2004考研數(shù)三真題及解析

1、2004年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題一、填空題：本題共6小題,每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上.若lim爭x(cosxb)5,則a=,b=x0ea函數(shù)f(u,v)由關(guān)系式fxg(y),yxg(y)確定，其中函數(shù)g(y)可微，且g(y)0,則2uvx211xe,x2(3)設(shè)f(x)2,12,則1f(x1)dx1,x-22222二次型f(X!,X2,X3)(/X2)(X2X3)(X3Xj的秩為設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為入的指數(shù)分布，則PXDX.設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(耳，02),總體Y服從正態(tài)分布N(技，o2),XX2,Xn1和,Y>,Yn2分別是來自總體X和Y的簡單

2、隨機(jī)樣本，則n1n1n2(XiX)(XiX)(YjY)j1二、選擇題：本題共8小題,每小題4分，共32分,下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號內(nèi)函數(shù)f(X)|X|Sin(X2在下列哪個(gè)區(qū)間內(nèi)有界()x(x1)(x2)2(A) (1，0).(B)(0，1).(C)(1，2).(D)(2,3).(7) 設(shè)f(x)在(，)內(nèi)有定義,且limf(x)a,g(x)f(；),X0,則()x0,x0(A)x0必是g(x)的第一類間斷點(diǎn)(B) X0必是g(x)的第二類間斷點(diǎn).(C) X0必是g(x)的連續(xù)點(diǎn)(D) g(x)在點(diǎn)X0處的連續(xù)性與a的取值有關(guān)(10)設(shè)有

3、下列命題:(9)設(shè)f(x)x(1x),則()(A)x0是f(x)的極值點(diǎn)，但(0,0)不是曲線yf(x)的拐點(diǎn)(B)x0不是f(x)的極值點(diǎn)，但(0,0)是曲線yf(x)的拐點(diǎn)(C)x0是f(x)的極值點(diǎn)，且(0,0)是曲線yf(x)的拐點(diǎn)(D)x0不是f(x)的極值點(diǎn),(0,0)也不是曲線yf(x)的拐點(diǎn)若(U2n1U2n)收斂，則Un收斂.n1n1右Un收斂，則Un1000收斂.n1n1若lim也1,則un發(fā)散.nunn1若(unvn)收斂,則un,vn都收斂n1n1n1則以下命題中正確的是()(A)(B)(C)(D)(11)設(shè)f(x)在a,b上連續(xù)，且f(a)0,f(b)0,則下列結(jié)論中

4、錯(cuò)誤的是()(12) 設(shè)n階矩陣A與B等價(jià)，則必有(A)當(dāng)|A|a(a0)時(shí)，|B|a(C)當(dāng)|A|0時(shí)，|B|0.(13) 設(shè)n階矩陣A的伴隨矩陣A*0,不相等的解，則對應(yīng)的齊次線性方程組(B)當(dāng)|A|a(a0)時(shí)，|B|a(D)當(dāng)|A|0時(shí)，|B|0.若&,&,&,&是非齊次線性方程組AxAx0的基礎(chǔ)解系()b的互(A)不存在.(A)不存在.(B)僅含一個(gè)非零解向量(A)至少存在一點(diǎn)(a,b)，使得f(xo)>f(a)(B)至少存在一點(diǎn)x(a,b)，使得f(x0)>f(b)(C)至少存在一點(diǎn)x0(a,b)，使得f(«)0(D)至少存在一

5、點(diǎn)(a,b),使得f筑)=0.(C) 含有兩個(gè)線性無關(guān)的解向量(D)含有三個(gè)線性無關(guān)的解向量(14)設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(0,1),對給定的a(0,1),數(shù)U°滿足PXUa,求lim(丄=x0sin2xcos2xx2).求(x2y2D22y)d，其中D是由圓x2y24和(x1)2y21所圍成的平面區(qū)域(如圖).(17)(本題滿分8分)設(shè)f(x),g(x)在a,b上連續(xù)，且滿足xxbbaf(t)dtg(t)dt,xa,b),f(t)dtaaag(t)dtbb證明：xf(x)dxaaxg(x)dx.(18)(本題滿分9分)(16)(本題滿分8分)設(shè)某商品的需求函數(shù)為Q1005P,其

