第2章 章末復習

1、章末復習學習目標1.回顧梳理向量的有關概念，進一步體會向量的有關概念的特征.2.系統(tǒng)整理向量線性運算、數(shù)量積運算及相應的運算律和運算性質(zhì).3.體會應用向量解決問題的基本思想和基本方法.4.進一步理解向量的“工具”性作用1向量的運算：設a(x1，y1)，b(x2，y2).向量運算法則(或幾何意義)坐標運算向量的線性運算加法ab(x1x2，y1y2)減法ab(x1x2，y1y2)數(shù)乘(1)|a|a|；(2)當0時，a的方向與a的方向相同；當0時，a的方向與a的方向相反；當0時，a0a(x1，y1)向量的數(shù)量積運算a·b|a|b|cos (為a與b的夾角)規(guī)定0·a0，數(shù)量積的幾

2、何意義是a的模與b在a方向上的投影的積a·bx1x2y1y22兩個定理(1)平面向量基本定理定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實數(shù)1，2，使a1e12e2.基底：把不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底(2)向量共線定理如果有一個實數(shù)，使ba(a0)，那么b與a是共線向量；反之，如果b與a(a0)是共線向量，那么有且只有一個實數(shù)，使ba.3向量的平行與垂直a，b為非零向量，設a(x1，y1)，b(x2，y2)，ab有唯一實數(shù)使得ba(a0)x1y2x2y10aba·b0x1x2y1y201平面內(nèi)

3、的任何兩個向量都可以作為一組基底(×)提示平面內(nèi)不共線的兩個向量才可以作為一組基底2若向量和向量共線，則A，B，C，D四點在同一直線上(×)提示也可能ABCD.3若a·b0，則a0或b0.(×)4若a·b>0，則a和b的夾角為銳角；若a·b<0，則a和b的夾角為鈍角(×)提示當a，b同向共線時，a·b>0，但a和b的夾角為0.當a，b反向共線時，a·b<0，但a和b的夾角為.類型一向量的線性運算例1如圖所示，在ABC中，P是BN上的一點，若m，則實數(shù)m的值為_答案解析設，則m(m1

4、).與共線，(m1)0，m.反思與感悟向量共線定理和平面向量基本定理是進行向量合成與分解的核心，是向量線性運算的關鍵所在，常應用它們解決平面幾何中的共線、共點問題跟蹤訓練1如圖，在ABC中，E為線段AC的中點，試問在線段AC上是否存在一點D，使得，若存在，說明D點位置；若不存在，說明理由解假設存在D點，使得.()×.所以當點D為AC的三等分點時，.類型二向量的數(shù)量積運算例2已知a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，且|kab|akb|(k>0)(1)用k表示數(shù)量積a·b；(2)求a·b的最小值，并求出此時a與b的夾角的大小解(1)由|kab|a

5、kb|，得(kab)23(akb)2，k2a22ka·bb23a26ka·b3k2b2.(k23)a28ka·b(13k2)b20.|a|1，|b|1，k238ka·b13k20，a·b.(2)a·b.由對勾函數(shù)的單調(diào)性可知，f(k)在(0，1上單調(diào)減，在1，)上單調(diào)增，當k1時，f(k)minf(1)×(11)，此時a與b的夾角的余弦值cos ，又0°，180°，60°.反思與感悟數(shù)量積運算是向量運算的核心，利用向量數(shù)量積可以解決以下問題：(1)設a(x1，y1)，b(x2，y2)，abx1y

6、2x2y10，abx1x2y1y20.(2)求向量的夾角和模的問題設a(x1，y1)，則|a|.兩向量夾角的余弦值(0)cos .跟蹤訓練2已知向量(3，4)，(6，3)，(5m，(3m)(1)若點A，B，C能構成三角形，求實數(shù)m應滿足的條件；(2)若ABC為直角三角形，且A為直角，求實數(shù)m的值解(1)若點A，B，C能構成三角形，則這三點不共線，(3，4)，(6，3)，(5m，(3m)，(3，1)，(m1，m)，與不平行，3mm1，解得m，當實數(shù)m時滿足條件(2)若ABC為直角三角形，且A為直角，則，而(3，1)，(2m，1m)，3(2m)(1m)0，解得m.類型三向量坐標法在平面幾何中的應用

7、例3已知在等腰ABC中，BB，CC是兩腰上的中線，且BBCC，求頂角A的余弦值的大小解建立如圖所示的平面直角坐標系，設A(0，a)，C(c，0)，其中a>0，c>0，則B(c，0)，(0，a)，(c，a)，(c，0)，(2c，0)因為BB，CC為AC，AB邊上的中線，所以()，同理.因為，所以·0，即0，化簡得a29c2，又因為cos A.即頂角A的余弦值為.反思與感悟把幾何圖形放到適當?shù)淖鴺讼抵校唾x予了有關點與向量具體的坐標，這樣就能進行相應的代數(shù)運算和向量運算，從而解決問題這樣的解題方法具有普遍性跟蹤訓練3如圖，半徑為的扇形AOB的圓心角為120°，點C在

8、上，且COB30°，若，則_.答案解析由題意，得AOC90°，故以O為坐標原點，OC，OA所在直線分別為x軸，y軸建立平面直角坐標系，則O(0，0)，A(0，)，C(，0)，B(×cos 30°，×sin 30°)，即B.因為，所以(，0)(0，)，即則所以.1在菱形ABCD中，若AC2，則·_.答案2解析如圖，設對角線AC與BD交于點O，.··()202.2設四邊形ABCD為平行四邊形，|6，|4.若點M，N滿足3，2，則·_.答案9解析ABCD的圖象如圖所示，由題設知，··

