氫原子的薛定諤方程

1、一、氫原子的薛定諤方程一、氫原子的薛定諤方程reU024氫原子中電子的勢能函數(shù)氫原子中電子的勢能函數(shù)0)4(20222reEm定態(tài)定態(tài)薛定諤方程薛定諤方程222zyxr為使求解的問題變得簡便為使求解的問題變得簡便, ,通常采用球坐標通常采用球坐標 。),(rxyz）r電子電子原核子原核子12-6 量子力學中的氫原子問題量子力學中的氫原子問題拉普拉斯算符變?yōu)椋豪绽顾惴優(yōu)椋?2222222sin1)(sinsin1)(1rrrrrr設波函數(shù)為設波函數(shù)為)()()(),(rRr 代入薛定諤方程，采用分離變量法得到三個常代入薛定諤方程，采用分離變量法得到三個常微分方程。微分方程。 在解波函數(shù)時，

2、考慮到波函數(shù)應滿足的標準在解波函數(shù)時，考慮到波函數(shù)應滿足的標準條件，很自然地得到氫原子的量子化特征。條件，很自然地得到氫原子的量子化特征。（1 1）能量量子化）能量量子化同玻爾得到的氫原子的能量公式一致，但卻沒有認同玻爾得到的氫原子的能量公式一致，但卻沒有認為的假設。為的假設。 在求解在求解 得到氫原子能量必須滿足量子化條件為得到氫原子能量必須滿足量子化條件為)(rR22220422202416 .1318132nnhmenmeEn, 3 , 2 , 1n 稱為主量子數(shù)稱為主量子數(shù)nn =1 基態(tài)能量基態(tài)能量eV6 .131EeV6 .131EEn =2,3, 對應的對應的能量稱為激發(fā)態(tài)能量能

3、量稱為激發(fā)態(tài)能量eV40. 32EeV51. 13E當當n很大時，能級間隔消失而變?yōu)檫B續(xù)很大時，能級間隔消失而變?yōu)檫B續(xù)。 對應于電子被電離，對應于電子被電離，氫原子的電子電離能為：氫原子的電子電離能為：n當 ，0En11E232E3E454EE 說明角動量只能取由說明角動量只能取由 l 決定的一系列分立值，決定的一系列分立值，即角動量也是量子化的。即角動量也是量子化的。（2 2）軌道角動量量子化和角量子數(shù)）軌道角動量量子化和角量子數(shù) 處于能級處于能級 的原子的原子, ,其角動量共有其角動量共有 n 種可種可能值，即能值，即 , ,用用s, p, d,表示角表示角動量狀態(tài)。動量狀態(tài)。nEl=0,

4、 1,2,., n-1() 在求解角量在求解角量 為變量的函數(shù)所滿足的方程時，為變量的函數(shù)所滿足的方程時，進一步得到角動量量子化的結(jié)果。進一步得到角動量量子化的結(jié)果。,稱稱 為為角量子數(shù)角量子數(shù)，或或副量子數(shù)副量子數(shù)。l) 1( llL) 1(, 3 , 2 , 1nl氫原子內(nèi)電子的狀態(tài)氫原子內(nèi)電子的狀態(tài)n =1n =2n =3n =4n =5n =6l = 0 l = 1l = 5l = 4l = 3l = 2( s )( p )( h )( g )( f )( d )1s5f5d5p5s6s6p6d6f6g6h4s3s3p4f3d4p4d5g2p2s（3 3）軌道角動量空間量子化和磁量子數(shù)

5、）軌道角動量空間量子化和磁量子數(shù), lzmL lml,.,2, 1, 0 稱為稱為磁量子數(shù)磁量子數(shù)。對于一定的角量子數(shù)。對于一定的角量子數(shù) 可以取可以取 個值。個值。lmlml,) 1(2l 氫原子中電子繞核運動的角動量不僅大小取分氫原子中電子繞核運動的角動量不僅大小取分離值，其方向也有一定限制。若取外磁場離值，其方向也有一定限制。若取外磁場B的方向的方向為為 軸，角動量在軸，角動量在 軸上的投影軸上的投影 只能取只能取zLzz)(zBo226L2l角動量的空間角動量的空間量子化量子化 例例1 設氫原子處于設氫原子處于2p態(tài)，求氫原子的能量、角動量大小態(tài)，求氫原子的能量、角動量大小 及角動量的

6、空間取向。及角動量的空間取向。解解 ： 2p態(tài)表示態(tài)表示 n=2, l=1。得得eV40. 3eV26 .1322E角動量的大小為角動量的大小為2) 1(llL 當當l=1時，時，ml的可能值是的可能值是-1, 0, +1，角動量方向，角動量方向與外磁場的夾角可能值為：與外磁場的夾角可能值為：4324) 1(arccosllmleV6 .132nEn根據(jù)根據(jù)二、氫原子中電子的概率分布二、氫原子中電子的概率分布 要知道電子在氫原子中的分布，必須要知道要知道電子在氫原子中的分布，必須要知道定態(tài)波函數(shù)：定態(tài)波函數(shù)：),()(lmnlnlmYrR 稱為徑向函數(shù)；稱為徑向函數(shù)；)(rRnl),(lmY稱

7、為角分布函數(shù)。稱為角分布函數(shù)。以下給出前幾個函數(shù)：以下給出前幾個函數(shù)：02)1()(2300, 1arearR0202300, 2)2()21()(areararR0202301 , 23)21()(areararR角分布函數(shù)：角分布函數(shù)：410, 0Y) 1cos3(16520, 2Ycos430, 1YieYsin831, 1 為玻爾半徑為玻爾半徑0adrrRRdrrP24)(電子的徑向分布概率為電子的徑向分布概率為)(rP表示電子出現(xiàn)在表示電子出現(xiàn)在 至至 的球殼中的概率。的球殼中的概率。rdrr氫原子中電子徑向概率分布氫原子中電子徑向概率分布電子的角分布概率由電子的角分布概率由 決定。決定。 ),(lmY 與與 無關(guān)，表示角向概率密度對于無關(guān)，表示角向概率