同濟(jì)大學(xué)第六版導(dǎo)數(shù)與微分課件

1、第一講 導(dǎo)數(shù)概念導(dǎo)數(shù)概念導(dǎo)數(shù)概念一、導(dǎo)數(shù)概念二、求導(dǎo)舉例導(dǎo)數(shù)概念導(dǎo)數(shù)概念一、導(dǎo)數(shù)概念二、求導(dǎo)舉例一、導(dǎo)數(shù)概念一、導(dǎo)數(shù)概念(一) 函數(shù)在一點(diǎn)處可導(dǎo)的概念(二) 函數(shù)在區(qū)間上可導(dǎo)的概念一、導(dǎo)數(shù)概念一、導(dǎo)數(shù)概念(一) 函數(shù)在一點(diǎn)處可導(dǎo)的概念(二) 函數(shù)在區(qū)間上可導(dǎo)的概念( (一一) ) 函數(shù)在一點(diǎn)處可導(dǎo)的概念函數(shù)在一點(diǎn)處可導(dǎo)的概念1引例2導(dǎo)數(shù)定義3單側(cè)導(dǎo)數(shù)4幾何意義5可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系( (一一) ) 函數(shù)在一點(diǎn)處可導(dǎo)的概念函數(shù)在一點(diǎn)處可導(dǎo)的概念1引例2導(dǎo)數(shù)定義3單側(cè)導(dǎo)數(shù)4幾何意義5可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系xyo（一）引例（一）引例變速直線運(yùn)動(dòng)的速度變速直線運(yùn)動(dòng)的速度（1 1）勻速運(yùn)動(dòng)：勻速運(yùn)動(dòng)：變速運(yùn)動(dòng)：變

2、速運(yùn)動(dòng)：平面曲線的切線平面曲線的切線（2 2）tsv t)(tfs 0tt tt 0)(0tf)(ttf 0)()(00tfttfs ts v )(0tv )(0tv? tst 0lim)(0tv 瞬時(shí)速度瞬時(shí)速度切線定義：切線定義：（一）引例（一）引例變速直線運(yùn)動(dòng)的速度變速直線運(yùn)動(dòng)的速度（1 1）勻速運(yùn)動(dòng)：勻速運(yùn)動(dòng)：變速運(yùn)動(dòng)：變速運(yùn)動(dòng)：平面曲線的切線平面曲線的切線（2 2）tsv t)(tfs 0tt tt 0)(0tf)(ttf 0)()(00tfttfs ts v )(0tv )(0tv? tst 0lim)(0tv 瞬時(shí)速度瞬時(shí)速度切線定義：切線定義：xyoMN（一）引例（一）引例變速

3、直線運(yùn)動(dòng)的速度變速直線運(yùn)動(dòng)的速度（1 1）勻速運(yùn)動(dòng)：勻速運(yùn)動(dòng)：變速運(yùn)動(dòng)：變速運(yùn)動(dòng)：平面曲線的切線平面曲線的切線（2 2）tsv t)(tfs 0tt tt 0)(0tf)(ttf 0)()(00tfttfs ts v )(0tv )(0tv? tst 0lim)(0tv 瞬時(shí)速度瞬時(shí)速度切線定義：切線定義：xyoMN（一）引例（一）引例變速直線運(yùn)動(dòng)的速度變速直線運(yùn)動(dòng)的速度（1 1）勻速運(yùn)動(dòng)：勻速運(yùn)動(dòng)：變速運(yùn)動(dòng)：變速運(yùn)動(dòng)：平面曲線的切線平面曲線的切線（2 2）tsv t)(tfs 0tt tt 0)(0tf)(ttf 0)()(00tfttfs ts v )(0tv )(0tv? tst 0li

4、m)(0tv 瞬時(shí)速度瞬時(shí)速度切線定義：切線定義：xyoMN（一）引例（一）引例變速直線運(yùn)動(dòng)的速度變速直線運(yùn)動(dòng)的速度（1 1）勻速運(yùn)動(dòng)：勻速運(yùn)動(dòng)：變速運(yùn)動(dòng)：變速運(yùn)動(dòng)：平面曲線的切線平面曲線的切線（2 2）tsv t)(tfs 0tt tt 0)(0tf)(ttf 0)()(00tfttfs ts v )(0tv )(0tv? tst 0lim)(0tv 瞬時(shí)速度瞬時(shí)速度切線定義：切線定義：xyoMN（一）引例（一）引例變速直線運(yùn)動(dòng)的速度變速直線運(yùn)動(dòng)的速度（1 1）勻速運(yùn)動(dòng)：勻速運(yùn)動(dòng)：變速運(yùn)動(dòng)：變速運(yùn)動(dòng)：平面曲線的切線平面曲線的切線（2 2）tsv t)(tfs 0tt tt 0)(0tf)(t