6、中價(jià)格P(0,20),Q為需求量.若P|X|xa,則x等于()(A)Ua.2(B)Ua.12(C)U1a."2-(D)U1a三、解答題：15-23小題，共94分請將解答寫在答題紙指定的位置上解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟(15)(本題滿分8分)(I)求需求量對價(jià)格的彈性Ed(Ed>0);dR(II)推導(dǎo)Q(1Ed)(其中R為收益),并用彈性Ed說明價(jià)格在何范圍內(nèi)變化時(shí)dP降低價(jià)格反而使收益增加.(19) (本題滿分9分)設(shè)級數(shù)的和函數(shù)為S(x).求:(I)S(x)所滿足的一階微分方程；(II)S(x)的表達(dá)式.(20) (本題滿分13分)設(shè)a(1,2,0)t,°

7、;(1,a2,3oc)T,a(1,b2,a2b)T,B(1,3,3)T,試討論當(dāng)a,b為何值時(shí),(I)B不能由a,a,a線性表示;(II)B可由a,a,a唯一地線性表示,并求出表示式；(iii)B可由a,a,a線性表示，但表示式不唯一，并求出表示式.(21) (本題滿分13分)設(shè)n階矩陣(I)求A的特征值和特征向量；(I)求A的特征值和特征向量；(n)求可逆矩陣P,使得P1AP為對角矩陣.(22)(本題滿分13分)設(shè)A,B為兩個(gè)隨機(jī)事件，且P(A)設(shè)A,B為兩個(gè)隨機(jī)事件，且P(A)P(B|A)113,P(A|B)2,令X1,A發(fā)生，0,A不發(fā)生,1,0,B發(fā)生，B不發(fā)生.(I)二維隨機(jī)變量(X

8、,Y)的概率分布(II)X與Y的相關(guān)系數(shù)pxy；(III)ZX2Y2的概率分布.(23)(本題滿分13分)設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x;,)x0,X的簡單隨機(jī)樣本,其中參數(shù)a0,B1.設(shè)X1,X2,Xn為來自總體(I)當(dāng)a1時(shí)，求未知參數(shù)B的矩估計(jì)量；(II)當(dāng)a1時(shí)，求未知參數(shù)卩的最大似然估計(jì)量；(III)當(dāng)B2時(shí)，求未知參數(shù)a的最大似然估計(jì)量.2004年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題解析一、填空題(1)【答案】a1,b4【詳解】本題屬于已知極限求參數(shù)的反問題.方法1：根據(jù)結(jié)論：lim衛(wèi)勺=A,(1)若g(x)0,則f(x)0；(2)若f(x)0,且g(x)A0,則g(x)0因?yàn)閘i

9、msinx(cosxb)5,且limsinx(cosxb)0,所以x0exax0lim(exa)0(否則根據(jù)上述結(jié)論給極限是0,而不是5),x0由lim(exa)limexlima1a0得a=1.x0fx0x0極限化limsjnx(cosxb)等價(jià)無窮小lim(cosxb)1b5，得b=4.x0e1x0x因此,a=1,b=4.sinx方法2：由極限與無窮小的關(guān)系，有x(cosxb)5，其中l(wèi)im0,解出eax0ex(5)(cosxb)sinxa,5ex(5)(cosxb)sinxv.(cosxb)sinx上式兩端求極限，alimlimelim101x05x0x05把a(bǔ)=1代入，再求b,bcos

10、xx(5)(e1)，兩端同時(shí)對x0取極限，得sinxblim(cosx(5)(ex1)x0sinxlimcosx(5)(ex1)1(5)x154limlimx0x0sinxx0x因此,a=1,b=4.【答案】g2（）g2(v)【詳解】應(yīng)先寫出f（u,V）的表達(dá)式，再求偏導(dǎo)數(shù)推知推知所以xg(y),vy,從而：xf(u,v)盂g(v),1g(v)uvgM,于是由fxg(y),yxg(y),g(v)【答案】【詳解】方法1：作積分變換，令x1方法1：作積分變換，令x1t,則t:所以f(x1)dx11 f(t)dt21212f(t)dt11(1)dt2（也可直接推出1212xxe2dx11(21)dx

