有限差分法和變分法

1、第五章用差分法和變分法解平面問題NORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡明教程5 51 1差分公式的推導(dǎo)差分公式的推導(dǎo)NORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡明教程5 51 1差分公式的推導(dǎo)差分公式的推導(dǎo)0 xy0312456789101112A1314BhhNORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡明教程5 51 1差分公式的推導(dǎo)差分公式的推導(dǎo)0 xy0312456789101112A1314Bhh,ffx yxxf22000200343400340012!113!4!ffffxxxxxxffxxxxxxNORTHEASTERN UNIVERSI

2、TY彈性力學(xué)簡明教程5 51 1差分公式的推導(dǎo)差分公式的推導(dǎo)0,0 xh0,0 xhh22333023000223310230002626fhfhfffhxxxfhfhfffhxxx2230200221020022fhfffhxxfhfffhxx0fx220fxNORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡明教程220fx5 51 1差分公式的推導(dǎo)差分公式的推導(dǎo)130213022022fffxhffffxhy240224022022fffyhffffyh0fxNORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡明教程5 51 1差分公式的推導(dǎo)差分公式的推導(dǎo) 65782130068

3、572222214ffffffyyffhhx yxyhhffffh 40139114404012345678224040241012440164142164ffffffxhffffffffffx yhffffffyhNORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡明教程5 51 1差分公式的推導(dǎo)差分公式的推導(dǎo)fxyNORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡明教程5 52 2應(yīng)力函數(shù)的差分解應(yīng)力函數(shù)的差分解NORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡明教程5 52 2應(yīng)力函數(shù)的差分解應(yīng)力函數(shù)的差分解 當(dāng)不計體力時，我們已把彈當(dāng)不計體力時，我們已把彈性力學(xué)平面問題

4、歸結(jié)為在給定邊性力學(xué)平面問題歸結(jié)為在給定邊界條件下求解雙調(diào)和方程的問題。界條件下求解雙調(diào)和方程的問題。用差分法解平面問題，就應(yīng)先將用差分法解平面問題，就應(yīng)先將雙調(diào)和方程變換為差分方程，而雙調(diào)和方程變換為差分方程，而后求解之。后求解之。0 xy0312456789101112A1314Bhh40雙調(diào)和方程：雙調(diào)和方程：NORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡明教程5 52 2應(yīng)力函數(shù)的差分解應(yīng)力函數(shù)的差分解1 1、應(yīng)力分量（不計體力）、應(yīng)力分量（不計體力） 一旦求得彈性體全部節(jié)點(diǎn)的一旦求得彈性體全部節(jié)點(diǎn)的 值后，就可按應(yīng)力分量差分公式（對值后，就可按應(yīng)力分量差分公式（對節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)0

5、 0）算得彈性體各節(jié)點(diǎn)的應(yīng)力。）算得彈性體各節(jié)點(diǎn)的應(yīng)力。0 xy0312456789101112A1314Bhh2240220021302200257682001()21()21()()4xyxyyhxhx yh 如果知道各結(jié)點(diǎn)的如果知道各結(jié)點(diǎn)的 值，就可以求得各結(jié)點(diǎn)的應(yīng)力分量。值，就可以求得各結(jié)點(diǎn)的應(yīng)力分量。NORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡明教程5 52 2應(yīng)力函數(shù)的差分解應(yīng)力函數(shù)的差分解雙調(diào)和方程雙調(diào)和方程 對于彈性體邊界以內(nèi)的每一結(jié)點(diǎn)，都可以建立這樣一個差分方程。對于彈性體邊界以內(nèi)的每一結(jié)點(diǎn)，都可以建立這樣一個差分方程。 應(yīng)力函數(shù)在域內(nèi)應(yīng)該滿足上式。應(yīng)力函數(shù)在域內(nèi)

6、應(yīng)該滿足上式。444422420 xxyy整理即得整理即得2 2、差分方程（相容方程）、差分方程（相容方程）相容方程的差分公式相容方程的差分公式0 xy0312456789101112A1314Bhh0123456789101112208() 2() () 0 NORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡明教程5 52 2應(yīng)力函數(shù)的差分解應(yīng)力函數(shù)的差分解 當(dāng)對于邊界內(nèi)一行的（距邊界為當(dāng)對于邊界內(nèi)一行的（距邊界為h的）結(jié)點(diǎn)，建立的差分方程還將涉及的）結(jié)點(diǎn)，建立的差分方程還將涉及邊界上各結(jié)點(diǎn)處的邊界上各結(jié)點(diǎn)處的 值，并包含邊界外一行的虛結(jié)點(diǎn)處的值，并包含邊界外一行的虛結(jié)點(diǎn)處的 值。值。