5、tf 0)()(00tfttfs ts v )(0tv )(0tv? tst 0lim)(0tv 瞬時(shí)速度瞬時(shí)速度切線定義：切線定義：x xyoMT割線的極限位置割線的極限位置（一）引例（一）引例變速直線運(yùn)動(dòng)的速度變速直線運(yùn)動(dòng)的速度（1 1）勻速運(yùn)動(dòng)：勻速運(yùn)動(dòng)：變速運(yùn)動(dòng)：變速運(yùn)動(dòng)：平面曲線的切線平面曲線的切線（2 2）tsv t)(tfs 0tt tt 0)(0tf)(ttf 0)()(00tfttfs ts v )(0tv )(0tv? tst 0lim)(0tv 瞬時(shí)速度瞬時(shí)速度切線定義：切線定義：割線的極限位置割線的極限位置xo0 xx xx 0)(0 xf)(xxf 0y)()(00

6、xfxxfy xy MNk MTk xyx 0limMTk MTk? 切線斜率切線斜率物物 理理 問問 題題幾幾 何何 問問 題題不同點(diǎn)：不同點(diǎn)：背景不同背景不同（一）引例（一）引例變速直線運(yùn)動(dòng)的速度變速直線運(yùn)動(dòng)的速度（1 1）勻速運(yùn)動(dòng)：勻速運(yùn)動(dòng)：變速運(yùn)動(dòng)：變速運(yùn)動(dòng)：平面曲線的切線平面曲線的切線（2 2）tsv t)(tfs 0tt tt 0)(0tf)(ttf 0)()(00tfttfs ts v )(0tv )(0tv? tst 0lim)(0tv 瞬時(shí)速度瞬時(shí)速度切線定義：切線定義：割線的極限位置割線的極限位置xo0 xx xx 0)(0 xf)(xxf 0y)()(00 xfxxfy

7、xy MNk MTk xyx 0limMTk MTk? 切線斜率切線斜率不同點(diǎn)：不同點(diǎn)：背景不同背景不同相同點(diǎn)：相同點(diǎn)：方法相同方法相同算算 增增 量量求求 比比 值值取取 極極 限限（一）引例（一）引例變速直線運(yùn)動(dòng)的速度變速直線運(yùn)動(dòng)的速度（1 1）勻速運(yùn)動(dòng)：勻速運(yùn)動(dòng)：變速運(yùn)動(dòng)：變速運(yùn)動(dòng)：平面曲線的切線平面曲線的切線（2 2）tsv t)(tfs 0tt tt 0)(0tf)(ttf 0)()(00tfttfs ts v )(0tv )(0tv? tst 0lim)(0tv 瞬時(shí)速度瞬時(shí)速度切線定義：切線定義：割線的極限位置割線的極限位置xo0 xx xx 0)(0 xf)(xxf 0y)()

8、(00 xfxxfy xy MNk MTk xyx 0limMTk MTk? 切線斜率切線斜率不同點(diǎn)：不同點(diǎn)：背景不同背景不同相同點(diǎn)：相同點(diǎn)：方法相同方法相同數(shù)學(xué)形式相同數(shù)學(xué)形式相同極限極限極限極限xyx 0lim( (一一) ) 函數(shù)在一點(diǎn)處可導(dǎo)的概念函數(shù)在一點(diǎn)處可導(dǎo)的概念1引例2導(dǎo)數(shù)定義3單側(cè)導(dǎo)數(shù)4幾何意義5可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系( (一一) ) 函數(shù)在一點(diǎn)處可導(dǎo)的概念函數(shù)在一點(diǎn)處可導(dǎo)的概念1引例2導(dǎo)數(shù)定義3單側(cè)導(dǎo)數(shù)4幾何意義5可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系即即: :xxfxxfxyxfxx )()(limlim)(00000定義定義設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xfy 在點(diǎn)在點(diǎn)0 x的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義,

