橢圓典型例題整理

1、橢圓典型例題一、已知橢圓焦點(diǎn)的位置，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。例1：已知橢圓的焦點(diǎn)是F1(0，1)、F2(0,1)，P是橢圓上一點(diǎn)，并且PF1PF22F1F2，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。解：由PF1PF22F1F22×24，得2a4.又c1，所以b23.所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是1. 2已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1(1,0)，F(xiàn)2(1,0)，且2a10，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解：由橢圓定義知c1，b.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.二、未知橢圓焦點(diǎn)的位置，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。例：1. 橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，其長軸長是短軸長的2倍，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程分析：題目沒有指出焦點(diǎn)的位置，要考慮兩種位置解：（1）當(dāng)為長軸端點(diǎn)時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

2、；（2）當(dāng)為短軸端點(diǎn)時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；三、橢圓的焦點(diǎn)位置由其它方程間接給出，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。例求過點(diǎn)(3,2)且與橢圓1有相同焦點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解：因?yàn)閏2945，所以設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.由點(diǎn)(3,2)在橢圓上知1，所以a215.所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.四、與直線相結(jié)合的問題，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。例： 已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的橢圓與直線交于、兩點(diǎn)，為中點(diǎn)，的斜率為0.25，橢圓的短軸長為2，求橢圓的方程解：由題意，設(shè)橢圓方程為，由，得，為所求五、求橢圓的離心率問題。例 一個(gè)橢圓的焦點(diǎn)將其準(zhǔn)線間的距離三等分，求橢圓的離心率解： ，例 已知橢圓的離心率，求的值 解：當(dāng)橢圓的焦

3、點(diǎn)在軸上時(shí)，得由，得當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，得由，得，即滿足條件的或 六、由橢圓內(nèi)的三角形周長、面積有關(guān)的問題 例：1.若ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)A(4,0)，B(4,0)，ABC的周長為18，求頂點(diǎn)C的軌跡方程。解：頂點(diǎn)C到兩個(gè)定點(diǎn)A，B的距離之和為定值10，且大于兩定點(diǎn)間的距離，因此頂點(diǎn)C的軌跡為橢圓，并且2a10，所以a5,2c8，所以c4，所以b2a2c29，故頂點(diǎn)C的軌跡方程為1.又A、B、C三點(diǎn)構(gòu)成三角形，所以y0.所以頂點(diǎn)C的軌跡方程為1(y0)答案：1(y0)2已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是1(a>5)，它的兩焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，且F1F28，弦AB過點(diǎn)F1，求ABF2的周長因?yàn)镕1F

4、28，即即所以2c8，即c4，所以a2251641，即a，所以ABF2的周長為4a4.3設(shè)F1、F2是橢圓1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上的點(diǎn)，且PF1PF221，求PF1F2的面積解析：由橢圓方程，得a3，b2，c，PF1PF22a6.又PF1PF221，PF14，PF22，由2242(2)2可知PF1F2是直角三角形，故PF1F2的面積為PF1·PF2×2×44.七、直線與橢圓的位置問題例 已知橢圓，求過點(diǎn)且被平分的弦所在的直線方程分析一：已知一點(diǎn)求直線，關(guān)鍵是求斜率，故設(shè)斜率為，利用條件求解法一：設(shè)所求直線的斜率為，則直線方程為代入橢圓方程，并整理得由韋達(dá)定理得是弦

5、中點(diǎn)，故得所以所求直線方程為解法二：設(shè)過的直線與橢圓交于、，則由題意得得 將、代入得，即直線的斜率為所求直線方程為八、橢圓中的最值問題例 橢圓的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，當(dāng)為最小值時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)解：由已知：，所以，右準(zhǔn)線過作，垂足為，交橢圓于，故顯然的最小值為，即為所求點(diǎn)，因此，且在橢圓上故所以雙曲線典型例題一、根據(jù)方程的特點(diǎn)判斷圓錐曲線的類型。例1討論表示何種圓錐曲線，它們有何共同特征分析：由于，則的取值范圍為，分別進(jìn)行討論解：（1）當(dāng)時(shí)，所給方程表示橢圓，此時(shí)，這些橢圓有共同的焦點(diǎn)（4，0），（4，0）（2）當(dāng)時(shí)，所給方程表示雙曲線，此時(shí)，這些雙曲線也有共同的焦點(diǎn)（4，0），）（4，0）