11、x2dx2(1弓)1 x2e212121212xexdx0,因?yàn)?212x2xedx積分區(qū)間對稱,被積函數(shù)是關(guān)于x是奇函方法2：先寫出的數(shù),則積分值為零1）表達(dá)式2X1x1e,1X11(X1)e(x1)21X322即:f(X1)22131,X11X22f(xf(x1)3所以1 f(x1)dxj(x1)e(x1dx3(1)dx2 223捋叫(xk2號3捋叫(xk2號1e(x1)223212111(ee)22【答案】2.【詳解】方法12322(X1-X2X3)-(X2X3)方法12322(X1-X2X3)-(X2X3)：因?yàn)閒（X1,X2,X3）（X1X2）2（X2X3）2（X3X1）22x122

12、x122x222x32x1x22X1X32X2X3由二次型f(Xi,X2,，Xn)ajXiXj中,aji1j1a,所以二次型對應(yīng)的矩陣的i行,j列元素是xi與Xj乘積項(xiàng)系數(shù)的一半，其中ij.于是題中二次型的矩陣為A211121,由初等變換得11212A1,行互換21111行的（2）倍加至吃行,1行的（1倍加至至3行12112332行(1)3亍03333000從而r（A）2,由二次型的矩陣的秩等于二次型的秩，知二次型的秩為2.22x32%x2方法122：因?yàn)閒（X1,X2,X3）（X1X2）2（X2X3）2（X3X1）2對捲配方2（x12x1x2對捲配方2（x12x1x2X1X3)2x222X3

13、22X2X32222x12x22X32x1x22X32X2X31123“、2_2322(X12X2X3)2(X22X3)2y1尹11其中y1x1x2x3,y2X2X3.222x122x222X1X32X2X3二次型的秩r（f）=矩陣的秩r（A）=正負(fù)慣性指數(shù)之和pq,所以此二次型的秩為2.1 121212222(X1X2X3)X2X3X2X32X22X32X2X32 222“11、232322(x1X2x3)x2x33x2x322221【答案】一e【詳解】本題應(yīng)記住常見指數(shù)分布等的期望與方差的數(shù)字特征，而不應(yīng)在考試時(shí)再去推算指數(shù)分布的概率密度為f(x)若x0若x0,其方差DX于是，由一維概率計(jì)

14、算公式,PaXbfx(x)dx，有PXDX=PX-!exdx=ex丄【答案】2【詳解】根據(jù)公式E(XY)E(X)E(Y)和樣本方差是總體方差的無偏估計(jì)量又X1,X2,Xm和g,Yn分別是來自總體簡單隨機(jī)樣本,X和Y都服從正態(tài)分布即是E丄(Xin1i1X)2D(X)，晉2Y)2D(Y)2ni所以有E(XiX)2n12,Ei1i1(YY)2對于題給式子將分子分離出來即可出現(xiàn)上式，也就不難求出結(jié)果.n1(XiX)2E丄n2(YjY)2j1n22nin12E.(XiX)2n2_E(YjY)2j1(n11)2(n21)22,故應(yīng)填2(T二、選擇題(7)【答案】(A)【詳解】方法1:如果f(x)在(a,b

15、)內(nèi)連續(xù)，且極限limxaf(x)與limxbf(x)存在，則函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)有界.當(dāng)x0,1,2時(shí)f(x)連續(xù)，而limf(x)x1lim型區(qū)x1x(x1)(x2)sin(12)(11)(12)2sin318xsin(x2)sin(02)sin2limf(x)lim22x0x0x(x1)(x2)2(01)(02)24xsin(x2)sin(02)sin2limf(x)lim22,x0x0x(x1)(x2)2(01)(02)24xsin(x2)sin(12)limf(x)lim2lim2,x1x1x(x1)(x2)2x1(x1)(12)2Xm2xsin(x2)2x(x1)(x2)m2

16、HX2Xm2HX所以，函數(shù)f(x)在(1,0)內(nèi)有界故選(A).方法2:因?yàn)閘imf(x)存在,根據(jù)函數(shù)極限的局部有界性，所以存在0,在區(qū)間,0)上x0f(x)有界，又如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，則f(x)在閉區(qū)間a,b上有界根據(jù)題設(shè)f(x)在1,上連續(xù)，故f(x)在區(qū)間上有界，所以f(x)在區(qū)間(1,0)上有界,選(A).(8)【答案】(D)-1【詳解】考查極限limg(x)是否存在，如果存在，是否等于g(0),通過換元u,x0x可將極限limg(x)轉(zhuǎn)化為limf(x).x0x因?yàn)橐驗(yàn)閤叫g(shù)(x)-limf(u)=a,又g(0)xu0,所以，當(dāng)a0時(shí),limg(x)g(0),即g

