25等比數(shù)列的前幾項(xiàng)和

1、等比數(shù)列的前等比數(shù)列的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和 數(shù)學(xué)小故事：數(shù)學(xué)小故事： 國(guó)際象棋起源于印度。國(guó)際象棋起源于印度。棋盤(pán)上共有棋盤(pán)上共有8 8行行8 8列構(gòu)成列構(gòu)成6464個(gè)格子。傳說(shuō)個(gè)格子。傳說(shuō)國(guó)王要獎(jiǎng)賞國(guó)際象棋的發(fā)明者，問(wèn)他有國(guó)王要獎(jiǎng)賞國(guó)際象棋的發(fā)明者，問(wèn)他有什么要求，發(fā)明者說(shuō)：什么要求，發(fā)明者說(shuō)：“請(qǐng)?jiān)谄灞P(pán)的第請(qǐng)?jiān)谄灞P(pán)的第1 1個(gè)格子里放上個(gè)格子里放上1 1顆麥粒，在棋盤(pán)的第顆麥粒，在棋盤(pán)的第2 2個(gè)格子里放上個(gè)格子里放上2 2顆麥粒，在棋盤(pán)的第顆麥粒，在棋盤(pán)的第3 3個(gè)個(gè)格子里放上格子里放上4 4顆麥粒，在棋盤(pán)的第顆麥粒，在棋盤(pán)的第4 4個(gè)格個(gè)格子里放上子里放上8 8顆麥粒，以此類(lèi)推，每個(gè)格顆麥

2、粒，以此類(lèi)推，每個(gè)格子里放的麥粒數(shù)都是前一個(gè)格子里放的子里放的麥粒數(shù)都是前一個(gè)格子里放的麥粒數(shù)的麥粒數(shù)的2 2倍，直到第倍，直到第6464個(gè)格子。請(qǐng)給個(gè)格子。請(qǐng)給我足夠的糧食來(lái)實(shí)現(xiàn)上述要求。我足夠的糧食來(lái)實(shí)現(xiàn)上述要求?！蹦阏J(rèn)你認(rèn)為國(guó)王有能力滿(mǎn)足發(fā)明者的上述要求嗎？為國(guó)王有能力滿(mǎn)足發(fā)明者的上述要求嗎？國(guó)際象棋棋盤(pán)國(guó)際象棋棋盤(pán)而所要求的而所要求的“64個(gè)格子所放的麥粒數(shù)總個(gè)格子所放的麥粒數(shù)總和和”就是求這個(gè)等比數(shù)列前就是求這個(gè)等比數(shù)列前64項(xiàng)的和項(xiàng)的和.n問(wèn)題：求問(wèn)題：求2363641 2 222?S 如果將棋盤(pán)各格子所放的麥粒數(shù)看成一個(gè)如果將棋盤(pán)各格子所放的麥粒數(shù)看成一個(gè)數(shù)列，我們可以得到一個(gè)等

3、比數(shù)列，它的首數(shù)列，我們可以得到一個(gè)等比數(shù)列，它的首項(xiàng)是項(xiàng)是1，公比是，公比是2.二、新課講解：二、新課講解：2363641 2222S 式子兩邊都乘以式子兩邊都乘以 公比公比 2得得236364642 2 22 2 2S 由由得得646421S 而而64196421 18,446,744,073,709,551,615 1.84 10S 假定千粒麥子的質(zhì)量為假定千粒麥子的質(zhì)量為40克，那么麥粒的總質(zhì)量克，那么麥粒的總質(zhì)量超過(guò)了超過(guò)了7000億噸，是全世界億噸，是全世界1000多年的小麥總產(chǎn)量多年的小麥總產(chǎn)量.因此，國(guó)王不可能實(shí)現(xiàn)他的諾言因此，國(guó)王不可能實(shí)現(xiàn)他的諾言.1nnaan對(duì)于等比數(shù)列首

4、項(xiàng),公比q,前 項(xiàng)和S123nnSaaaa211111 nnSaa qa qa q根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，上式可寫(xiě)成根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，上式可寫(xiě)成 211111nnnqSa qa qa qa q 由由-得得 1nnqq （1- ）S等式兩邊能否同除等式兩邊能否同除以（以（1-q）？）？11,nqSna(1)當(dāng)時(shí)11,nnaqqSq（1-）(2)當(dāng)時(shí)1-需要分類(lèi)討論！需要分類(lèi)討論！11,nqSna(1)當(dāng)時(shí)11 ,nnaqqSq（1- ）(2)當(dāng)時(shí)1-因?yàn)橐驗(yàn)?1nnaa q1nnaa qSq-或1- 1, aq n若 已 知?jiǎng)t 選 用 公 式； 1,naq a若 已 知?jiǎng)t 選 用 公 式

