信號(hào)與系統(tǒng)課后習(xí)題答案—第1章

1、第1章習(xí)題答案1-1 題1-1圖所示信號(hào)中，哪些是連續(xù)信號(hào)？哪些是離散信號(hào)？哪些是周期信號(hào)？哪些是非周期信號(hào)？哪些是有始信號(hào)？解： 連續(xù)信號(hào)：圖（a）、（ c）、（ d）;離散信號(hào)：圖（b）;周期信號(hào)：圖（d）;非周期信號(hào)：圖（a）、（ b）、（ c）;有始信號(hào)：圖（a）、（ b）、（ c）。1 2已知某系統(tǒng)的輸入f（t）與輸出y的關(guān)系為y（t）=|f（t） ,試判定該系統(tǒng)是否為線性時(shí)不變系統(tǒng)。解： 設(shè)T為此系統(tǒng)的運(yùn)算子，由已知條件可知：y（t尸邛（t）二|f（t）|,以下分別判定此系統(tǒng)的線性和時(shí)不變性線性1）可加性不失一般性，設(shè) f（t）=f 1（t）+f 2（t）,則y1（t尸邛 1（t）

2、=f 1（t）|, y2（t-邛 2（t）=f 2（t）|, y（t尸邛=Tf1（t）+f 2（t）=f 1（t）+f 2（t）| ,而|f1（t）l + |f2產(chǎn) |f1（t）+f2（t）|即在f1一 y1（t）、f2y2（t）前提下，不存在f1（t） + f2y1（t）+ y2（t）,因此系統(tǒng)不具備可加性。由此，即足以判定此系統(tǒng)為一非線性系統(tǒng)，而不需在判定系統(tǒng)是否具備齊次性特性。2）齊次性由已知條件,y（t尸Tf（t）=|f（t）| ,則 Taf=af（t）| 用f（t）|=ay（t） （其中 a 為任一常數(shù)）即在f一y前提下，不存在af（t）一ay（t）,此系統(tǒng)不具備齊次性，由此亦可判定

3、此系統(tǒng)為一非線性系統(tǒng)時(shí)不變特性由已知條件 y（t）=Tf（t）=|f（t）| ,則 y（t-t o）=Tf（t-t o）=|f（t-t o）|,即由f一y（t）,可推出f（t-to）-y（t-t 0）,因此，此系統(tǒng)具備時(shí)不變特性。依據(jù)上述、兩點(diǎn)，可判定此系統(tǒng)為一非線性時(shí)不變系統(tǒng)。1-3判定下列方程所表示系統(tǒng)的性質(zhì)df(t)t ,''''(a) y(t) d- f(x)dx (b) y (t) 2y (t) 3y(t) = f (t) f(t-2) dt0(c) y (t) 2ty (t) 2y(t) =3f(t)(d) y (t)2 y(t) = f(t)解：(

4、a)線性1)可加性y(t)=df(t)dttyi(t) =ft)： fi(x)dx+ 0f (x)dx 可得dd(t)ty2(t)=-r-)+f0f2(x)dx、 dt 0即 fi(t) > yi(t)則即fi(t) > yi(t)dfi (t)tyi y2二 k0fi(x)dx f( dttdt0f23dx =fi(t)f2(t)0fi(x) f2(x)dx即在 fi(t)T yi(t)、fz(t)T y2(t)前提下,有 fi(t)+ fz(t)T yi(t)+ yz(t),因此系統(tǒng)具備可加性2)齊次性由f (t) T y(t)即y(t);df+f f (x)dx ,設(shè)a為任一

5、常數(shù)，可得 dt 0dtdtaf(t)0af(x)2 adf(t)dtt .df (t) t ,a 0 f(x)dx = a-dp0 f (x)dx = ay(t)即af(t)T ay(t),因此，此系統(tǒng)亦具備齊次性 由上述i)、2)兩點(diǎn)，可判定此系統(tǒng)為一線性系統(tǒng)時(shí)不變性f(t)T y(t)具體表現(xiàn)為：y(t)= df + 1 f (x)dxdt 0將方程中得f(t)換成f(t-t 0)、y(t)換成y(t-t 0) (t0為大于0的常數(shù))，df (t -t0)t即 y(tt。)f(x-tc)dxdt0df (t -t0)-設(shè) x -片=t ,則 dx = d ,因此 y(t t0)=+. f