17、(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)，x0當(dāng)a0時(shí)，limg(x)g(0),即x0是g(x)的第一類間斷點(diǎn)，因此，g(x)在點(diǎn)x0x0處的連續(xù)性與a的取值有關(guān)，故選(D).(9)【答案】C【詳解】由于是選擇題，可以用圖形法解決，也可用分析法討論方法1:由于是選擇題，可以用圖形法解決方法1:由于是選擇題，可以用圖形法解決,令(X)x(x1),則(x)211x，是以24111直線x為對稱軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)為,，開口向上的一條拋物線，與x軸相交的兩點(diǎn)224坐標(biāo)為0,0,1,0,yf(x)(x)的圖形如圖，右側(cè)鄰近曲線是凸的，所以點(diǎn)(0,0)是拐點(diǎn)，選C.方法2：寫出yf(x)的分段表達(dá)式:f(x)x(1x),x(1x),

18、從而f(x)12x,12x,001,f(x)2,2,所以xf(x)limx0limx0(x)lim1x00為極小值點(diǎn).2x112x(x)220,f(x)為凸函數(shù)，于是(10)【答案】【詳解】可以通過舉反例及級數(shù)的性質(zhì)來說明(B)是錯(cuò)誤的，如令Un(1)n,lnimUn0所以0x10,所以11時(shí),f(x)單調(diào)增,x0時(shí)，f(x)單調(diào)減,0,f(x)為凹函數(shù)；(0,0)為拐點(diǎn).4個(gè)命題的正確性.0所以Un發(fā)散而n1(U2n1U2n)11n111收斂.是正確的，因?yàn)榧墧?shù)un1000比級數(shù)1nun1少了前1000項(xiàng),改變、增加或減少級數(shù)的有限項(xiàng)，不改變級數(shù)的斂散性，所以這兩個(gè)級數(shù)同斂散是正確的，因?yàn)橛?/p>

19、lim1,從而有l(wèi)imnUnnUn1Un1，于是正項(xiàng)級數(shù)Unn1在項(xiàng)數(shù)充分大之后，通項(xiàng)嚴(yán)格單調(diào)增加，故limnUn0,從而limUnn0所以nun發(fā)散.11是錯(cuò)誤的，如令un_,Vnn丄，顯然,Un,Vn都發(fā)散,nn1n1而(UnVn)n111收斂故選(B).nn【答案】(D)【詳解】利用介值定理與極限的保號性可得到三個(gè)正確的選項(xiàng)，或應(yīng)用舉例法找出錯(cuò)誤選項(xiàng)方法1：舉例說明(D)是錯(cuò)誤的例：f(x)4x2,1x1,f(1)2xx120,f(1)2xx120但在1,1上f(x)30.方法2：證明(A)、(B)、(C)正確由已知f(x)在a,b上連續(xù)，且f(a)0,f(b)0,則由介值定理，至少存在

20、一點(diǎn)(a,b)使得f()0,所以選項(xiàng)(C)正確；另外，由導(dǎo)數(shù)的定義f(a)lim口勺凹0,根據(jù)極限的保號性，至少存在xaxa一點(diǎn)x°(a,b)使得f(x)0,即f(x0)f(a),所以選項(xiàng)(A)正確X0a同理,f(b)lim型0,根據(jù)極限的保號性，至少存在一點(diǎn)x0(a,b)Xbbx使得f(x0)f(b)所以選項(xiàng)(B)正確,故選(D)【答案】(D)【詳解】方法1:矩陣等價(jià)的充分必要條件：矩陣A與B等價(jià)A,B是同型矩陣且有相同的秩，故由A與B等價(jià)，知A與B有相同的秩因此，當(dāng)|A|0時(shí)，r(A)n,則有r(B)n,即|B|0,故選(D)方法2：矩陣等價(jià)的充分必要條件：A與B等價(jià)存在可逆P,

