(cuò)的學(xué)童之解題策略有利用長(zhǎng)度量感判斷及先形成1公分的心像，再根據(jù)此心像排列，例如： C0815利用長(zhǎng)度量感判斷R：你為什麼會(huì)認(rèn)為答案是8公分？S：因?yàn)槲移綍r(shí)在用尺量的時(shí)候，我都有感覺(jué)，這條線我感覺(jué)它像是我平時(shí)用尺量的8公分。 C0822先形成1公分的心像，再根據(jù)此心像排列R：那你為什麼會(huì)認(rèn)為是8公分？S：我就大概量出1公分大約是多長(zhǎng)，然後再一個(gè)一個(gè)慢慢量。R：你有用到尺嗎？S：沒(méi)有，我是在心裡想像的。 從統(tǒng)計(jì)資料來(lái)看，當(dāng)長(zhǎng)度變大時(shí)，學(xué)童的答對(duì)率就會(huì)降低，相對(duì)的就會(huì)出現(xiàn)較多的錯(cuò)誤。比較每題靠近正確答案的上下兩個(gè)選項(xiàng)（數(shù)字超過(guò)與未超過(guò)），可

22、發(fā)現(xiàn)總是較多人選擇數(shù)字超過(guò)的那個(gè)選項(xiàng)，這意味著錯(cuò)誤的學(xué)童傾向於高估答案。綜合估測(cè)概念試題的晤談內(nèi)容可發(fā)現(xiàn)造成學(xué)童答題錯(cuò)誤的原因有：（1）對(duì)長(zhǎng)度的量感不足；（2）傾向於將物體的長(zhǎng)度高估。（四）實(shí)測(cè) 統(tǒng)計(jì)通過(guò)各部分試題人數(shù)比例，將其製成表6：表6 國(guó)小四年級(jí)學(xué)童實(shí)測(cè)平均答對(duì)率統(tǒng)計(jì)表（N33）試題類(lèi)別比率長(zhǎng)度估測(cè)概念長(zhǎng)度測(cè)量概念C1C2C3C4答對(duì)率18.2平均答對(duì)率30.327.3平均答對(duì)率28.8 將表6與表3作一比較，可發(fā)現(xiàn)表6中的平均答對(duì)率完全小於表3的，造成這樣差異的可能原因除了作答方式不同及實(shí)測(cè)值合理性認(rèn)定之外。在估測(cè)概念部分可能原因是被測(cè)物不再是一個(gè)平面上的圖形，

23、而是一個(gè)實(shí)際物體，另外一個(gè)可能造成差異的原因是被測(cè)物的長(zhǎng)度數(shù)值增加導(dǎo)致長(zhǎng)度估測(cè)困難，而且數(shù)字變大也會(huì)使學(xué)童在計(jì)算周長(zhǎng)時(shí)容易發(fā)生錯(cuò)誤；在測(cè)量概念部分可能的原因除了測(cè)量實(shí)際物體的困難外，最主要原因是學(xué)童還不太熟悉皮尺之刻度的讀法，這顯示學(xué)童缺乏實(shí)際情境下讀取皮尺刻度的經(jīng)驗(yàn)，另一個(gè)原因是長(zhǎng)度測(cè)量值變大，會(huì)使學(xué)童在計(jì)算周長(zhǎng)時(shí)容易發(fā)生錯(cuò)誤。題目：C1、估估看，研究者有多高？ C2、估估看，自然教室的實(shí)驗(yàn)桌周長(zhǎng)有多少？C3、量量看，研究者有多高？C4、量量看，自然教室的實(shí)驗(yàn)桌周長(zhǎng)有多少？討論：題C1是估測(cè)研究者的身高，通過(guò)率是51.5，比估測(cè)實(shí)驗(yàn)桌周長(zhǎng)題C2的9.1高出許多，可見(jiàn)學(xué)童在身高估測(cè)的表現(xiàn)較好。