9、 , 并稱這個(gè)極限為函數(shù)并稱這個(gè)極限為函數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)0 x處處可導(dǎo)可導(dǎo), , 當(dāng)自變量當(dāng)自變量x在在x0處取得增量處取得增量( (點(diǎn)點(diǎn)x xx 0仍在該鄰域內(nèi)仍在該鄰域內(nèi)) )時(shí)時(shí), ,相應(yīng)地，相應(yīng)地，因變量取得增量因變量取得增量);()(00 xfxxfy 如果如果y 與與x 之比之比當(dāng)當(dāng)0 x時(shí)的極限存在時(shí)的極限存在, ,那么稱函數(shù)那么稱函數(shù))(xfy 在點(diǎn)在點(diǎn)0 x處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù), , )(xfy 記為記為)(0 x f也可記作也可記作: :0|xxy 0|ddxxxy 0|d)(dxxxxf 或或l注注變化率變化率導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì)導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì): : (1)線密度、線密度、電流強(qiáng)度電流強(qiáng)度xy

10、因變量因變量y在區(qū)間上的平均變化率在區(qū)間上的平均變化率0 x)(0 xf 因變量因變量y在一點(diǎn)處的變化率在一點(diǎn)處的變化率導(dǎo)數(shù)的背景導(dǎo)數(shù)的背景 (2)反應(yīng)速度反應(yīng)速度物理：物理： 角速度、角速度、 加速度、加速度、化學(xué)：化學(xué)：經(jīng)濟(jì)學(xué)：經(jīng)濟(jì)學(xué)：邊際成本邊際成本導(dǎo)數(shù)的定義式導(dǎo)數(shù)的定義式: : (3)(0 xf xxfxxfx )()(lim000導(dǎo)數(shù)的定義式的其它形式導(dǎo)數(shù)的定義式的其它形式: : (4)(0 xf 000()()limhf xhf xh 000 xxxfxfxx )()(limu例例1 1xxfxxfx )()(lim000)(0 xf 000()()limhf xhf xhh )(

11、02xf 初值必須是初值必須是f (x0 0)形式相同形式相同)(0 xf 存在存在 若若,lim0 xyx也稱也稱)(xf在在0 x的導(dǎo)數(shù)為無(wú)窮大的導(dǎo)數(shù)為無(wú)窮大. .(5) 若若在點(diǎn)在點(diǎn) 0 x就說(shuō)函數(shù)就說(shuō)函數(shù)不可導(dǎo)不可導(dǎo) 不存在不存在, ,xyx 0lim)(xfy ( (一一) ) 函數(shù)在一點(diǎn)處可導(dǎo)的概念函數(shù)在一點(diǎn)處可導(dǎo)的概念1引例2導(dǎo)數(shù)定義3單側(cè)導(dǎo)數(shù)4幾何意義5可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系( (一一) ) 函數(shù)在一點(diǎn)處可導(dǎo)的概念函數(shù)在一點(diǎn)處可導(dǎo)的概念1引例2導(dǎo)數(shù)定義3單側(cè)導(dǎo)數(shù)4幾何意義5可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系若極限若極限xxfxxfxyxx )()(limlim0000記作記作)(0 xf ( (左左)

12、 )( (左左) )0( x)0( x)(0 xf 0 x存在存在, ,定理定理定義定義在點(diǎn)在點(diǎn)的某個(gè)右的某個(gè)右 鄰域內(nèi)有定義鄰域內(nèi)有定義, ,設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xfy 0 x則稱此極限值為則稱此極限值為)(xf在在0 x處的右處的右 導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù), ,函數(shù)函數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn))(xfy 0 x可導(dǎo)可導(dǎo))(0 xf)(0 xf和和都存在且相等都存在且相等( (一一) ) 函數(shù)在一點(diǎn)處可導(dǎo)的概念函數(shù)在一點(diǎn)處可導(dǎo)的概念1引例2導(dǎo)數(shù)定義3單側(cè)導(dǎo)數(shù)4幾何意義5可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系( (一一) ) 函數(shù)在一點(diǎn)處可導(dǎo)的概念函數(shù)在一點(diǎn)處可導(dǎo)的概念1引例2導(dǎo)數(shù)定義3單側(cè)導(dǎo)數(shù)4幾何意義5可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系 導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何