21、Q，使得PAQB兩邊取行列式，由矩陣乘積的行列式等于行列式的積，得PAQ刊AQ|BP,Q可逆，由矩陣A可逆的充分必要條件：A0,故P0Q0,但不知具體數(shù)值由PAQB，知A0時(shí),B不能確定但A0有B0故應(yīng)選(D)方法3：由經(jīng)過若干次初等變換變?yōu)榫仃嚨某醯茸儞Q對矩陣的行列式的影響有：A中某兩行例)互換得B,則BA.A中某行(列)乘k(k0)得B,則|BkA.(3)A中某行倍加到另一行得B,則|B|A.又由A與B等價(jià),由矩陣等價(jià)的定義：矩陣A經(jīng)有限次初等變換變成矩陣B，則稱A與B等價(jià)，知BkA.故當(dāng)A0時(shí)，BkA0,雖仍不等于0,但數(shù)值大、小、正負(fù)要改變，但|A|0,則B0,故有結(jié)論：初等變換后，矩

22、陣的行列式的值要改變，但不改變行列式值的非零性即若|A|0B0,若A0B0.故應(yīng)選(D).(11) 【答案】(B)【詳解】由定理：若,x2是Axb的解，則x2是對應(yīng)齊次方程組Ax0的解,及10,0,由伴隨矩陣的定義，知A中至少有一個(gè)代數(shù)余子式Aj0,即A中有n1子式不為零秩(A)r的充要條件是A的非零子式的最高階為r,故r(A)n1,再由上面的r(A)得r(A)n1,故基礎(chǔ)解系所含向量個(gè)數(shù)為n(n1)1，故選(B).(14) 【答案】(C)【詳解】利用正態(tài)分布概率密度函數(shù)圖形的對稱性1PXxPXx-PX2，對任何x0有.或直接利用圖形求解.方法1：由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布概率密度函數(shù)的對稱性知,PX即有

23、1PXxPXxPXxPXx2PXxPXx-，可見根據(jù)分位點(diǎn)的定義有2U1，故應(yīng)選(C).2得120是Ax0的解.由齊次線性方程組有非零解的充要條件，知r(A)n.A方法2：，所以PXU1，答案應(yīng)選（C）.三、解答題【詳解】求“(15)”型極限的首要步驟是通分，或者同乘、除以某一式以化簡(16)方法lim(12-x0sinx2x=limx0洛xin02cosX2)通分limxxc222xsinxcosxi0din22x養(yǎng)洛xm12xsin4x24x3【詳解】利用對稱性與極坐標(biāo)計(jì)算仁令D1(x,y)|x2x2sin2x-sin22x4x41cos4xlim2x06x24,D2,ri所以所以所以fx

24、,ydD2yd化為極坐標(biāo):DiDiD2rcosx2y2d化為極坐標(biāo):X2y2dx2y2dD232等價(jià)sinx2xlimx02sin22xlimlx06x(x,y)|(x1)2，則:rdr(x,y)|x2222xsinxcosx=limxx0-sin4x24?limsin2x-2xx0X42(2x)26x2y21，根據(jù)二重積分的極y24(x,y)|02l2222,-rcosrsinrdr0(x,y)|(x1fy21(x,y)q2cosr222-2cosrsinrdr,0r2r2dr；02cos2cosr2drx2D1y2dD2x2y2d2r2dr02cos2r2dr2cos方法8cos32sin

25、dsin8-sin3sin332區(qū)域D關(guān)于x軸對稱,1631632T"9罟(32)yd中被積函數(shù)y為y的奇函數(shù)函數(shù)的奇偶性：設(shè)fx,y在有界閉區(qū)域奇函數(shù)，則D所以，根據(jù)區(qū)域?qū)ΨQ性與被積D上連續(xù)若D關(guān)于x軸對稱，fx,y對y為fx,yd0所以ydD(.x2Dy)dDy2dydD16G(32).2：(,x2y2Dy)dx2Dy2dyd2D上半y2d極坐標(biāo)變換dr2cosr2drd2cos832_28cos316.2sindsin163sin.3sin316(32).所以G(x)F(t)dtaff)ag()dtaf(t)dtag(t)dt0,xa,baG(a)aF(t)dt05又baf(t

26、)dtbag(t)dt5所以bG(b)aF(t)dtbf(t)agtdtbbf(t)dtgtdtaa0從而bxF(x)dxG(x)aF(x)bxdG(x)a分部積分xG(x)abG(x)dxa【詳解】令f(x)g(x),G(x)F(x)(17)xxxxxaf(t)dtxaF(t)dt.因?yàn)橐阎獂ag(t)dt,xag(t)dt,由于G(x)0,xa,b,故有由于G(x)0,xa,b,故有也即是bxf(x)ag(x)dxbG(x)dx,abG(x)dxab0,即xF(x)dx0abaxf(x)dxbaxg(x)dx因此bxf(x)dxabaxg(x)dx.baxg(x)dx.PdQQdPQ100