24、同樣地，學(xué)童在實(shí)際測(cè)量研究者身高的通過(guò)率（題C3之36.4）也是高於測(cè)量實(shí)驗(yàn)桌周長(zhǎng)的通過(guò)率（題C4之18.2），但是測(cè)量身高時(shí)，皮尺兩端刻度較難對(duì)齊研究者，而且較難完全垂直地面，而測(cè)量桌面就沒(méi)有這個(gè)問(wèn)題，照理說(shuō)測(cè)量桌面的周長(zhǎng)應(yīng)該會(huì)比測(cè)量身高來(lái)得容易，可是結(jié)果卻相反，這是因?yàn)閷W(xué)童實(shí)際測(cè)量桌子周長(zhǎng)時(shí)喜歡利用公式，但卻容易用錯(cuò)公式及計(jì)算錯(cuò)誤，所以才造成這種結(jié)果。四、結(jié)論與建議（一）結(jié)論 1.國(guó)小四年級(jí)學(xué)童在長(zhǎng)度測(cè)量概念有61.85%通過(guò)紙筆測(cè)驗(yàn)，有30.3通過(guò)實(shí)測(cè)測(cè)驗(yàn)；在長(zhǎng)度估測(cè)概念有59.4通過(guò)紙筆測(cè)驗(yàn)，有27.3實(shí)測(cè)測(cè)驗(yàn)。綜合關(guān)於長(zhǎng)度的紙筆與實(shí)測(cè)測(cè)驗(yàn)結(jié)果，國(guó)小四年級(jí)學(xué)童有61.03通過(guò)長(zhǎng)度概念的

25、紙筆測(cè)驗(yàn)，有28.8的學(xué)童通過(guò)長(zhǎng)度概念的實(shí)測(cè)測(cè)驗(yàn)。由此可見(jiàn)，國(guó)小四年級(jí)學(xué)童對(duì)長(zhǎng)度的實(shí)測(cè)尚待加強(qiáng)。 2. 國(guó)小四年級(jí)學(xué)童在形成長(zhǎng)度概念時(shí)，可能會(huì)造成他們解題錯(cuò)誤的原因有： （1）有些學(xué)童在測(cè)量物體長(zhǎng)度時(shí)，是以右邊端點(diǎn)所對(duì)齊之直尺上的刻度為該物體長(zhǎng)度，類(lèi)似的結(jié)果也出現(xiàn)在一些研究中（高敬文，民78；譚寧君，民88；Hiebert, 1984）。 （2）有些學(xué)童在測(cè)量物體長(zhǎng)度時(shí)，是以點(diǎn)數(shù)物體所對(duì)直尺上的刻度數(shù)為該物體的長(zhǎng)度，類(lèi)似的結(jié)果也出現(xiàn)在譚寧君（民88）的研究中。 （3）有些學(xué)童會(huì)將周長(zhǎng)與面積公式混淆，例如：將長(zhǎng)×寬當(dāng)作是長(zhǎng)方形周長(zhǎng)公式。類(lèi)似的結(jié)果也出現(xiàn)在一些研究中（高敬文，民78；譚寧

26、君，民84，民87； Hirstein, 1981； Reinke, 1997； Menon, 1998）。 （4）有些學(xué)童在解題時(shí)，只是直覺(jué)的以圖形出現(xiàn)的數(shù)字代入公式或湊出答案。 （5）有些學(xué)童對(duì)長(zhǎng)度的量感不足，導(dǎo)致估測(cè)出錯(cuò)誤的答案。 （6）學(xué)童傾向於將物體的長(zhǎng)度高估。（二）建議 1. 對(duì)數(shù)學(xué)教育的建議 （1）在建立學(xué)童長(zhǎng)度測(cè)量概念時(shí)，應(yīng)提供他們實(shí)際測(cè)量各種物體長(zhǎng)度及物體與物體之距離的機(jī)會(huì)，讓他們實(shí)際練習(xí)讀取公分尺與皮尺上的數(shù)值，充實(shí)其實(shí)際測(cè)量的經(jīng)驗(yàn)與培養(yǎng)長(zhǎng)度的量感。等到他們累積了足夠的實(shí)際測(cè)量經(jīng)驗(yàn)後，再讓他們從事長(zhǎng)度實(shí)測(cè)活動(dòng)的練習(xí)，先進(jìn)行估測(cè)，然後進(jìn)行實(shí)際測(cè)量，比較估測(cè)與實(shí)際測(cè)量所得到之?dāng)?shù)