7、為了求得邊界上各結(jié)點(diǎn)處的為了求得邊界上各結(jié)點(diǎn)處的 值，須要應(yīng)用應(yīng)力邊界條件，即：值，須要應(yīng)用應(yīng)力邊界條件，即： xyxxxyyylmflmf 在 上s代入上式，即得：代入上式，即得： 222222;xylmflmfyx yx yx （b）22222,xyxyyxx y （a）NORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡明教程5 52 2應(yīng)力函數(shù)的差分解應(yīng)力函數(shù)的差分解由圖（由圖（52）可見）可見cos,coscos,sindyln xdsdxmn yds AB0 xBySyxydxdydsnyfxfBx圖5-2因此，式（因此，式（b）可以改寫成）可以改寫成222222ddddddd

8、dxyyxfsysx yyxfsx ysx NORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡明教程5 52 2應(yīng)力函數(shù)的差分解應(yīng)力函數(shù)的差分解約去約去 dy、dx 得：得： xyddffdsydsx ； （c）關(guān)于邊界上任一點(diǎn)處關(guān)于邊界上任一點(diǎn)處 、 的值，可將上式從基點(diǎn)的值，可將上式從基點(diǎn) A A 到到 任意點(diǎn)任意點(diǎn)B B ，對對 s s 積分得到：積分得到：xyddBBBBxyAAAAfsfsyx；ddBBxyAABABAfsfsyyxx ； （d）NORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡明教程5 52 2應(yīng)力函數(shù)的差分解應(yīng)力函數(shù)的差分解由高等數(shù)學(xué)可知，由高等數(shù)學(xué)可

9、知，ddd.dddxysxsys 將此式亦從將此式亦從 A A 點(diǎn)到點(diǎn)到 B B 點(diǎn)沿點(diǎn)沿 s s 進(jìn)進(jìn)行積分，就得到邊界上任一點(diǎn)行積分，就得到邊界上任一點(diǎn) B B 處的處的 值。為此利用分部積分法，得：值。為此利用分部積分法，得： dddd ,ddBBBBBAAAAAxxsyysxsxysy bbbaaau x dv xu x v xv x du xAB0 xBySyxydxdydsnyfxfBx圖5-2NORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡明教程5 52 2應(yīng)力函數(shù)的差分解應(yīng)力函數(shù)的差分解將式將式(c),(d)(c),(d)代入，整理得：代入，整理得：由前知，把應(yīng)力函數(shù)加

10、上一個線性函數(shù)，并不影響應(yīng)力。因此，可設(shè)由前知，把應(yīng)力函數(shù)加上一個線性函數(shù)，并不影響應(yīng)力。因此，可設(shè)想把應(yīng)力函數(shù)加上想把應(yīng)力函數(shù)加上a+bx+cy，然后調(diào)整，然后調(diào)整a，b，c三個數(shù)值，使得三個數(shù)值，使得由式由式(d)(d)及式及式(c)(c)可見，設(shè)可見，設(shè) 已知，則可根據(jù)面力分量求得已知，則可根據(jù)面力分量求得邊界邊界s s上任一點(diǎn)上任一點(diǎn)B B的的 ,.BBBxy,AAAxy0A0,0AAxy()()()d()dBBBABABABxByAAAAxxyyyy fsxxfsxy（e）NORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡明教程5 52 2應(yīng)力函數(shù)的差分解應(yīng)力函數(shù)的差分解于是式

11、于是式(d)，式，式(e) 簡化為：簡化為：dd()d()dBxABByABBBBBBxyAAfsyfsxyy fsxxfs （511）（512）（513） 討論：討論：（1）（）（511）右邊積分式表示）右邊積分式表示AB之間，之間， 方向的面力之和；方向的面力之和；x（2）（）（512）右邊積分式表示）右邊積分式表示AB之間，之間， 方向的面力之和改號；方向的面力之和改號；y（3）（）（513）右邊積分式表示）右邊積分式表示AB之間，之間， 面力對面力對B的力矩之和；的力矩之和；（4）以上結(jié)果不能用于多連體的情況。）以上結(jié)果不能用于多連體的情況。NORTHEASTERN UNIVERSIT