13、意義xyo)(xfy CT0 xM曲線曲線)(xfy 在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx的切線斜率的切線斜率)(tan0 xf 切線方程切線方程: :)(000 xxxfyy法線方程法線方程: :)()(1000 xxxfyy)0)(0 xf( (一一) ) 函數(shù)在一點(diǎn)處可導(dǎo)的概念函數(shù)在一點(diǎn)處可導(dǎo)的概念1引例2導(dǎo)數(shù)定義3單側(cè)導(dǎo)數(shù)4幾何意義5可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系( (一一) ) 函數(shù)在一點(diǎn)處可導(dǎo)的概念函數(shù)在一點(diǎn)處可導(dǎo)的概念1引例2導(dǎo)數(shù)定義3單側(cè)導(dǎo)數(shù)4幾何意義5可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系定理定理處可導(dǎo)在點(diǎn)0 xxf)(處連續(xù)在點(diǎn)0 xxf)(函數(shù)在點(diǎn)函數(shù)在點(diǎn)x0 0連續(xù)未必可導(dǎo)連續(xù)未必可導(dǎo)u例例2 23xxf )(在在0

14、x處連續(xù)處連續(xù)但在但在0 x處不可導(dǎo)處不可導(dǎo)u例例3 3xxf )(在在0 x處連續(xù)處連續(xù)但在但在0 x處不可導(dǎo)處不可導(dǎo)l注注xoyxoy一、導(dǎo)數(shù)概念一、導(dǎo)數(shù)概念(一) 函數(shù)在一點(diǎn)處可導(dǎo)的概念(二) 函數(shù)在區(qū)間上可導(dǎo)的概念一、導(dǎo)數(shù)概念一、導(dǎo)數(shù)概念(一) 函數(shù)在一點(diǎn)處可導(dǎo)的概念(二) 函數(shù)在區(qū)間上可導(dǎo)的概念定義定義定義定義定義定義 若函數(shù)若函數(shù))(xfy 在區(qū)間在區(qū)間I上的每一點(diǎn)處可導(dǎo)，上的每一點(diǎn)處可導(dǎo)，這時(shí)，對(duì)于區(qū)間這時(shí)，對(duì)于區(qū)間I上的任一點(diǎn)上的任一點(diǎn)x，都對(duì)應(yīng)著，都對(duì)應(yīng)著)( xf的一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)值，這樣就構(gòu)成了一個(gè)新的函數(shù)，的一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)值，這樣就構(gòu)成了一個(gè)新的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)稱為原來(lái)函數(shù)

15、這個(gè)函數(shù)稱為原來(lái)函數(shù))( xf的導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)記作記作: :,y ),(xf xyddxxfd)(d或或若函數(shù)若函數(shù))(xfy 在在),(ba內(nèi)的每一點(diǎn)處可導(dǎo)內(nèi)的每一點(diǎn)處可導(dǎo), ,則稱函數(shù)則稱函數(shù))(xfy 在在內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo). .),(ba若函數(shù)若函數(shù))(xfy 在在則稱函數(shù)則稱函數(shù))(xfy 在在上可導(dǎo)上可導(dǎo). .在在ax 處右可導(dǎo)，處右可導(dǎo)， 在在bx 處左可導(dǎo)，處左可導(dǎo)，),(ba內(nèi)的每一點(diǎn)處可導(dǎo)內(nèi)的每一點(diǎn)處可導(dǎo), ,ba導(dǎo)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系導(dǎo)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別區(qū)別: :)(xf 函數(shù)函數(shù))(0 xf 數(shù)數(shù)聯(lián)系聯(lián)系: :00 xxxfxf )()(注意注意: : )()(00 xfxf結(jié)論結(jié)論導(dǎo)函數(shù)的定義式導(dǎo)函數(shù)的定義式xxfxxfxfx )()(lim)(0函數(shù)函數(shù))(xfy 在在上可導(dǎo)上可導(dǎo),ba函數(shù)函數(shù))(xfy 在在上連續(xù)上連續(xù),ba導(dǎo)數(shù)概念導(dǎo)數(shù)概念一、導(dǎo)數(shù)概念二、求導(dǎo)舉例導(dǎo)數(shù)概念導(dǎo)數(shù)概念一、導(dǎo)數(shù)概念二、求導(dǎo)舉例用定義求導(dǎo)步驟用定義求導(dǎo)步驟: :()( );yf xxf x ()( );yf xxf xxx xxfxxfxyxfxx )()(limlim)(00導(dǎo)函數(shù)的定義式導(dǎo)函數(shù)的定義式: :xxfxxfxfx )()(lim)(0(1)(1)算增量算增