（通用版）中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講與練25《圖形的相似與位似》精講精練（教師版）

1、第五章圖形的相似與解直角三角形第一節(jié)圖形的相似與位似圖形相似的判定及性質(zhì)1.如圖，ABC中，A78°，AB4，AC6.將ABC沿圖示中的虛線剪開(kāi)，剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是(C),A),B),C),D)2.在研究相似問(wèn)題時(shí)，甲、乙同學(xué)的觀點(diǎn)如下：甲：將邊長(zhǎng)為3，4，5的三角形按圖的方式向外擴(kuò)張，得到新三角形，它們的對(duì)應(yīng)邊間距均為1，則新三角形與原三角形相似.圖 圖乙：將鄰邊為3和5的矩形按圖的方式向外擴(kuò)張，得到新矩形，它們的對(duì)應(yīng)邊間距均為1，則新矩形與原矩形不相似.對(duì)于兩人的觀點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是(A)A.兩人都對(duì) B.兩人都不對(duì) C.甲對(duì)，乙不對(duì) D.甲不對(duì)，乙對(duì)圖形的位

2、似3.圖中兩個(gè)四邊形是位似圖形，它的位似中心是(D)A.點(diǎn)M B.點(diǎn)N C.點(diǎn)O D.點(diǎn)P4.若如圖所示的兩個(gè)四邊形相似，則的度數(shù)是(A)A.87° B.60° C.75° D.120°5.如圖，在ABC中，C90°，點(diǎn)D，E分別在邊AC，AB上，若BADE，則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是(D)B和A互為補(bǔ)角；A和ADE互為余角；ABCADE；如果AB2AD，則SADESABC14；ABC與ADE位似.A.4 B.2 C.1 D.36.如圖，在ABC中，D，E，F(xiàn)分別是邊AB，AC，BC上的點(diǎn)，DEBC，EFAB，且ADDB35，那么CFCB等于(A)

3、A.58 B.38 C.35 D.257.如圖，在ABCD中，AB6，AD9，BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，BGAE于點(diǎn)G，BG4，則EFC的周長(zhǎng)為(D)A.11 B.10 C.9 D.88.在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(2，0)，B(0，4)，C(0，3)，過(guò)C作直線交x軸于D，使以D，O，C為頂點(diǎn)的三角形與AOB相似.這樣的直線最多可以作(C)A.2條 B.3條 C.4條 D.6條9.如圖，在正方形ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，G，F(xiàn)分別為AD，BC邊上的點(diǎn)，若AG1，BF2，GEF90°，則GF的長(zhǎng)為(D)A.4 B.2 C.5 D.310.下列四組圖形中，一定相

4、似的是(D)A.正方形與矩形 B.正方形與菱形C.菱形與菱形 D.正五邊形與正五邊形11.如圖，點(diǎn)B在線段AC上，點(diǎn)D，E在AC同側(cè)，AC90°，BDBE，ADBC.(1)求證：ACADCE；(2)若AD3，CE5，點(diǎn)P為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，連接DP，作PQDP，交直線BE于點(diǎn)Q.若點(diǎn)P與A，B兩點(diǎn)不重合，求的值.解：(1)AC90°，DBBE，ADBABD90°，ABDEBC90°.ADBEBC.又ADBC，ADBCBE(ASA)，ABCE.ACBCABADCE；(2)過(guò)點(diǎn)Q作QHBC于點(diǎn)H.則ADPHPQ，BHQBCE，.設(shè)APx，QHy，則有，BH，

