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1、1第三節(jié)第三節(jié) Newton-Leibniz 公式公式?:如如何何計計算算定定積積分分一一、問問題題).()( ?)()()(),()( )()()(:1221xfxFaFbFdxxftvtststsdttvbatt 其其中中能能否否得得出出及及由由物物理理問問題題2其其導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)二二、變變上上限限積積分分函函數(shù)數(shù)及及.)()(,)(,)(為為變變上上限限積積分分函函數(shù)數(shù)存存在在,稱稱之之上上的的定定積積分分在在上上連連續(xù)續(xù),則則在在設(shè)設(shè) xadttfxFxaxfbaxbaxf 上上可可導(dǎo)導(dǎo),在在積積分分函函數(shù)數(shù)上上連連續(xù)續(xù),則則變變上上限限在在區(qū)區(qū)間間若若函函數(shù)數(shù)定定理理badttfxFbax
2、fxa,)()( ,)( 1 ).( )( )()( bxaxfdttfdxdxFxa 且且3.)1(的的原原函函數(shù)數(shù)的的存存在在性性該該定定理理肯肯定定了了連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù).,)( )( (2)上上的的一一個個原原函函數(shù)數(shù)在在不不是是baxfdttfbx )()()()()()()( )3(xbccxaxbxadttfdttfdxddttfdxd.( )( )()( )(為常數(shù))為常數(shù))cxbxbfxaxaf 注注 釋釋4公公式式三三、LeibnizNewton ,則則的的任任一一原原函函數(shù)數(shù)是是上上連連續(xù)續(xù),在在區(qū)區(qū)間間設(shè)設(shè)定定理理 )( )(,)( 2xfxFbaxfbabaxFaFbF
3、dxxf)()()()( .公公式式稱稱之之為為LeibnizNewton 5.,)(.,)().()2(上上也也連連續(xù)續(xù)在在另另外外考考慮慮有有間間斷斷點點的的情情形形要要具具體體上上可可積積,但但在在對對于于公公式式常常應(yīng)應(yīng)用用于于連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)baxFbaxfxfLN 0ln111 1 xxdx)( 注注 釋釋.)1(和和不不定定積積分分之之間間的的聯(lián)聯(lián)系系定定積積分分公公式式,它它揭揭示示了了公公式式也也稱稱為為微微積積分分基基本本LN 6).(,sin)()()2().0( , 0)0(,0)(000)()()1(1020 xfdtttxxfgfxxfxxxdtttfxgxx求求設(shè)
4、設(shè)求求且且處處可可導(dǎo)導(dǎo)在在其其中中設(shè)設(shè)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求下下列列變變上上限限積積分分函函數(shù)數(shù)例例 7.cos2sin3)(sin2sin)( sinsin)()2(000 xxxxfxxdttxfdtttdttxxfxxx 由由).0( 31)0()(lim313)(lim)(lim)0()(lim)0( )1(0203000fxfxfxxxfxdtttfxgxggxxxxx 解解8求求下下列列極極限限例例 2.)cos1()1arctan(lim)2(0002xxdudttlxux ;)1(1lim)1(0222 xxtxdtetxl., 1sin1lim30220badttatxbxxx和和
5、正正常常數(shù)數(shù)求求設(shè)設(shè)例例 9.61arctan3262)1arctan(lim23)1arctan(lim2)1arctan(lim2)2(20200300022 xxxxdttxdudttlxxxxux.21)21()1(lim)1(lim)1(22222202 xxxxxtxexexxedtetl解解10. 422limcos1lim11coslimsinlim1202202200220 aaxaxxaxbxbxaxxbxdttatHospitalLxxxxx法法則則知知由由解解11.)1()2(;)1()1(410221 dxxxIdttI計計算算下下列列定定積積分分例例).2(4142
6、11)2(10210210 xdxxdxxI.21)1(21)1(21)1()1()1(1020122001 ttdttdttI解解12.)ln1(ln)3(43 eexxxdxI.6lnarcsin2)ln(1)ln(2ln1ln)(ln4343432 eeeeeexxxdxxxdI解解13;1lim)1( 51 nknknl列列極極限限利利用用定定積積分分的的定定義義求求下下例例 .)(,)(再再計計算算其其值值定定積積分分上上的的在在區(qū)區(qū)間間極極限限轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化為為函函數(shù)數(shù)限限就就是是把把所所求求利利用用定定積積分分的的定定義義求求極極注注釋釋 badxxfbaxf; )sin(1lim)2