12、Y彈性力學(xué)簡明教程5 52 2應(yīng)力函數(shù)的差分解應(yīng)力函數(shù)的差分解邊界外一行的虛節(jié)點(diǎn)的邊界外一行的虛節(jié)點(diǎn)的 值值139141022ABhxhy（514）0 xy0312456789101112A1314Bhh1392Axh14102AyhNORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡明教程5 52 2應(yīng)力函數(shù)的差分解應(yīng)力函數(shù)的差分解用差分法解彈性平面問題時，可按下列步驟進(jìn)行：用差分法解彈性平面問題時，可按下列步驟進(jìn)行：（2 2）應(yīng)用公式（）應(yīng)用公式（5 51414），將邊界外一行虛結(jié)點(diǎn)處的），將邊界外一行虛結(jié)點(diǎn)處的 值用邊界內(nèi)的相值用邊界內(nèi)的相 應(yīng)結(jié)點(diǎn)處的應(yīng)結(jié)點(diǎn)處的 值來表示。值來表示。

13、0AAAxy取取 （1 1）在邊界上任意選定一個結(jié)點(diǎn)作為基點(diǎn)）在邊界上任意選定一個結(jié)點(diǎn)作為基點(diǎn)A A，然后由面力的矩及面力之和算出邊界上所有各結(jié)點(diǎn)處然后由面力的矩及面力之和算出邊界上所有各結(jié)點(diǎn)處 的值，以的值，以及所必需的一些及所必需的一些 及及 值，即垂直于邊界方向的導(dǎo)數(shù)值。值，即垂直于邊界方向的導(dǎo)數(shù)值。xy（3 3）對邊界內(nèi)的各結(jié)點(diǎn)建立差分方程（）對邊界內(nèi)的各結(jié)點(diǎn)建立差分方程（5 51010），聯(lián)立求解這些結(jié)點(diǎn)處的），聯(lián)立求解這些結(jié)點(diǎn)處的 值。值。NORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡明教程5 52 2應(yīng)力函數(shù)的差分解應(yīng)力函數(shù)的差分解（5 5）按照公式（）按照公式（5 5

14、9 9）計算應(yīng)力的分量。）計算應(yīng)力的分量。 說明：說明： 如果一部分邊界是曲線的，或是不與坐標(biāo)軸正交，則邊界附近將如果一部分邊界是曲線的，或是不與坐標(biāo)軸正交，則邊界附近將出現(xiàn)不規(guī)則的內(nèi)結(jié)點(diǎn)。對于這樣的結(jié)點(diǎn)，差分方程（出現(xiàn)不規(guī)則的內(nèi)結(jié)點(diǎn)。對于這樣的結(jié)點(diǎn)，差分方程（5 51010）必須加）必須加以修正。以修正。（4 4）按照公式（）按照公式（5 51313），算出邊界外一行的各虛結(jié)點(diǎn)處的），算出邊界外一行的各虛結(jié)點(diǎn)處的 值。值。NORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡明教程5 54 4彈性體的變形勢能和外力勢能彈性體的變形勢能和外力勢能NORTHEASTERN UNIVERSITY

15、彈性力學(xué)簡明教程5 54 4彈性體的變形勢能和外力勢能彈性體的變形勢能和外力勢能NORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡明教程 設(shè)彈性體在一定外力作用下，處于設(shè)彈性體在一定外力作用下，處于平衡狀態(tài)平衡狀態(tài)，發(fā)生的，發(fā)生的真實(shí)位移真實(shí)位移為為u,v,w，它們滿足位移分量表示的平衡方程，并滿足位移邊界條件它們滿足位移分量表示的平衡方程，并滿足位移邊界條件和用位移表示的應(yīng)力邊界條件。彈性體受力后，發(fā)生變形，外力作和用位移表示的應(yīng)力邊界條件。彈性體受力后，發(fā)生變形，外力作功，外力功轉(zhuǎn)化為變形能，儲存在彈性體內(nèi)，單元體內(nèi)的變形能為功，外力功轉(zhuǎn)化為變形能，儲存在彈性體內(nèi)，單元體內(nèi)的變形能為

16、5 54 4彈性體的變形勢能和外力勢能彈性體的變形勢能和外力勢能1()12xxyyzzyzyzzxzxxyxyU 101d2ijijijijijU 11d d dd dd2ijijUU x y zxyz NORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡明教程5 54 4彈性體的變形勢能和外力勢能彈性體的變形勢能和外力勢能112xxyyxyxyU 112xxyyxyxyAAUU dxdydxdy 22112 1xxyyyxxyxyEEE222121222 1xyxyxyEU ,xyxy111,xyxyxyxyUUU（515）NORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡明教程5