27、5PP1005P1005PP20PP(0,20)P20P(18)【詳解】(I)由于需求量對價(jià)格的彈性Ed>0,所以(II)由RPQ,得dRdPQdPdPdRdPQdPdPPdQdPQ(1囂)Q(1Q(1Ed)dR要說明在什么范圍內(nèi)收益隨價(jià)格降低反而增加，即收益為價(jià)格的減函數(shù)，匹0,即證dPPQ(1Ed)0Ed1,換算成P為1,解之得：P10,又已知P(0,20),所以20P20P10,此時(shí)收益隨價(jià)格降低反而增加.解方程可得S(x)的表達(dá)(19)【詳解】對S(x)進(jìn)行求導(dǎo)，可得到S(x)所滿足的一階微分方程x(|x(|x4x6x2)性S(x)2(I)S(x)4x6x8x易見S(0)0,24

28、2462468,S(x)4x6x8x4x6x即S(x)xS(x),S(0)08x7242462468242462468因此S(x)滿足下述一階線性微分方程及相應(yīng)的初始條件：S(x)xS(x),S(0)0.2(II)S(x)xS(x)S(x)xS(x)0,分離變量：.空!S(x)xdx,兩邊積分：InS(x)Cl,S(x)e'x2CeT用常數(shù)變易法來求非齊次方程的通解:S(x)x2x于是：S(x)xCx2xe2代入S(x)xS(x)xCeTx2xe2xCeT所以，Cx3xe22dxcx2S(x)3x2,e2dx2x2ey2ey2x2x2de2eT2分部e22x"22x2eyx2

29、x2ce2x2ce2因?yàn)镾(0)0,所以S002ce21,所以S(x)eT或直接由通解公式方程S(x)xS(x)3x的通解為2由初始條件S(0)3xdxxee2xdxdxCx2Ce2故S(x)eT1.3x為一階線性非齊次微分方程，其對應(yīng)的線性齊次微分方程為:2(20)詳解】卩可否由a,a,a線性表示的問題可以轉(zhuǎn)化為線性方程組1為2X23X3是否有解的問題.因此設(shè)可有數(shù)X1,X2,X3,使得瘁12X23X3.(*)記A(a,a,a).對矩陣(AB)施以初等行變換，有11111111(A，B)2a2b231行(-2)+2行0ab103aa2b303aa2b311112行3+3亍0ab100ab0(

30、I) 當(dāng)a0時(shí)，b是任意數(shù)時(shí)，有1111(A,)00b1.00b0可知,r(A)r(代B)由非齊次線性方程組有解的充要條件：系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩，知方程組(*)無解，卩不能由a,a,a線性表示(II) 當(dāng)a0,且ab時(shí)，由1111(A，B)0ab100ab0可知，r(A)r(代B)3，由非齊次線性方程組有解得充要條件：系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩，方程組(*)有解，由定理：設(shè)A是mn矩陣，方程組Axb，則，(1)有唯一解r(A)r(A)n；(2)有無窮多解r(A)r(A)n無解：r(A)1r(A)可知方程組(*)有唯一解由同解階梯形方程求解，得:x1111c5X2,X30此時(shí)B可由a,

31、(aaB(1)a1兀2,a唯一地線性表小,其表小式為況2aa(III)當(dāng)a0,ab0時(shí)，對矩陣(代B)施以初等行變換，由1111111001111一一-1行2行a(A,)0aa12行a011011150000門C0aa0000000可知,r(A)r(A,B)2,由定理：設(shè)A是mn矩陣,方程組Axb,則,(2)有無窮多解r(A)r(A)n,知方程組(*)有無窮多解，其全部解為XiXiX21c,x3c,其中c為任意常數(shù).aB可由a,a,a線性表示，但表示式不唯一，其表示式為B(1-)oaa,可以直接用|疋A|0求特征值,和(疋A)x0求特征向量或?qū)?21) 【分析】這是具體矩陣的特征值和特征向量的

