拋物線專題復習講義及練習[1]-

1、1拋物線專題復習講義及練習知識梳理1.拋物線的標準方程、類型及其幾何性質 (0>p :標準方程 px y 22=px y 22-=py x 22=py x 22-=圖形y xOyxOy xOyxO焦點0,2(p F 0,2(p F - 2,0(p F 2,0(p F - 準線2p x -= 2p x =2p y -= 2p y =范圍 R y x ,0 R y x ,0 0,y R x 0,y R x對稱軸 x 軸y 軸頂點 (0,0離心率1=e2.拋物線的焦半徑、焦點弦0(22=p px y 的焦半徑=PF 2P x +;0(22=p py x 的焦半徑=PF 2P y +; 過焦點的

2、所有弦中最短的弦,也被稱做通徑.其長度為2p. AB 為拋物線px y 22=的焦點弦,則=B A x x 42p ,=B A y y 2p -,|AB =p x x B A +3. px y 22=的參數(shù)方程為=pt y pt x 222(t 為參數(shù),py x 22=的參數(shù)方程為=222pt y ptx (t 為參數(shù). 重難點突破重點:掌握拋物線的定義和標準方程,會運用定義和會求拋物線的標準方程,能通過方程研究拋物線的幾何性質 難點: 與焦點有關的計算與論證重難點:圍繞焦半徑、焦點弦,運用數(shù)形結合和代數(shù)方法研究拋物線的性質 1.要有用定義的意識問題1:拋物線y=42x 上的一點M 到焦點的距

3、離為1,則點M 的縱坐標是( A.1617 B. 1615 C.87D. 0點撥:拋物線的標準方程為y x 412=,準線方程為161-=y ,由定義知,點M 到準線的距離為1,所以點M 的縱坐標是21615 2.求標準方程要注意焦點位置和開口方向問題2:頂點在原點、焦點在坐標軸上且經(jīng)過點(3,2的拋物線的條數(shù)有 點撥:拋物線的類型一共有4種,經(jīng)過第一象限的拋物線有2種,故滿足條件的拋物線有2條 3.研究幾何性質,要具備數(shù)形結合思想,“兩條腿走路” 問題3:證明:以拋物線焦點弦為直徑的圓與拋物線的準線相切點撥:設AB 為拋物線的焦點弦,F 為拋物線的焦點,點''、B A 分別是

4、點B A 、在準線上的射影,弦AB 的中點為M ,則''BB AA BF AF AB +=+=,點M 到準線的距離為AB BB AA 21''(21=+,以拋物線焦點弦為直徑的圓總與拋物線的準線相切熱點考點題型探析考點1 拋物線的定義題型 利用定義,實現(xiàn)拋物線上的點到焦點的距離與到準線的距離之間的轉換例1 已知點P 在拋物線y 2= 4x 上,那么點P 到點Q (2,-1的距離與點P 到拋物線焦點距離之和的最小值為 【解題思路】將點P 到焦點的距離轉化為點P 到準線的距離解析過點P 作準線的垂線l 交準線于點R ,由拋物線的定義知,PR PQ PF PQ +=+

5、,當P 點為拋物線與垂線l 的交點時,PR PQ +取得最小值,最小值為點Q 到準線的距離 ,因準線方程為x=-1,故最小值為3【名師指引】靈活利用拋物線的定義,就是實現(xiàn)拋物線上的點到焦點的距離與到準線的距離之間的轉換,一般來說,用定義問題都與焦半徑問題相關 【新題導練】1.已知拋物線22(0y px p =>的焦點為F ,點111222(P x y P x y ,333(P x y ,在拋物線上,且|1F P 、|2F P 、|3F P 成等差數(shù)列, 則有 ( A .321x x x =+B . 321y y y =+C .2312x x x =+ D. 2312y y y =+ 解析

6、C 由拋物線定義,2132(,222p p px x x +=+即:2312x x x =+. 2. 已知點,4,3(A F 是拋物線x y 82=的焦點,M 是拋物線上的動點,當MF MA +最小時, M 點坐標是 ( A. 0,0(B. 62,3(C. 4,2(D. 62,3(-解析 設M 到準線的距離為MK ,則MK MA MF MA +=+|,當MK MA +最小時,M 點坐標是4,2(,選C 考點2 拋物線的標準方程3題型:求拋物線的標準方程例2 求滿足下列條件的拋物線的標準方程,并求對應拋物線的準線方程: (1過點(-3,2 (2焦點在直線240x y -=上 【解題思路】以方程的