5、PH5x，即(x5)·(3y5x)0.又點(diǎn)P不與A，B重合，x5，即x50.3y5x0，即3y5x.12.如圖，E是線段BC的中點(diǎn)，分別以B，C為直角頂點(diǎn)的EAB和EDC均是等腰直角三角形，且在BC的同側(cè).(1)AE和ED的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)；AE和ED的位置關(guān)系為_(kāi)；(2)在圖中，以點(diǎn)E為位似中心，作EGF與EAB位似，H是BC所在直線上的一點(diǎn)，連接GH，HD，分別得到圖和圖.在圖中，點(diǎn)F在BE上，EGF與EAB的相似比是12，H是EC的中點(diǎn)，求證：GHHD，GHHD.在圖中，點(diǎn)F在BE的延長(zhǎng)線上，EGF與EAB的相似比是k1，若BC2，請(qǐng)直接寫出CH的長(zhǎng)為多少時(shí)，恰好使得GHHD且GH

6、HD.(用含k的代數(shù)式表示)解：(1)AEED；AEED；(2)由題意，得BC90°，ABBEECDC.EGF與EAB的相似比為12，GFEB90°，GFAB，EFEB，GFEC.H是EC的中點(diǎn)，EHHCEC，GFHC，F(xiàn)HFEEHEBECBCECCD，HGFDHC.GHHD，GHFHDC.HDCDHC90°，GHFDHC90°.GHD90°，GHHD；GHHD，GHHD，F(xiàn)HGDHC90°.FHGFGH90°，F(xiàn)GHDHC.在FGH和CHD中，GFHHCD.FGCH.EFFG，EFCH.EGF與EAB的相似比是k1，BC2

7、，BEEC1，EFk，CH的長(zhǎng)為k.中考考點(diǎn)清單比例的相關(guān)概念及性質(zhì)1.線段的比：兩條線段的比是兩條線段的_長(zhǎng)度_之比.2.比例中項(xiàng)：如果，即b2_ac_，我們就把b叫做a，c的比例中項(xiàng).3.比例的性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容性質(zhì)1_ad_bc(a，b，c，d0).性質(zhì)2如果，那么.性質(zhì)3如果(bdn0)，則_(不唯一)_.4.黃金分割：如果點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段，使_，那么點(diǎn)C叫做線段AC的_黃金分割點(diǎn)_，AC是BC與AB的比例中項(xiàng)，AC與AB的比叫做_黃金比_.相似三角形的判定及性質(zhì)5.定義：對(duì)應(yīng)角_相等_，對(duì)應(yīng)邊_成比例_的兩個(gè)三角形叫做相似三角形，相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比.6.性質(zhì)：(1)相

8、似三角形的_對(duì)應(yīng)角_相等；(2)相似三角形的對(duì)應(yīng)線段(邊、高、中線、角平分線)成比例；(3)相似三角形的周長(zhǎng)比等于_相似比_，面積比等于_相似比的平方_.7.判定：(1)_有兩角_對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似；(2)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且_夾角_相等，兩三角形相似；(3)三邊_對(duì)應(yīng)成比例_，兩三角形相似；(4)兩直角三角形的斜邊和一條直角邊_對(duì)應(yīng)成比例_，兩直角三角形相似.【方法技巧】判定三角形相似的幾條思路：(1)條件中若有平行線，可采用相似三角形的判定(1)；(2)條件中若有一對(duì)等角，可再找一對(duì)等角用判定(1)或再找?jiàn)A邊成比例用判定(2)；(3)條件中若有兩邊對(duì)應(yīng)成比例，可找?jiàn)A角相等；(4)條件中若有

9、一對(duì)直角，可考慮再找一對(duì)等角或證明斜邊、直角邊對(duì)應(yīng)成比例；(5)條件中若有等腰條件，可找頂角相等，或找一個(gè)底角相等，也可找底和腰對(duì)應(yīng)成比例.【易錯(cuò)警示】應(yīng)注意相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，若已知ABCDEF，列比例關(guān)系式時(shí)，對(duì)應(yīng)字母的位置一定要寫正確，才能得到正確的答案.如：，此式正確.那么想一想，哪種情況是錯(cuò)誤的呢？請(qǐng)舉例說(shuō)明.相似多邊形8.定義：對(duì)應(yīng)角_相等_，對(duì)應(yīng)邊_成比例_的兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形，相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比叫做它們的相似比.9.性質(zhì)：(1)相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊_成比例_；(2)相似多邊形的對(duì)應(yīng)角_相等_；(3)相似多邊形周長(zhǎng)的比_等于_相似比，相似多邊形面積的比等于_相似比的平