9、;|2|2··×36×169.3已知向量a(2，3)，b(1，2)，若ma4b與a2b共線，則m的值為_答案2解析ma4b(2m4，3m8)，a2b(4，1)ma4b與a2b共線，(2m4)×(1)(3m8)×40，解得m2.4若向量(1，3)，|，·0，則|_.答案2解析由題意可知，AOB是以O為直角頂點的等腰直角三角形，且腰長|，由勾股定理得|2.5平面向量a(，1)，b，若存在不同時為0的實數(shù)k和t，使xa(t23)b，ykatb，且xy，試求函數(shù)關系式kf(t)解由a(，1)，b，得a·b0，|a|2，|b

10、|1，由xy，得a(t23)b·(katb)0，ka2ta·bk(t23)a·bt(t23)b20，即4kt33t0，所以k(t33t)，令f(t)(t33t)，所以函數(shù)關系式為kf(t)(t33t)1由于向量有幾何法和坐標法兩種表示方法，它的運算也因為這兩種不同的表示方法而有兩種方式，因此向量問題的解決，理論上講總共有兩個途徑，即基于幾何表示的幾何法和基于坐標表示的代數(shù)法，在具體做題時要善于從不同的角度考慮問題2向量是一個有“形”的幾何量，因此，在研究向量的有關問題時，一定要結合圖形進行分析判斷求解，這是研究平面向量最重要的方法與技巧一、填空題1設向量a(2，4

11、)與向量b(x，6)共線，則實數(shù)x為_答案3解析ab，2×64x0，x3.2在平面直角坐標系xOy中，已知四邊形ABCD是平行四邊形，(1，2)，(2，1)，則·_.答案5解析四邊形ABCD為平行四邊形，(1，2)(2，1)(3，1)，·2×3(1)×15.3若平面向量b與向量a(1，2)的夾角是180°，且|b|3，則b_.答案(3，6)解析設bka(k，2k)，k0，而|b|3，則3，k3，b(3，6)4已知a(2，3)，b(1，4)，c(5，6)，那么(a·b)·c_.答案(50，60)解析因為a·

12、b(2，3)·(1，4)21210，所以(a·b)c10(5，6)(50，60)5若|a|1，|b|2，a與b的夾角為60°，若(3a5b)(mab)，則m的值為_答案解析由題意知(3a5b)·(mab)3ma2(5m3)a·b5b20，即3m(5m3)×2×cos 60°5×40，解得m.6若(sin ，1)，(2sin ，2cos )，其中，則|的最大值為_答案3解析(sin ，2cos 1)| ，當cos 1，即0時，|取得最大值3.7已知e1，e2是平面單位向量，且e1·e2.若平面向量

13、b滿足b·e1b·e21，則|b|_.答案解析因為|e1|e2|1且e1·e2.所以e1與e2的夾角為60°.又因為b·e1b·e21，所以b·e1b·e20，即b·(e1e2)0，所以b(e1e2)所以b與e1的夾角為30°，所以b·e1|b|·|e1|cos 30°1.|b|.8已知A，B是圓心為C，半徑為的圓上的兩點，且|AB|，則·_.答案解析由弦長|AB|，可知ACB60°，··|cosACB.9單位圓上三點A，B，

14、C滿足0，則向量，的夾角為_答案120°解析A，B，C為單位圓上三點，|1，又0.2()2222·，可得cos，.又，0°，180°，向量，的夾角為120°.10在ABC中，點O在線段BC的延長線上，且|3|，當xy時，xy_.答案2解析由|3|，得3，則，所以().所以x，y，所以xy2.11已知向量a(1，1)，b(1，1)，設向量c滿足(2ac)·(3bc)0，則|c|的最大值為_答案解析將2a，3b，c的起點都移到坐標原點，如圖(2ac)·(3bc)0，即ACBC.又ab，即OAOB，O，A，C，B共圓|c|的最大值

15、即為圓的直徑AB.二、解答題12已知(1，0)，(0，1)，(t，t)(tR)，O是坐標原點(1)若A，B，M三點共線，求t的值；(2)當t取何值時，·取到最小值？并求出最小值解(1)(1，1)，(t1，t)A，B，M三點共線，與共線，t(t1)0，t.(2)(1t，t)，(t，1t)，·2t22t22，易知當t時，·取得最小值.13如圖，在同一平面內(nèi)，AOB150°，AOC120°，|2，|3，|4.(1)用和表示；(2)若，求的值解由題意，得BOC90°，以OC所在的直線為x軸，以BO所在的直線為y軸建立平面直角坐標系，如圖所示，

16、則O(0，0)，A(1，)，B(0，3)，C(4，0)(1)設12，則(1，)1(0，3)2(4，0)(42，31)，1，2，.(2)設D(x，y)，(x1，y)(5，)，D(51，)，(51，3)·0，(51)×5(3)×()0，解得.三、探究與拓展14已知向量與的夾角為120°，且|3，|2.若，且，則實數(shù)的值為_答案解析，·()·()2(1)·29(1)×3×2×40，.15在RtABC中，已知A90°，BCa，若長為2a的線段PQ以點A為中點，問與的夾角取何值時，·的值最大？并求出這個最大值解方法一如圖，·0.，·()·()····a2··0a2·()a2·a2a2cos .故當cos 1，即0°(與方向相同)時，·的值最大，其最大值為0.方法二以直角頂點A