7、觀點看待問題,并注意開口方向的討論. 解析 (1設所求的拋物線的方程為22y px =-或22(0x py p =>, 過點(-3,2 2293(24=-=p p 或 2934p p =或 拋物線方程為243y x =-或292x y =, 前者的準線方程是1,3x =后者的準線方程為98y =- (2令0x =得2y =-,令0y =得4x =,拋物線的焦點為(4,0或(0,-2,當焦點為(4,0時,42p=, 8p =,此時拋物線方程216y x =;焦點為(0,-2時22p= 4p =,此時拋物線方程28x y =-.所求拋物線方程為216y x =或28x y =-,對應的準線方

8、程分別是4,2x y =-=. 【名師指引】對開口方向要特別小心,考慮問題要全面 【新題導練】3.若拋物線22y px =的焦點與雙曲線2213x y -=的右焦點重合,則p 的值 解析4132=+=p p4. 對于頂點在原點的拋物線,給出下列條件:焦點在y 軸上; 焦點在x 軸上;拋物線上橫坐標為1的點到焦點的距離等于6; 拋物線的通徑的長為5;由原點向過焦點的某條直線作垂線,垂足坐標為(2,1.能使這拋物線方程為y 2=10x 的條件是_.(要求填寫合適條件的序號 解析 用排除法,由拋物線方程y 2=10x 可排除,從而滿足條件.5. 若拋物線的頂點在原點,開口向上,F 為焦點,M 為準線

9、與Y 軸的交點,A 為拋物線上一點,且3|,17|=AF AM ,求此拋物線的方程4解析 設點'A 是點A 在準線上的射影,則3|'|=AA ,由勾股定理知22|'|=MA ,點A 的橫坐標為23,22(p-,代入方程py x 22=得2=p 或4,拋物線的方程y x 42=或y x 82= 考點3 拋物線的幾何性質題型:有關焦半徑和焦點弦的計算與論證 例3 設A 、B 為拋物線px y22=上的點,且 90=AOB (O 為原點,則直線AB 必過的定點坐標為_.【解題思路】由特殊入手,先探求定點位置解析設直線OA 方程為kx y =,由=pxy kx y 22解出A

10、點坐標為2,2(2k pk p =-=pxy x k y 212解出B 點坐標為2,2(2pk pk -,直線AB 方程為2212(2k pk x k pk y -=+,令0=y 得p x 2=,直線AB 必過的定點0,2(p【名師指引】(1由于是填空題,可取兩特殊直線AB, 求交點即可;(2B 點坐標可由A 點坐標用k1-換k 而得。 【新題導練】6. 若直線10ax y -+=經(jīng)過拋物線24y x =的焦點,則實數(shù)a = 解析-17.過拋物線焦點F 的直線與拋物線交于兩點A 、B,若A 、B 在拋物線準線上的射影為11,B A ,則=11FB A( A.45 B.60 C.90 D.120

11、 解析C 基礎鞏固訓練1.過拋物線x y 42=的焦點作一條直線與拋物線相交于A 、B 兩點,它們的橫坐標之和等于(422R a a a +,則這樣的直線( A.有且僅有一條B.有且僅有兩條C.1條或2條D.不存在 解析C 441(52|22+=+=+=a a a p x x AB B A ,而通徑的長為4.2.在平面直角坐標系xOy 中,若拋物線24x y =上的點P 到該拋物線焦點的距離為5,則點P 的縱坐標為 ( A. 3B. 4C. 5D. 6解析 B 利用拋物線的定義,點P 到準線1-=y 的距離為5,故點P 的縱坐標為4. 3.兩個正數(shù)a 、b 的等差中項是92,一個等比中項是25

12、,且,b a >則拋物線2(y b a x =-的焦點坐標為( A .1(0,4- B .1(0,4C .1(,02- D .1(,04-5解析 D. 1,4,5-=-=a b b a4. 如果1P ,2P ,8P 是拋物線24y x =上的點,它們的橫坐標依次為1x ,2x ,8x ,F 是拋物線的焦點,若(,21*N n x x x n 成等差數(shù)列且45921=+x x x ,則|5F P =( . A .5 B .6 C . 7 D .9解析B 根據(jù)拋物線的定義,可知12ii i pPF x x =+=+(1i =,2,n ,(,21*N n x x x n 成等差數(shù)列且45921