27、值的差別，讓學(xué)童有機(jī)會(huì)修正自己的量感與估測(cè)策略。 （2）應(yīng)該先讓學(xué)童將周界、邊、面、周長(zhǎng)、邊長(zhǎng)、長(zhǎng)度（長(zhǎng)）、寬度（寬）、面積等相關(guān)概念分辨清楚，然後讓他們以直尺及邊長(zhǎng)1公分的小方瓦實(shí)際測(cè)量已知面的周長(zhǎng)與面積，再讓他們自行將圖形畫(huà)在方格紙（畫(huà)有許多邊長(zhǎng)1公分的小正方形）上，並且算出圖形的周長(zhǎng)與面積，然後逐漸將圖形慢慢改為長(zhǎng)方形與正方形，再將長(zhǎng)方形與正方形自方格紙移至一般白紙上，並且標(biāo)示邊長(zhǎng)，要求學(xué)童自行在其上畫(huà)出1平方公分的小方格，求出其周長(zhǎng)及面積，在練習(xí)及教師引導(dǎo)下，由學(xué)童共同歸納出長(zhǎng)方形與正方形周長(zhǎng)及面積公式，但教師不宜太強(qiáng)調(diào)公式，應(yīng)由學(xué)童自行決定是否使用這些公式。 （3）為了使學(xué)童具備較準(zhǔn)

28、確的量感，教師應(yīng)設(shè)計(jì)活動(dòng)使學(xué)童能在估測(cè)完後，立刻以測(cè)量結(jié)果修正自己長(zhǎng)度的量感，而且應(yīng)該把這些活動(dòng)以螺旋方式安排在課程當(dāng)中，讓他們能由淺入深學(xué)習(xí)，而且能夠拉長(zhǎng)學(xué)習(xí)時(shí)間，以少量多餐的方式學(xué)習(xí)。 2. 對(duì)未來(lái)研究的建議 （1）後續(xù)的研究者可將研究主題只專(zhuān)注於本研究中學(xué)童所呈現(xiàn)的一種迷思概念，例如：將焦點(diǎn)集中於造成學(xué)童將周長(zhǎng)與面積概念搞混的原因，甚至將問(wèn)題推廣至研究學(xué)童將表面積與體積概念搞混的原因，然後以質(zhì)的研究方式深入探討造成這些迷思概念的原因。 （2）後續(xù)研究可以參考本研究的結(jié)果設(shè)計(jì)一套能促進(jìn)學(xué)童有效理解長(zhǎng)度概念的課程，然後進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究，以探討該課程是否能真正有效達(dá)到目標(biāo)。 （3）有興趣的人可以根

29、據(jù)本研究對(duì)數(shù)學(xué)教育的建議，實(shí)際應(yīng)用於教學(xué)情境中，作為行動(dòng)研究的素材。參考文獻(xiàn)周武男（民77）。國(guó)中生實(shí)測(cè)概念之發(fā)展（NSC77-0111-S017-01A）。臺(tái)北：行政院國(guó)家科學(xué)委員會(huì)。高敬文（民78）。我國(guó)國(guó)小學(xué)童測(cè)量概念發(fā)展之研究。初等教育研究，1，頁(yè)183-219。教育部（民82）。國(guó)民小學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)。臺(tái)北：臺(tái)捷國(guó)際文化實(shí)業(yè)股份有限公司。蔡春美（民72）。臺(tái)東縣山地兒童面積保留與面積測(cè)量概念的發(fā)展。臺(tái)東師專(zhuān)學(xué)報(bào)，11，頁(yè)124-276。劉錫麒（民63）。我國(guó)兒童保留概念的發(fā)展。師大教育研究所集刊，16，頁(yè)97-160。譚寧君（民84）。師院生面積概念與解題策略分析研究。八十四年度師範(fàn)學(xué)院教育學(xué)術(shù)論文發(fā)表會(huì)論文集（2）（頁(yè)253-279）。屏東市：國(guó)