6、（3），時(shí)，所給方程沒有軌跡說明：將具有共同焦點(diǎn)的一系列圓錐曲線，稱為同焦點(diǎn)圓錐曲線系，不妨取一些值，畫出其圖形，體會(huì)一下幾何圖形所帶給人們的美感二、根據(jù)已知條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。例2根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（1）過點(diǎn)，且焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上（2），經(jīng)過點(diǎn)（5，2），焦點(diǎn)在軸上（3）與雙曲線有相同焦點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)解：（1）設(shè)雙曲線方程為 、兩點(diǎn)在雙曲線上，解得所求雙曲線方程為說明：采取以上“巧設(shè)”可以避免分兩種情況討論，得“巧求”的目的（2）焦點(diǎn)在軸上，設(shè)所求雙曲線方程為：（其中）雙曲線經(jīng)過點(diǎn)（5，2），或（舍去）所求雙曲線方程是說明：以上簡單易行的方法給我們以明快、簡捷的感覺（3）設(shè)所求

7、雙曲線方程為：雙曲線過點(diǎn)，或（舍）所求雙曲線方程為說明：（1）注意到了與雙曲線有公共焦點(diǎn)的雙曲線系方程為后，便有了以上巧妙的設(shè)法（2）尋找一種簡捷的方法，須有牢固的基礎(chǔ)和一定的變通能力，這也是在我們教學(xué)中應(yīng)該注重的一個(gè)重要方面三、求與雙曲線有關(guān)的角度問題。例3 已知雙曲線的右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在雙曲線上的左支上且，求的大小分析：一般地，求一個(gè)角的大小，通常要解這個(gè)角所在的三角形解：點(diǎn)在雙曲線的左支上說明：（1）巧妙地將雙曲線的定義應(yīng)用于解題當(dāng)中，使問題得以簡單化（2）題目的“點(diǎn)在雙曲線的左支上”這個(gè)條件非常關(guān)鍵，應(yīng)引起我們的重視，若將這一條件改為“點(diǎn)在雙曲線上”結(jié)論如何改變呢？請(qǐng)讀者試探索四、求

8、與雙曲線有關(guān)的三角形的面積問題。例4 已知、是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上且滿足，求的面積分析：利用雙曲線的定義及中的勾股定理可求的面積解：為雙曲線上的一個(gè)點(diǎn)且、為焦點(diǎn),在中，說明：雙曲線定義的應(yīng)用在解題中起了關(guān)鍵性的作用五、根據(jù)雙曲線的定義求其標(biāo)準(zhǔn)方程。例5已知兩點(diǎn)、，求與它們的距離差的絕對(duì)值是6的點(diǎn)的軌跡分析：問題的條件符合雙曲線的定義，可利用雙曲線定義直接求出動(dòng)點(diǎn)軌跡解：根據(jù)雙曲線定義，可知所求點(diǎn)的軌跡是雙曲線，所求方程為動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，且軌跡是雙曲線例是雙曲線上一點(diǎn)，、是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，且，求的值分析：利用雙曲線的定義求解解：在雙曲線中，故由是雙曲線上一點(diǎn)，得或又，得說明：本題容易