10、方_.位似圖形10.定義：如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形而且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊互相平行(或在同一條直線上)，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做_位似圖形_，這個(gè)點(diǎn)叫做_位似中心_，相似比叫做位似比.11.性質(zhì)：(1)在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于_k或k_；(2)位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于_位似比或相似比_.12.找位似中心的方法：將兩個(gè)圖形的各組對(duì)應(yīng)點(diǎn)連接起來(lái)，若它們的直線或延長(zhǎng)線相交于一點(diǎn)，則該點(diǎn)即是_位似中心_.13.畫位似圖形的步驟：(1)確定_位似中心_；(2)確定原圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；(3)確定_位似比_，

11、即要將圖形放大或縮小的倍數(shù)；(4)作出原圖形中各關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)；(5)按原圖形的連接順序連接所作的各個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn).中考重難點(diǎn)突破比例的性質(zhì)【例1】已知，且3a2bc20，則2a4bc的值為_(kāi).【解析】比例的性質(zhì)中常見(jiàn)題型，把a(bǔ)，b，c用含有相同字母的式子表達(dá)出來(lái)，再代入解方程即可.【答案】61.若xy13，2y3z，則的值是(A)A.5 B. C. D.5相似三角形的判定與性質(zhì)【例2】如圖，在RtABC中，ACB90°，AC6 cm，BC8 cm，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)，在BA邊上以每秒3 cm的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)C出發(fā)，在CB邊上以每秒2 cm的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t s，

12、連接MN.(1)如圖，若BMN與ABC相似，求t的值；(2)如圖，連接AN，CM，若ANCM，求t的值.【解析】(1)BMN與ABC相似，分兩種情況：BMNBAC和BMNBCA，得對(duì)應(yīng)線段成比例，求得t的值；(2)過(guò)點(diǎn)M作MDBC于點(diǎn)D，把BM，DM，BD，CN用t表示后，CD就可用t表示，證得CANDCM，得對(duì)應(yīng)線段成比例，得關(guān)于t的方程，求出t的值.解：(1)由題意知BA10(cm)，BM3t cm，CN2t cm，BN(82t)cm.當(dāng)BMNBAC時(shí)，有，解得t；當(dāng)BMNBCA時(shí)，有，解得t.當(dāng)BMN與ABC相似時(shí)，t的值為或；(2)如圖，過(guò)點(diǎn)M作MDCB于點(diǎn)D.由題意得BM3t cm，

13、CN2t cm，DMBM·sinB3t·t(cm)，BDBM·cosB3t·t(cm)，CDcm.ANCM，ACB90°，CANACM90°，MCDACM90°，CANMCD.MDCB，MDCACB90°，CANDCM.，解得t.2.如圖，不等長(zhǎng)的兩對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，且將四邊形ABCD分成甲、乙、丙、丁四個(gè)三角形，若OAOCOBOD12，則關(guān)于這四個(gè)三角形的關(guān)系，下列敘述中正確的是(B)A.甲、丙相似，乙、丁相似B.甲、丙相似，乙、丁不相似C.甲、丙不相似，乙、丁相似D.甲、丙不相似，乙、丁不相似3.如圖