32、計(jì)算問題A分解令A(yù)B(1b)E,其中Bb1nn,則Af(B),f是多項(xiàng)式，求B的特征值、特征向量【詳解】(I)方法1：1b0時(shí),故,A的特征值為1(n1)b,b1(n1)b(1b)n11bbb1b2,n行分1bb11bEA|1(n1)b別加到1行:bb11b1對b1(n1)b,(n1)3bb(n1)d1EA.-bb(n1廠(n1)行分別加到n行b(n1)11b1(n1)1b-1)b11(n1)n11111n11111LJ1n110000111n1111n11行(1):T11n1100001111n0n0n1行分別加到2,(n-1)行:-00'八nn000八011.11n01LL012,

33、(n1)行n10C)110C)0010-01-2,(n1)行(-1)分別加到1行-00-A)x0,基礎(chǔ)解系的個(gè)數(shù)為A)x0,基礎(chǔ)解系的個(gè)數(shù)為因?yàn)榫仃嚨闹葹閞(1EA)(n1),故方程組(1Enr(1EA)n(n1)1,故有一個(gè)自由未知量選N為自由未知量，取N得石(1,1,1,1)T,所以A的屬于入的全部特征向量為k&k(1,1,1,1)T(k為任意不為零的常數(shù)).得石(1,1,1,1)T,所以A的屬于入的全部特征向量為k&k(1,1,1,1)T(k為任意不為零的常數(shù)).對h入1b,bbbbbTbiEA:-bbb111行(00"b)00bbb1行(1)分別000加到2,

34、n行J-00010.c.,12,，n.0矩陣的秩為r（iEA）1,i2,n.故方程組（jEA）x0,i2,，n,基礎(chǔ)解系的個(gè)數(shù)為nr(iEA)n1,i2,n.故有n1個(gè)自由未知量.選x2,x3，,xn為自由未知量，將他們的n1組值（1,0，,0)；(0,1,0);(0,0，,1)，得基礎(chǔ)解系為&(1,1,0,0)T，&(1,0,1,0)T，,&(1,0,0,1)T-（k2，k3，,kn是不全為零的常數(shù)）.故A的屬于、的全部特征向量為(入1)n,入1，任意非零列向量均為特征向量.入1，任意非零列向量均為特征向量.1bbb(1b)、丄b1LJbb萬法2：A:bb1bbbb1

35、b0bbb01bbbb0011b.1,1,-',1(1b)E特征值為入bB(1b)E,1b-Tbb(1b)bbb(1b)tr011ri1tr0111Jb.-:(1b)E1b111其中B1,1,1若B有特征值若B有特征值,特征向量,則當(dāng)f是多項(xiàng)式時(shí)，f（B）有特征值f（），其特征向量仍是因（T）（T）n,故，n是T的特征值,其對應(yīng)特征向量為1,T,1從而有AbT(1b)E,有特nb（n1）b,其對應(yīng)特征向量仍是11,1,-T,1T)Tt,bT是實(shí)對稱陣，由1一一,1行（1）分別加到2,，n行可知可知r(B)1，由實(shí)對稱矩陣的特性:r(EA)nk,其中k為特征值的重?cái)?shù)，(0E0是BT的n1

36、重特其對應(yīng)的特征向量應(yīng)滿足T)xTx0,即只需滿足Xn0,其基礎(chǔ)解系的個(gè)數(shù)為n1,故有n1個(gè)自由未知量選X2,X3,，人為自由未知量，將他們的n1組值(1,0，,0)；(0,(1,0，,0)；(0,1,0);(0,0，1)2(1,1,0,0)T，2(1,0,1,0)T，,2(1,0,0,1)T從而知A（1b）E有n1重特征值f(0)b0(1b)1b.對應(yīng)的特征向量仍是2，3,n,其全部特征向量為kn2(k2,k3,kn是不全為零的常數(shù)）是不全為零的常數(shù)）（n）1當(dāng)b0時(shí)，由A與對角矩陣相似的充要條件:A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量，知,令P（2,2，2），則P1APP1AP1(n1)b1b2當(dāng)b0時(shí),AE，對任意可逆矩陣P,均有P1APE（22）【分析】本題盡管難度不大，但考察的知識點(diǎn)很多，綜合性較強(qiáng)通過隨機(jī)事件定義隨機(jī)變量或通過隨機(jī)變量定義隨機(jī)事件，可以比較好地將概率論的知識前后連貫起來，這種命題方式值得注意。先確定（X,Y）的可能