9、忽視這一條件，而得出錯(cuò)誤的結(jié)論或說明：（1）若清楚了軌跡類型，則用定義直接求出其軌跡方程可避免用坐標(biāo)法所帶來的繁瑣運(yùn)算（2）如遇到動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)距離之差的問題，一般可采用定義去解六、求與圓有關(guān)的雙曲線方程。例6求下列動(dòng)圓圓心的軌跡方程：（1）與內(nèi)切，且過點(diǎn)（2）與和都外切（3）與外切，且與內(nèi)切分析：這是圓與圓相切的問題，解題時(shí)要抓住關(guān)鍵點(diǎn)，即圓心與切點(diǎn)和關(guān)鍵線段，即半徑與圓心距離如果相切的、的半徑為、且，則當(dāng)它們外切時(shí)，；當(dāng)它們內(nèi)切時(shí)，解題中要注意靈活運(yùn)用雙曲線的定義求出軌跡方程解：設(shè)動(dòng)圓的半徑為（1）與內(nèi)切，點(diǎn)在外，點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，且有：，雙曲線方程為（2）與、都外切，點(diǎn)

10、的軌跡是以、為焦點(diǎn)的雙曲線的上支，且有：，所求的雙曲線的方程為：（3）與外切，且與內(nèi)切，點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，且有：，所求雙曲線方程為：說明：（1）“定義法”求動(dòng)點(diǎn)軌跡是解析幾何中解決點(diǎn)軌跡問題常用而重要的方法（2）巧妙地應(yīng)用“定義法”可使運(yùn)算量大大減小，提高了解題的速度與質(zhì)量（3）通過以上題目的分析，我們體會(huì)到了，靈活準(zhǔn)確地選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q問題是我們無休止的追求目標(biāo)w.w.w.k.s.5.u.c.o.m拋物線典型例題一、求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。例1 指出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程（1） （2）分析：（1）先根據(jù)拋物線方程確定拋物線是四種中哪一種，求出p，再寫出焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程（

11、2）先把方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程形式，再對(duì)a進(jìn)行討論，確定是哪一種后，求p及焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程解：（1），焦點(diǎn)坐標(biāo)是（0，1），準(zhǔn)線方程是：（2）原拋物線方程為：，當(dāng)時(shí)，拋物線開口向右，焦點(diǎn)坐標(biāo)是，準(zhǔn)線方程是：當(dāng)時(shí)，拋物線開口向左，焦點(diǎn)坐標(biāo)是，準(zhǔn)線方程是：綜合上述，當(dāng)時(shí)，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程是：二、求直線與拋物線相結(jié)合的問題例2 若直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，且AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，求此直線方程分析：由直線與拋物線相交利用韋達(dá)定理列出k的方程求解另由于已知與直線斜率及弦中點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)，故也可利用“作差法”求k解法一：設(shè)、，則由：可得：直線與拋物線相交，且，則AB中點(diǎn)橫坐標(biāo)為：，解得：或（舍去）故

12、所求直線方程為：解法二：設(shè)、，則有兩式作差解：，即，故或（舍去）則所求直線方程為：三、求直線中的參數(shù)問題例3（1）設(shè)拋物線被直線截得的弦長為，求k值（2）以（1）中的弦為底邊，以x軸上的點(diǎn)P為頂點(diǎn)作三角形，當(dāng)三角形的面積為9時(shí)，求P點(diǎn)坐標(biāo)分析：（1）題可利用弦長公式求k，（2）題可利用面積求高，再用點(diǎn)到直線距離求P點(diǎn)坐標(biāo)解：（1）由得：設(shè)直線與拋物線交于與兩點(diǎn)則有： ，即（2），底邊長為，三角形高點(diǎn)P在x軸上，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)是則點(diǎn)P到直線的距離就等于h，即或，即所求P點(diǎn)坐標(biāo)是（1，0）或（5，0）四、與拋物線有關(guān)的最值問題例4定長為3的線段的端點(diǎn)、在拋物線上移動(dòng)，求的中點(diǎn)到軸的距離的最小值，并求出此時(shí)中點(diǎn)的坐標(biāo)分析：線段中點(diǎn)到軸距離的最小值，就是其橫坐標(biāo)的最小值這是中點(diǎn)坐標(biāo)問題，因此只要研究、兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和取什么最小值即可解：如圖，設(shè)是的焦點(diǎn)，、兩點(diǎn)到準(zhǔn)線的垂線分別是、，又到準(zhǔn)線的垂線為，、和是垂足，則設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，則等