類比法在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

1、 長 沙 第 七 中 孫賢忠 在數(shù)學(xué)解題中類比法的應(yīng)用長沙第七中學(xué) 孫賢忠 “類比是一個(gè)偉大的引路人波利亞?！懊慨?dāng)理智缺乏可靠論證的思路時(shí)，類比這個(gè)方法往往能指引我們前進(jìn)康德。 所謂類比即類比推理就是依據(jù)兩個(gè)對象的相似性，有可能把一個(gè)數(shù)學(xué)對象的特殊知識轉(zhuǎn)移到另一個(gè)數(shù)學(xué)對象上去，從而獲得對后一個(gè)對象的新知識。 在數(shù)學(xué)解題過程中，當(dāng)我們的思維遇到障礙時(shí)，運(yùn)用類比推理，往往能實(shí)現(xiàn)知識的正遷移，將已學(xué)過的知識或已掌握的解題方法遷移過來，“柳暗花明又一村。例如： ：x,y,z 均為正實(shí)數(shù) 求證： 分析：此題好似無從著手，但我們從整體上觀察結(jié)論知：“三角形兩邊之和大于第三邊與其相似，而被開方式與余弦定理相

2、類比，從而設(shè)法構(gòu)造一個(gè)三角形，用幾何知識證明。 證明：作,如圖， AOB=BOC=COA= 令OA=x, OB=y, OC=z 由余弦定理可得: AB= AC= BC= AB+AC>BC 故原式得證?？梢?，類比在數(shù)學(xué)解題中有著十分重要的作用。類比推理可用如下列圖式描述： 類比根據(jù) 其中分別與相同或相似， 推論：B類對象也具有與d相同或相似的屬性d'。 我們知道正三角形內(nèi)任一點(diǎn)P到各邊距離之和為常數(shù)。分別從三條邊相等與三個(gè)角相等類比，“在各邊相同的凸多邊形內(nèi)任一點(diǎn)P到各邊距離之和為常數(shù)和“在各角相等的凸多邊形內(nèi)任一點(diǎn)P到各邊距離之和為常數(shù)?？梢宰C明這兩個(gè)命題都是正確的利用面積法證明

3、。 常用的類比有： 1、平面與空間的類比 把立體幾何知識與相關(guān)的平面幾何知識類比，是實(shí)現(xiàn)知識遷移的有效方法，也利于化難為易，啟迪思維。如，關(guān)于勾股定理，可有幾個(gè)類比：勾股定理：在直角邊長為a,b，斜邊長為c的直角三角形中，有 類比1：長、寬、高分別為p,q,r,對角線長為d的長方體中，有 類比2：長方體交于某一頂點(diǎn)的三個(gè)長方形面的對角線長分別為p,q,r,長方體對角線長為d，那么有 類比3：四面體交于一個(gè)頂點(diǎn)O的三條棱兩兩互相垂直，與O相鄰的三個(gè)面的面積分別為A，B，C，與O相對的面的面積為D，那么有： 2、數(shù)與形的類比在數(shù)學(xué)研究中，數(shù)與形的類比經(jīng)常在相反的方向上得到應(yīng)用。即通過與“形的比擬去

4、推測“數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，又通過與“數(shù)的比擬去推測“形的有關(guān)性質(zhì)。例：求k的值。分析：類比兩直線 l1:ax+by+c=0與 l2：b+cx+(c+a)y+(a+b)=0重合 那么有a+b+c(x+y)+(a+b+c)=0又例：k為何值時(shí)，方程組有一組解？ 兩組解？ 無解？  利用數(shù)與形類比，解法直觀，簡單明了。方程組有一組解，即直線與半圓只有一個(gè)交點(diǎn)；有二組解，即直線與半圓有兩個(gè)交點(diǎn)；無解，即直線與半圓無交點(diǎn)。所以，當(dāng)時(shí)有兩解； 當(dāng)時(shí)有一組解； 當(dāng)時(shí)無解。 再例：過正方形ABCD的頂點(diǎn)C作任一直線與AB、AD的延長線分別與E、F，求證AE+AF4AB分析：原結(jié)論稍加變形為AE+

5、AF24ABAE+AF 類比二次方程判別式 ，構(gòu)造一元二次方程。證：如圖，設(shè)AB=，AE=x, AF=y , 即 xy-a(x+y)=0, 又設(shè)x+y=m, 那么y=m-x. 代入xy-a(x+y)=0, 得:x2-mx+ma=0 x為正實(shí)數(shù)，=m2-4ma0，即m4a AE+AF4AB  3、解題方法上的類比例：假設(shè)求證：2y=x+z(即x,y,z成等差數(shù)列)分析：通過類比，類比為一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系來解，構(gòu)造一元二次方程因?yàn)?是方程的解，所以方程有兩相等實(shí)根，都為1。由韋達(dá)定理，兩根之積為 4、有限與無限的類比例：因?yàn)閳A可看成是正多邊形當(dāng)邊數(shù)趨于無窮時(shí)的極限情形。因此，依據(jù)“三角形的面積等于底與高的乘積的一半的結(jié)論，可證：正多邊形的面積等于周長與邊心距乘積的一半。從而類比出：圓的面積等于其周長與半徑乘積的一半，即，顯然正確。當(dāng)然，類比結(jié)果的正確性必須經(jīng)嚴(yán)格的邏