6、 G)dwdt%df (t -t0)t-to也可寫(xiě)成 y(tt0)=+L f(x)dx,dt-to只有f(t)在t=o時(shí)接入系統(tǒng)，才存在f(tto)T y(tto),當(dāng)f(t)在two時(shí)接入系統(tǒng)，不存在f(tto)T y(t -to),因此，此系統(tǒng)為一時(shí)變系統(tǒng)。依據(jù)上述、，可判定此系統(tǒng)為一線性時(shí)變系統(tǒng)。(b)線性1)可加性''''在由y (t)+2y (t)+3y=f (t) + f (t 2)規(guī)定的f(t)T y對(duì)應(yīng)關(guān)系的前提下，可得yi (t)2y1(t)3y© =fi (t)fi(t - 2)y2 (t)2y2(t)3y2(t) =f?(t)f?

7、。-2)二yi(t)y2(t)2yi(t)y2(t)3yi(t)y2(t)= fi(t)f2(t)fi(t-2)f2(t-2)fi(t)T yi(t) I 可推出、，小,即由工小" fi(t)+f2(t)T yi(t) + y2(t),系統(tǒng)滿(mǎn)足可加性f2(t) > y2(t)2)齊次性''/*、'/*、，'/由 f (t) T y(t),即 y (t) + 2y (t) + 3y(t) = f (t) + f (t 2),兩邊同時(shí)乘以常數(shù) a,有ay (t) 2y(t) 3y(t) = a f (t) f (t - 2)二ay(t)2ay(t)3

8、ay(t) = af (t) af (t - 2)即af(t)T ay(t),因此，系統(tǒng)具備齊次性。由i)、2)可判定此系統(tǒng)為一線性系統(tǒng)時(shí)不變性分別將y(t -10)和f (t -t0) (to為大于0的常數(shù))代入方程y (t) 2y (t) 3y(t)= f (t) f(t-2) 左右兩邊，則學(xué)習(xí)幫手左邊=,2，、d y(t -to)dt22 dy(t to)dt3y(t -t。)右邊=f1 3 f(tto2)=-ddy(t -to) 2d y(t - to) - 3y(t - to)dtd(t -to) d(t -to)d(t -to)d(t -to)y(t-to) =-y(t -to),

9、dtd(t -to)d(t-to)d 2y(t-to) =3y(t-t。)dt所以，右邊=d2y(t -to)dt22dy(t -to)dt+ 3y(t t。)=左邊，故系統(tǒng)具備時(shí)不變特性。依據(jù)上述、,可判定此系統(tǒng)為一線性時(shí)不變系統(tǒng)(c)線性1)可加性在由式y(tǒng)''(t)+2ty'(t)+2y(t) =3f (t)規(guī)定的f (t) t y(t)對(duì)應(yīng)關(guān)系的前提下，可得'''_、yi (t)+2tyi (t)+2yi(t)=3fi(t), 'y2 (t)+2ty2 (t)+2y2(t)=3fz(t)J兩式相加'''.&#

10、39;.'一> yi (t)y2 (t)+ 2tyi (t)+ 2ty2 (t) 2yi(t)2y?(t) = 3fi(t)+3f?(t)”yi(t)+y2(t) +2tyi(t)+y2(t) +2yi(t)+y2(t)=3fi(t)+ f2 (t)即系統(tǒng)滿(mǎn)即在 f1(t)T y1(t)、f2(t)T y2(t)的前提下，有式 f1(t) + f2(t)T y1(t)+y2(t)存在,足可加性。2)齊次性由 f(t)T y(t),即 y''(t)+2ty'(t)+2y(t)=3f(t),兩邊同時(shí)乘以常數(shù) a,有ay (t) +2aty (t) +2ay(t

11、) =3af(t)= ay(t) +2tay(t) + 2ay(t) = 3af (t),即有af(t)T ay(t),因此，系統(tǒng)具備齊次性。依據(jù)上述1)、2),此系統(tǒng)為一線性系統(tǒng)。時(shí)不變性分另IJ將y(t _t0)和f (t _t0)(to為大于。的常數(shù))代入方程y (t) + 2ty (t) +2y(t) =3f (t)左右兩邊，則d2,、c d ,、c ,、dtdt左邊=y(t -to)2t y(t-to)2y(t -to)右邊=3f (t 3尸 d y(t-to) 2(t 角春 y(t-to) 2y(t-to)d ,、d2 y(t -to) +2(t -to)一 y(t -to) +2