13、=+x x x ,55=x ,|5F P =65、拋物線,42F x y 的焦點為=準線為l ,l 與x 軸相交于點E ,過F 且傾斜角等于60°的直線與拋物線在x 軸上方的部分相交于點A ,AB l ,垂足為B ,則四邊形ABEF 的面積等于( A .33B .34C .36D .38解析 C. 過A 作x 軸的垂線交x 軸于點H ,設,(n m A ,則1,1-=-=+=m OF OH FH m AB AF ,32,31(21=-=+n m m m四邊形ABEF 的面積=+3213(221366、設O 是坐標原點,F 是拋物線24y x =的焦點,A 是拋物線上的一點,FA 與x

14、 軸正向的夾角為60,則OA為 . 解析21.過A 作AD x 軸于D ,令FD m =,則m FA 2=即m m 22=+,解得2=m .32,3(A 2132(322=+=OA綜合提高訓練7.在拋物線24y x =上求一點,使該點到直線45y x =-的距離為最短,求該點的坐標 解析解法1:設拋物線上的點4,(2x x P ,點P 到直線的距離17|544|2+-=x x d 1717417|421(4|2+-=x , 當且僅當21=x 時取等號,故所求的點為,(121解法2:當平行于直線45y x =-且與拋物線相切的直線與拋物線的公共點為所求,設該直線方程為b x y +=4,代入拋物

15、線方程得0442=-b x x , 由01616=+=b 得21,1=-=x b ,故所求的點為,(1218. 已知拋物線2:ax y C =(a 為非零常數(shù)的焦點為F ,點P 為拋物線c 上一個動點,過點P 且與拋物線c 相切的6直線記為l .(1求F 的坐標;(2當點P 在何處時,點F 到直線l 的距離最小? 解:(1拋物線方程為y ax 12=故焦點F 的坐標為41,0(a(2設20000 ,(ax y y x P =則2 ,2'0ax k P ax y =的切線的斜率點處拋物線(二次函數(shù)在直線l 的方程是(2 0020x x ax ax y -=- 0 2 200=-ax y

16、x ax -即. 4114411(2(410 20222020ax a a ax ax ad +=-+-=0,0( 0 0的坐標是此時時上式取“=”當且僅當P x = .L F 0,0(P 的距離最小到切線處時,焦點在當9. 設拋物線22y px =(0p >的焦點為 F ,經(jīng)過點 F 的直線交拋物線于A 、B 兩點.點 C 在拋物線的準線上,且BC X 軸.證明直線AC 經(jīng)過原點O .證明:因為拋物線22y px =(0p >的焦點為,02p F ,所以經(jīng)過點F 的直線AB 的方程可設為 2px my =+,代人拋物線方程得 2220y pmy p -=.若記(11,A x y

17、,(22,B x y ,則21,y y 是該方程的兩個根,所以212y y p =-.因為BC X 軸,且點C 在準線2p x =-上,所以點C 的坐標為2,2p y - , 故直線CO 的斜率為21112.2y y p k p y x =- 即k 也是直線OA 的斜率,所以直線AC 經(jīng)過原點O .10.橢圓12222=+by a x 上有一點M (-4,59在拋物線px y 22=(p>0的準線l 上,拋物線的焦點也是橢圓焦點.7(1求橢圓方程;(2若點N 在拋物線上,過N 作準線l 的垂線,垂足為Q 距離,求|MN|+|NQ|的最小值.解:(112222=+by a x 上的點M 在

18、拋物線pxy 22=(p>0的準線l 上,拋物線的焦點也是橢圓焦點. c=-4,p=8 M (-4,59在橢圓上 125811622=+ba 222c b a += 由解得:a=5、b=3橢圓為192522=+y x 由p=8得拋物線為x y 162= 設橢圓焦點為F (4,0, 由橢圓定義得|NQ|=|NF| |MN|+|NQ|MN|+|NF|=|MF|=541059(44(22=-+-,即為所求的最小值. 參考例題:1、已知拋物線C 的一個焦點為F (21,0,對應于這個焦點的準線方程為x =-21. (1寫出拋物線C 的方程;(2過F 點的直線與曲線C 交于A 、B 兩點,O 點為