14、，在ABC中，D，E分別為AB，AC邊的中點(diǎn)，求證：DE綊BC.證明：D是AB的中點(diǎn)，E是AC的中點(diǎn)，.又AA，ADEABC.，ADEB，BC2DE，BCDE，即DE綊BC.位似圖形【例3】如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，邊OA在x軸上，OC在y軸上，如果矩形OABC與矩形OABC關(guān)于點(diǎn)O位似，且矩形OABC的面積等于矩形OABC面積的，那么點(diǎn)B的坐標(biāo)是(D)A.(2，3) B.(2，3)C.(3，2)或(2，3) D.(2，3)或(2，3)【解析】在第二象限與第四象限分別能畫出符合條件的矩形OABC.【答案】D4.如圖，OAB與OCD是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，相似比

15、為12，OCD90°，COCD.若B(1，0)，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(B)A.(1，2) B.(1，1) C.(，) D.(2，1)第五章圖形的相似與解直角三角形第一節(jié)圖形的相似與位似1.若，則的值為(D)A.1 B. C. D.2.在ABC中，MNBC 分別交AB，AC于點(diǎn)M，N；若AM1，MB2，BC3，則MN的長(zhǎng)為(A)A.1 B.2 C. D.33.如圖，點(diǎn)P在ABC的邊AC上，要判斷ABPACB，添加一個(gè)條件不正確的是(D)A.ABPC B.APBABC C. D.4.如圖，已知直線abc，直線m交直線a，b，c于點(diǎn)A，B，C，直線n交直線a，b，c于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，若，則(B)A

16、. B. C. D.15.如圖，在ABC中，C90°，BC6，D，E分別在AB，AC上，將ABC沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A處，若A為CE的中點(diǎn)，則折痕DE的長(zhǎng)為(B)A. B.2 C.3 D.46.ABC與DEF的相似比為14，則ABC與DEF的周長(zhǎng)比為(C)A.12 B.13 C.14 D.1167.如圖，點(diǎn)F在平行四邊形ABCD的邊AB上，射線CF交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，在不添加輔助線的情況下，與AEF相似的三角形有(C)A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)8.如圖，ABC中，AD是中線，BC8，BDAC，則線段AC的長(zhǎng)為(B)A.4 B.4 C.6 D.49.如圖，在平面直角坐

17、標(biāo)系中，每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)均為1.AOB與AOB是以原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，且相似比為32，點(diǎn)A，B都在格點(diǎn)上，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是_.10.如圖，四邊形ABCD與四邊形EFGH相似，位似中心是點(diǎn)O，則_.11.若ABC與DEF相似且面積之比為2516，則ABC與DEF的周長(zhǎng)之比為_(kāi)54_.12.如圖，在ABC中，中線BE，CD相交于點(diǎn)O，連接DE，下列結(jié)論：；.其中正確的個(gè)數(shù)有(B)A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)13.)如圖，在ABC中，BF平分ABC，AFBF于點(diǎn)F，D為AB的中點(diǎn)，連接DF延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)E.若AB10，BC16，則線段EF的長(zhǎng)為(B)A.2 B.3 C.4 D.514

18、.如圖，ABC內(nèi)接O，AB是O的直徑，B30°，CE平分ACB交O于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)D，連接AE，則SADESCDB的值等于(D)A.1 B.1 C.12 D.2315.如圖，若A，B，C，P，Q和甲、乙、丙、丁都是方格紙中的格點(diǎn)，為使PQRABC，則點(diǎn)R應(yīng)是甲、乙、丙、丁四點(diǎn)中的(C)A.甲 B.乙 C.丙 D.丁16.如圖，在6×8網(wǎng)格圖中，每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)O和ABC的頂點(diǎn)均為小正方形的頂點(diǎn).(1)以O(shè)為位似中心，在網(wǎng)格圖中作ABC，使ABC和ABC位似，且位似比為12；(2)連接(1)中的AA，求四邊形AACC的周長(zhǎng).(結(jié)果保留根號(hào))解：(1)如圖；(2)46.17.如圖，已知ABC和DEC的面積相等，點(diǎn)E在BC邊上，DEAB交AC于點(diǎn)F，AB12，EF9，則DF的長(zhǎng)是多少？解：ABC