12、y(t -to)豐右邊dtdt因此，系統(tǒng)是時(shí)變的。依據(jù)上述、，可判定此系統(tǒng)為一線性時(shí)變系統(tǒng)。(d)線性1)可加性yi,叫了(一_ y2(t)2y2(t) = f2(t)在由式y(tǒng)'(t)2 +y(t)= f(t)規(guī)定的f (t) t y(t)對(duì)應(yīng)關(guān)系的前提下，可得兩式相加'2'2yi (t)2y2 (t)2 yi(t)y2(t) = fi(t)fz(t)而不是: yi(t) + y2(t)'2 +yi(t) + y2(t) = fi(t) + fz(t)即在 fi(t) ->yi (t)>f2(t)y2(t)的前提下，并不存在f(t)+ f2(t)y(

13、t)+y2(t)因此系統(tǒng)不滿(mǎn)足可加性，進(jìn)而系統(tǒng)不具備線性特性。(下面的齊次性判定過(guò)程可省略)2)齊次性由f(t)T y(t),即y'(t)2+y(t) = f(t),兩邊同時(shí)乘以常數(shù)a,有ay'(t)2+ay(t)=af(t),即式 ay(t)2 +ay(t) =af (t)不成立，不存在 af(t) > ay(t)因此，系統(tǒng)也不具備齊次性。單獨(dú)此結(jié)論，也可判定此系統(tǒng)為一非線性系統(tǒng)。時(shí)不變性分另I將y(tto)和f (tto)(t0為大于。的常數(shù))代入方程y'(t)2 +y(t)= f(t)左右兩邊，則左邊=匕 y(t 0)2y(t -to)dtdy(t -to)

14、dy(t -to)石邊=f(tto)= +y(tto)=-+y(tt°)=石邊d (t -to)dt即以式y(tǒng)'(t)2+y(t) = f(t)規(guī)定的ft y(t)關(guān)系為前提，存在f (t K)-> y(t片)因此，系統(tǒng)是非時(shí)變的。依據(jù)上述、，可判定此系統(tǒng)為一線性時(shí)不變系統(tǒng)14試證明方程y (t) +ay(t) = f (t)所描述的系統(tǒng)為線性系統(tǒng)提示：根據(jù)線性的定義，證明滿(mǎn)足可加性和齊次性。證明：1)證明齊次性y (t) ay(t)=(一、兩邊同乘任意常數(shù)bf (t)by(t) ay(t) =bf(t)> by(t) aby(t) =bf(t)-bf(t)T by

15、(t)滿(mǎn)足齊次性2)證明可加性r ' 一一 、yi(t)十a(chǎn)yi(t) = fi(t)y(t)+ ay(t) = f (t),%j2(t) +ay2(t) = f2(t) J一工 y1(t) +ay(t) +yz(t) +ayz(t) = fi(t) + fz(t)yi (t) y2(t)ayi(t)y2(t) = fi(t) f2(t)一fi(t) f2(t)，yi(t)y2(t)滿(mǎn)足可加性由以上i)、2),可知系統(tǒng)是線性的I 5 試證明題I4的系統(tǒng)滿(mǎn)足時(shí)不變性。提示：將方程中的t換為t-to,導(dǎo)出f(t-to)與y (t-to)對(duì)應(yīng)。證明：分別將y(t 10)和f (t 10) (

16、to為大于。的常數(shù))代入方程y (t)+ay(t) = f (t)左右兩邊，則d左邊=y(t -to) ay(t -to) dtdy(t -to )dy(t -t0)石;©= f (t -t0)=+ay(t -t0)=+ay(t -t0)=石:©d(t -to)dt即以式y(tǒng)(t)+ay(t) = f(t)規(guī)定的ft y(t)關(guān)系為前提，存在f (t t0) t y(tt0)因此，系統(tǒng)滿(mǎn)足時(shí)不變性。1-6 試一般性的證明線性時(shí)不變系統(tǒng)具有微分特性。提示：利用時(shí)不變性和微分的定義推導(dǎo) 。證明：設(shè)線性時(shí)不變系統(tǒng)的激勵(lì)與響應(yīng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系為f(t)T y(t),則f(t-it)-* y(t -it)(時(shí)不變性)由線性可加性可得f (t) - f (t - t) > y(t) - y(t - t)因此所以 即f (t) - f (t - t)ty(t) - y(t - t)tf(t)-f(t- t) , y(t) - y(t - t)tt''f (t)T y (t)線性時(shí)不變系統(tǒng)具有微分特性1-7 若有線性時(shí)不變系統(tǒng)的方程為y