19、坐標原點,求AOB 重心G 的軌跡方程;(3點P 是拋物線C 上的動點,過點P 作圓(x -32+y 2=2的切線,切點分別是M ,N .當P 點在何處時,|MN |的值最小?求出|MN |的最小值.解:(1拋物線方程為:y 2=2x . (4分 (2當直線不垂直于x 軸時,設方程為y =k (x -21,代入y 2=2x , 8得:k 2x 2-(k 2+2x +042=k .設A (x 1,y 1,B (x 2,y 2,則x 1+x 2=222k k +,y 1+y 2=k (x 1+x 2-1=k 2. 設AOB 的重心為G (x ,y 則=+=+=+=k y y y k k x x x

20、 32303230212221,消去k 得y 2=9232-x 為所求, (6分 當直線垂直于x 軸時,A (21,1,B (21,-1, (8分AOB 的重心G (31,0也滿足上述方程.綜合得,所求的軌跡方程為y 2=9232-x , (9分 (3設已知圓的圓心為Q (3,0,半徑r =2,根據(jù)圓的性質有:|MN |=22222|2122|2|PQ PQ r PQ r PQ MQ MP -=-=. (11分 當|PQ |2最小時,|MN |取最小值,設P 點坐標為(x 0,y 0,則y 20=2x 0. |PQ |2=(x 0-32+ y 20= x 20-4x 0+9=(x 0-22+5

21、,當x 0=2,y 0=±2時,|PQ |2取最小值5, 故當P 點坐標為(2,±2時,|MN |取最小值5302. 拋物線專題練習一、選擇題(本大題共10小題,每小題5分,共50分 1.如果拋物線y 2=ax 的準線是直線x =-1,那么它的焦點坐標為( A .(1, 0B .(2, 0C .(3, 0D .(-1, 02.圓心在拋物線y 2=2x 上,且與x 軸和該拋物線的準線都相切的一個圓的方程是 ( A .x 2+ y 2-x -2 y -41=0 B .x 2+ y 2+x -2 y +1=0 C .x 2+ y 2-x -2 y +1=0 D .x 2+ y 2

22、-x -2 y +41=03.拋物線2x y =上一點到直線042=-y x 的距離最短的點的坐標是 ( A .(1,1B .(41,21 C .49,23( D .(2,44.一拋物線形拱橋,當水面離橋頂2m 時,水面寬4m ,若水面下降1m ,則水面寬為( 9A .6mB . 26mC .4.5mD .9m5.平面內(nèi)過點A (-2,0,且與直線x =2相切的動圓圓心的軌跡方程是 ( A . y 2=-2xB . y 2=-4xC .y 2=-8xD .y 2=-16x6.拋物線的頂點在原點,對稱軸是x 軸,拋物線上點(-5,m 到焦點距離是6,則拋物線的方程是( A . y 2=-2x B

23、 . y 2=-4x C . y 2=2xD . y 2=-4x 或y 2=-36x7.過拋物線y 2=4x 的焦點作直線,交拋物線于A(x 1, y 1 ,B(x 2, y 2兩點,如果x 1+ x 2=6,那么|AB|=( A .8B .10C .6D .48.把與拋物線y 2=4x 關于原點對稱的曲線按向量a 3,2(-=平移,所得的曲線的方程是( A .2(43(2-=-x yB .2(43(2+-=-x yC .2(43(2-=+x yD . 2(43(2+-=+x y 9.過點M (2,4作與拋物線y 2=8x 只有一個公共點的直線l 有( A .0條B .1條C .2條D .3條

24、10.過拋物線y =ax 2(a >0的焦點F 作一直線交拋物線于P 、Q 兩點,若線段PF 與FQ 的長分別是p 、q ,則qp 11+等于( A .2a B .a 21 C .4a D . a4二、填空題(本大題共4小題,每小題6分,共24分11.拋物線y 2=4x 的弦AB 垂直于x 軸,若AB 的長為43,則焦點到AB 的距離為 . 12.拋物線y =2x 2的一組斜率為k 的平行弦的中點的軌跡方程是 .13.P 是拋物線y 2=4x 上一動點,以P 為圓心,作與拋物線準線相切的圓,則這個圓一定經(jīng)過一個定點Q ,點Q 的坐標是 .14.拋物線的焦點為橢圓14922=+y x 的左