5、.三、等比數(shù)列前三、等比數(shù)列前n和公式的應(yīng)用和公式的應(yīng)用例題例題1、求下列等比數(shù)列前、求下列等比數(shù)列前8項(xiàng)的和：項(xiàng)的和： 111(1),;248 111(1),822aqn解： 因?yàn)樗援?dāng)時(shí)，818(1)1aqSq8111 ( )25522.125612191(2)27,0.243aaq191(2)27,0.243aaq例題例題1、求下列等比數(shù)列前、求下列等比數(shù)列前8項(xiàng)的和：項(xiàng)的和： 8191127, 27.243243aaq解：(2)由可得.1又 由 q0,可 得 q=-3于 是 當(dāng) n=8時(shí) ,818(1)1aqSq8127 1 ()16403.1811 ()3 1819811aa qaa

6、Sqq或1271640243.1811 ()3 38513.3q即小結(jié)：解決問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)題目中的小結(jié)：解決問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)題目中的條件求出條件求出 的值，再選擇好公式的值，再選擇好公式.1, , a q n若已知?jiǎng)t選用公式； 1, ,na q a若已知?jiǎng)t選用公式 .1aq和練習(xí)練習(xí)1、根據(jù)下列各題中的條件，求相應(yīng)的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和.11(1),1,100;2aqn1(2)3,2,6;aqn113(3)2,.34naqa .18921)21 (366S1001110010050.2Sa1312()2143 .11161 ()3nnaa qSq 例題例題2、在等比數(shù)列中已知在等比數(shù)列中已知1

7、442 , 16 , .aaqS求與1, , ,nna aq n S分析：題中已知分析：題中已知 五個(gè)量中的三個(gè)，求其余五個(gè)量中的三個(gè)，求其余的兩個(gè)，是的兩個(gè)，是“知三求二型知三求二型”的問(wèn)題的問(wèn)題.可以根據(jù)相關(guān)公式列可以根據(jù)相關(guān)公式列出兩個(gè)方程式，根據(jù)方程思想解出未知量出兩個(gè)方程式，根據(jù)方程思想解出未知量.1111nnnaa qaa qqn將它們代入公式和S341 62,21 61qqSq得 到142 ,1 6aa解 ： 因 為4解這個(gè)關(guān)于q與S的方程組，得到42,3 0qS練習(xí)練習(xí)2、（1）在等比數(shù)列中已知）在等比數(shù)列中已知1332 , 26 , .aSaq求與 （2）在等比數(shù)列中已知）在

8、等比數(shù)列中已知5151 , 3 , .2qSaa求 與 15151545514511482313111.23131( )2aaaa qaSqaaaqaa(1)提示：由練習(xí)練習(xí)2、1332 , 26 , .aSaq求與 （2）在等比數(shù)列中已知）在等比數(shù)列中已知 331322331(1)2(1)26 112 aqqSqqaqaaq（1）提示：由（2）2 120qq由（1）化簡(jiǎn)得4 3.qq 解得，或232342 ( 4)32.32 318.qaqa 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，記得要分類(lèi)記得要分類(lèi)討論！討論！考試報(bào)：第考試報(bào)：第5期期2.5隨堂練習(xí)二第隨堂練習(xí)二第5、6題題練習(xí)：已知等比數(shù)列練習(xí)：已知等比數(shù)列 的

9、前的前 n項(xiàng)和為項(xiàng)和為 ，且，且 成等差數(shù)列，則數(shù)列成等差數(shù)列，則數(shù)列 的公比為的公比為 nanS123,2,3SSS3422,5,aSS nanS例例3：已知等比數(shù)列：已知等比數(shù)列 的前的前 n項(xiàng)和為項(xiàng)和為 且公比且公比q1， 求數(shù)列求數(shù)列 的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式 na an練習(xí)：已知等比數(shù)列練習(xí)：已知等比數(shù)列 的前的前 n項(xiàng)和為項(xiàng)和為 數(shù)，則數(shù)，則k+b= na3(, ,nnSkb nNk b 是常四、小結(jié)：四、小結(jié)： 2.2.等比數(shù)列前等比數(shù)列前 項(xiàng)和公式推導(dǎo)中蘊(yùn)含的項(xiàng)和公式推導(dǎo)中蘊(yùn)含的 思想方法：錯(cuò)位相減法思想方法：錯(cuò)位相減法. .n).1( ,11)1(),1( ,111qqqaaqqaqnaSnnn或1.1.等比數(shù)列求和公式等比數(shù)列求和公式以及公式的應(yīng)用；以及公式的應(yīng)用；3.利用方程的思想，解決利用方程的思想，