第15講泰勞公式2009

1、第15講泰勒公式授課題目泰勒公式教學(xué)內(nèi)容1. 帶佩亞諾余項和帶拉格朗日余項的泰勒公式；2. 帶佩亞諾余項和帶拉格朗日余項的麥克勞林公式；3. 六個常見函數(shù)的麥克勞林公式；泰勒公式的應(yīng)用.教學(xué)目的和要求通過本次課的教學(xué)，使學(xué)生能較好地了解帶佩亞諾余項和帶拉格朗日余項的泰勒公式和麥克勞林公式，熟記六個常見函數(shù)的麥克勞林公式，會應(yīng)用泰勒公式計算某些型極限和函數(shù)的近似值教學(xué)重點及難點教學(xué)重點：佩亞諾余項和帶拉格朗日余項的泰勒公式、麥克勞林公式，六個常見函數(shù)的麥克勞林公式；教學(xué)難點：佩亞諾余項和帶拉格朗日余項的泰勒公式、麥克勞林公式.教學(xué)方法及教材處理提示(1) 從函數(shù)的多項式逼近的角度，引入函數(shù)的泰勒

2、多項式概念，進而引出帶佩亞諾余項本的泰勒公式、麥克勞林公式(2) 以例題的形式講授六個常見函數(shù)的麥克勞林公式，并要求學(xué)生熟記這六個式子.可以采用老師一邊講，學(xué)生一邊練的互動方式進行授課.(3) 泰勒公式的應(yīng)用十分廣泛，本講只應(yīng)用泰勒公式來討論極限問題和函數(shù)的近似計算問題.(4) 本節(jié)的難點是掌握帶佩亞諾余項和帶拉格朗日余項的泰勒公式、麥克勞林公式的證明對較好學(xué)生可要求掌握證明的方法作業(yè)布置作業(yè)內(nèi)容：教材 :1（2，3），2（1），3（1，2），5（1）.講授內(nèi)容一 、帶有佩亞諾型余項的泰勒公式 由微分概念知：在點可導(dǎo)，則有 即在點附近，用一次多項式逼近函數(shù)時，其誤差為()的高階無窮小量然而在很

3、多場合，取一次多項式逼近是不夠的，往往需要用二次或高于二次的多項式去逼近，并要求誤差為，其中為多項式的次數(shù)為此，我們考察任一次多項式 (1)逐次求它在點處的各階導(dǎo)數(shù)，得到 ，即由此可見，多項式的各項系數(shù)由其在點的各階導(dǎo)數(shù)值所唯一確定 對于一般函數(shù)，設(shè)它在點存在直到階的導(dǎo)數(shù)由這些導(dǎo)數(shù)構(gòu)造一個次多項式（2）稱為函數(shù)在點處的泰勒(Taylor)多項式，的各項系數(shù)1，2，)稱為泰勒系數(shù)由上面對多項式系數(shù)的討論，易知與其泰勒多項式在點有相同的函數(shù)值和相同的直至階導(dǎo)數(shù)值，即（3）下面將要證明，即以(2)式所示的泰勒多項式逼近時，其誤差為關(guān)于的高階無窮小量定理68 若函數(shù)在點存在直至階導(dǎo)數(shù)，則有 （4）證：

4、設(shè) (現(xiàn)在只要證 由關(guān)系式(3)可知，并易知因為存在，所以在點的某鄰域U()內(nèi)存在1階導(dǎo)函數(shù)于是，當(dāng)且時，允許接連使用洛必達法則1次，得到 定理所證的(4)式稱為函數(shù)在點處的泰勒公式，稱為泰勒公式的余項，形如的余項稱為佩亞諾(Peano)型余項所以(4)式又稱為帶有佩亞諾型余項的泰勒公式注1 若在點附近滿足 （5）注2 滿足(5)式要求(即帶有佩亞諾型誤差)的n次逼近多項式是唯一的 以后用得較多的是泰勒公式(4)在時的特殊形式： （6）它也稱為(帶有佩亞諾余項的)麥克勞林(Maclaurin)公式例1 驗證下列函數(shù)的麥克勞林公式： (2)(4) ；(6) 證：這里只驗證其中兩個公式，其余請讀者

5、自行證明(2) 設(shè)，由于，因此代人公式(6)，便得到的麥克勞林公式由于這里有，因此公式中的余項可以寫作，也可以寫作)關(guān)于公式3)中的余項可作同樣說明設(shè)因此代人公式(6)，便得的麥克勞林公式例2 寫出的麥克勞林公式，并求與解：用替換公式1)中的，便得根據(jù)定理68注2，知道上式即為所求的麥克勞林公式 由泰勒公式系數(shù)的定義，在上述的麥克勞林公式中，與的系數(shù)分別為由此得到例3 求在處的泰勒公式解：由于因此例 4 求極限.解：本題可用洛必達法則求解(較繁瑣)，在這里可應(yīng)用泰勒公式求解考慮到極限式的分母為，我們用麥克勞林公式表示極限的分子(取，并利用例2)：因而求得二 、帶有拉格朗日型余項的泰勒公式上面我

6、們從微分近似出發(fā)，推廣得到用次多項式逼近函數(shù)的泰勒公式（4）。它的佩亞諾型余項只是定性地告訴我們：當(dāng)時，逼近誤差是較高階的無窮小量。現(xiàn)在我們將泰勒公式構(gòu)造一個定量形式的余項，以便于對逼近誤差進行具體的計算或估計。定理 6.9 （泰勒定理）若函數(shù)在上存在直至階的連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，在內(nèi)存在階導(dǎo)函數(shù)，則對任意給定的，至少存在一點，使得證：作輔助函數(shù)所要證明的(7)式即為或.不妨設(shè),則與在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且又因，所以由柯西中值定理證得其中.它的余項為稱為拉格朗日型余項所以稱為帶有拉格朗日型余項的泰勒公式。當(dāng)時，得到也稱為(帶有拉格朗日余項的)麥克勞林公式例5 把例1中六個麥克勞林公式改寫為帶有拉格朗日型余項的形式解：(1)，由，得到 (2) 由得