25、焦點,頂點在橢圓中心,則拋物線方程為 .三、解答題(本大題共6小題,共76分1015.已知動圓M 與直線y =2相切,且與定圓C :13(22=+y x 外切,求動圓圓心M 的軌跡方程.(12分16.已知拋物線的頂點在原點,對稱軸是x 軸,拋物線上的點M (-3,m 到焦點的距離等于5,求拋物線的方程和m 的值.(12分17.動直線y =a ,與拋物線x y 212=相交于A 點,動點B 的坐標是3,0(a ,求線段AB 中點M 的軌跡的方程.(12分18河上有拋物線型拱橋，當水面距拱橋頂 5 米時，水面寬為 8 米，一小船寬 4 米，高 2 米，載貨后船露出水面上的 部分高 0.75 米，問

26、水面上漲到與拋物線拱頂相距多少米時，小船開始不能通航？(12 分 19如圖，直線 l1 和 l2 相交于點 M，l1l2，點 Nl1以 A、B 為端點的曲線段 C 上的任一點到 l2 的距離與到點 N 的 距離相等 若AMN 為銳角三角形， |AM|= 分 ，|AN|=3， 且|BN|=6 建立適當?shù)淖鴺讼担?求曲線段 C 的方程 (14 20 已知拋物線 y = 2 px( p > 0 過動點 M a ， 且斜率為 1 的直線 l 與該拋物線交于不同的兩點 A、 | AB |£ 2 p （ 0） B， 2 （）求 a 的取值范圍； （）若線段 AB 的垂直平分線交 x 軸于點

27、 N，求 RtDNAB面積的最大值(14 分 參考答案 一選擇題（本大題共 10 小題，每小題 5 分，共 50 分） 題號 答案 1 A 2 D 3 A 4 B 5 C 6 B 7 A 8 C 9 C 10 C 二填空題（本大題共 4 小題，每小題 6 分，共 24 分） 112 12 x = k 4 13 （1，0） 14 y 2 = -4 5x 三、解答題（本大題共 6 題，共 76 分） 15 （12 分）解析：設動圓圓心為 M（x，y） ，半徑為 r，則由題意可得 M 到 C（0，-3）的距離與到直線 y=3 的距離 相等，由拋物線的定義可知：動圓圓心的軌跡是以 C（0，-3）為焦點

28、，以 y=3 為準線的一條拋物線，其方程為 x 2 = -12y 16 (12 分解析：設拋物線方程為 x = -2 py( p > 0 ，則焦點 F（ - 2 p ,0 ） ，由題意可得 2 ìm 2 = 6 p ìm = 2 6 ìm = -2 6 ï ，解之得 í 或í ， í 2 p m + (3 - 2 = 5 îp = 4 îp = 4 ï 2 î 故所求的拋物線方程為 x = -8 y ， m的值為± 2 6 2 17 （12 分）解析：設 M 的坐標為（

29、x，y） ，A（ 2a ， a ） ，又 B (0,3a 得 í 2 ìx = a 2 î y = 2a 消去 a ，得軌跡方程為 x = y2 2 ，即 y = 4 x 4 y O A' A x B 18 （12 分）解析：如圖建立直角坐標系， 設橋拱拋物線方程為 x 2 = -2 py( p > 0 ，由題意可知， B（4，-5）在拋物線上，所以 p = 1.6 ，得 x 2 = -3.2 y ， 當船面兩側和拋物線接觸時，船不能通航，設此時船面寬為 AA，則 A（ 2, y A ） ，由 2 2 = -3.2 y A 得 y A = - 又知船面露出水面上部分高為 075 米，所以 h = y A + 0.75=2 米 19(14 分 解析：如圖建立坐標系，以 l1 為 x 軸，MN 的垂直平分線為 y 軸，點 O 為坐標原點由題意可知：曲線 C 是以點 N 為焦點，以 l2 為準線的拋物線的一段，其中 A、B 分別為 C 的端點 設曲線段 C 的方程為 y 2 = 2 px( p > 0, ( xA £ x £ xB , y > 0 ， 其中 xA , xB 分別為 A、B 的橫坐標， p = MN 所