7、(10 nknbnkanl.)(1;lim)3(11nnknnnknnxxl 其中其中14. 2ln)1ln(1111lim)1(10101 xxdxnnklnkn解解).cos(cos1sin1)sin(lim1)2(10baabxdxbbnkanbblbaankn 15 .4lim12ln2)1ln()1()1()1ln()1ln()1ln(1limlnlim)1ln(1ln)3(10101011exxxxxdxdxxnknxnknxnnnknnnnkn 以以所所因因為為16.)(3sinlim, 1)(lim,)()3(2dttfttlxfxfxxxx 且且連連續(xù)續(xù)設(shè)設(shè)列列極極限限利利用
8、用積積分分中中值值定定理理求求下下例例6;1lim)1(10dxeexlxxnn .sinlim)2(1dxxxlnnn 17 .1, 001lim)1( eelnn解解(X)(X).11,1.elnnn 則則若若令令有有關(guān)關(guān)與與因因為為. 0111lim1lim10 needxxeelnnn. 01lim111010101010 xdeexndxxxdeexxeexxxnnnxxnnxxn或由或由18 .6)(33sinlim6)(3sinlim2)(3sinlim).(3sin2)(3sin2,:)3(22 ffdttfttfdttfttxxxxxxx故故使使由由積積分分中中值值定定理理知
9、知 . 0sinlim. 0)11ln(sinlim1sinlim)2(1ndxxlnnnn19).(,)(12)(71022xfdxxfxxxxf求求設(shè)設(shè)例例 .)22(12)(22)111()(,)(22101021010 xxxxfaaxdxadxxdxxfadxxf 則則令令解解20.)(,)sin)()(82有有最最小小值值取取何何值值時時當(dāng)當(dāng)求求設(shè)設(shè)例例xFxdttxtfxF .)(,)(sin1. 02)(,)(sin102)(sin2)( )(sin2)(sin)(sin2)()(22222取取最最小小值值時時當(dāng)當(dāng)且且解解xFdttftxxFdttftxxdttftxFxdtt
10、ftxdttfdttxdttftxdttfxF 21.cos)(sin)(.2, 0)()2(2020 dxxxfdxxxfxf證證明明上上連連續(xù)續(xù)且且單單調(diào)調(diào)增增在在區(qū)區(qū)間間設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù) .)()()()(),(.,)(),()1(9 abdxxfgdxxgfbabaxgxf使使證證明明上上連連續(xù)續(xù)在在設(shè)設(shè)證證明明題題例例22 .)()()()(0)( ),(:. 0)()(,),(,)(,)()()()1( abbxxadxxfgdxxgfFbaRollebFaFbabaxFdttgdttfxF使使得得一一點點至至少少存存在在定定理理由由且且內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)在在上上連連續(xù)續(xù)在在則則令令證證23
11、 2021)cos)(sin(240:)2(dxxxxf使使得得由由積積分分中中值值定定理理 2440)cos)(sin()cos)(sin(dxxxxfdxxxxf)21)()21)(21 ff0)21)()(21 ff.cos)(sin)(2020 dxxxfdxxxf24.)( )()0()();(sin)(2,0)(.2,0)()3(2020 dxxfxffiifxdxxfixf使使得得至至少少存存在在一一點點證證明明上上有有連連續(xù)續(xù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間設(shè)設(shè)25.)( )()( sin)()( sin)()0()()()0()().(sin)(sin)(2, 0:)(2002002
12、02020 dxxfxfdxxfdxxxfdxxfxdxxfffffiifxdxfxdxxfi使使得得至至少少存存在在一一點點由由積積分分中中值值定定理理知知證證26 .)2(,2)(, 0)()2(.)(,)(2)()()1(. 12)1(0102 fxdttfxfxfdxxfxxfxfxx則則且且內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在設(shè)設(shè)則則滿滿足足設(shè)設(shè)填填空空題題練練 習(xí)習(xí) 題題1 x127. 1)(212212)(2)(,)()1(10101010 xxfaaadxadxxdxxfaxxfdxxfa則則設(shè)設(shè)解解. 1)2(4)31()1()2(122 fxxxxfx等等式式兩兩邊邊求求導(dǎo)導(dǎo)得得28.2sin1. 20 dxxI計計算算.22)4cos(2)4cos(2)4sin(2)4sin(2)4sin(2cossin44044000 xxdxxdxxdxxdxxxI解解29.lim)2(122 nknknnl;2sinlim)1(.32002xxdtexlxtx 求求下下列列極極限限.)()2()(.,)()(. 40也也單單調(diào)調(diào)減減證證明明且且單單調(diào)調(diào)減減內(nèi)內(nèi)連連續(xù)
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