17、 54 4彈性體的變形勢能和外力勢能彈性體的變形勢能和外力勢能222121222 1Euvu vvuUxyxyxy 21EE1平面應(yīng)力 平面應(yīng)變22221222 1AEuvu vvuUdxdyxyxyxy （516）NORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡明教程5 54 4彈性體的變形勢能和外力勢能彈性體的變形勢能和外力勢能NORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡明教程5 54 4彈性體的變形勢能和外力勢能彈性體的變形勢能和外力勢能,xyffS,xyffxyxyAsVWf uf v dxdyf uf v ds （518）xyxyAsWf uf v dxdyf u

18、f v ds（517）NORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡明教程5 55 5 位移變分方程位移變分方程N(yùn)ORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡明教程5 55 5位移變分方程位移變分方程 設(shè)有任一彈性體，在一定外力作用下處于設(shè)有任一彈性體，在一定外力作用下處于平衡狀態(tài)平衡狀態(tài)。命。命 為該彈性體中為該彈性體中實(shí)際存在實(shí)際存在的位移分量，它們滿足位移分量表示的平衡微分的位移分量，它們滿足位移分量表示的平衡微分方程，并滿足位移邊界條件及用位移分量表示的應(yīng)力邊界條件。方程，并滿足位移邊界條件及用位移分量表示的應(yīng)力邊界條件。, ,u v w 假想假想，位移分量發(fā)生了位

19、移邊界條件所容許的微小改變，即，位移分量發(fā)生了位移邊界條件所容許的微小改變，即虛位移虛位移，或或位移變分位移變分, uv,uuuvvv對于三維時：對于三維時：,uuuuuuwww一、位移變分方程（拉格朗日變分方程）一、位移變分方程（拉格朗日變分方程）注：變分和微分都是微量，運(yùn)算方法相同。注：變分和微分都是微量，運(yùn)算方法相同。NORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡明教程5 55 5位移變分方程位移變分方程給出彈性體的限制條件：給出彈性體的限制條件：（1）沒有溫度改變（熱能沒變）；）沒有溫度改變（熱能沒變）；（2）沒有速度改變（動能沒變）。）沒有速度改變（動能沒變）。根據(jù)能量守恒

20、，變形勢能的增加等于外力勢能的減少（外力的虛功）根據(jù)能量守恒，變形勢能的增加等于外力勢能的減少（外力的虛功）三維：三維：xyzxyzUfufvfw dxdydzfufvfw ds上式：位移變分方程（拉格朗日變分方程）上式：位移變分方程（拉格朗日變分方程）xyxyAsUfufv dxdyfufv ds體力的虛功面力的虛功（522）NORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡明教程5 55 5位移變分方程位移變分方程二、虛功方程二、虛功方程按照變分原理，變分運(yùn)算與定積分的運(yùn)算可以交換次序。11UU dxdydzU dxdydz利用（515）111111xyzyzzxxyxyzyzzxx

21、yxxyyzzyzyzzxzxxyxyUUUUUUUdxdydzdxdydz 代入位移變分方程xyzxyzxxyyzzyzyzzxzxxyxyfufvfw dxdydzfufvfw dsdxdydz （524）NORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡明教程5 55 5位移變分方程位移變分方程對應(yīng)于二維情況sxyxyAxxyyxyxyAfufv dxdyfufv dsdxdy （524） （524）就是虛功方程虛功方程，表示：如果在虛位移發(fā)生前，彈性體是處于平衡狀態(tài)平衡狀態(tài)，那么，在虛位移過程中，外力在虛位移上所做的虛功虛功，等于應(yīng)力在虛應(yīng)變上所做的虛功虛功。NORTHEASTE

22、RN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡明教程5 55 5位移變分方程位移變分方程三、極小勢能原理三、極小勢能原理令在虛位移過程中，外力的大小和方向保持不變，只是作用點(diǎn)發(fā)生了改變xyzxyzxyzxyzUfufvfw dxdydzfufvfw dsf uf vf w dxdydzf uf vwfds將變分與定積分交換次序，移項0 xyzxyzUf uf vf w dxdydzf uf vf w ds令xyzxyzVf uf vf w dxdydzf uf vf w ds 極小勢能原理極小勢能原理： （523） 0UVNORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡明教程極小勢能原理極小勢能

23、原理： （523） 0UV5 55 5位移變分方程位移變分方程 在給定外力作用下，在滿足位移邊界條件的所有各組位移中間，實(shí)際存在的一組位移應(yīng)使總勢能成為極值，對于穩(wěn)定平衡狀態(tài)，這個值是極小值。 位移變分方程（極小勢能原理或虛功方程）等價于平衡微分方程和應(yīng)力邊界條件。NORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡明教程5 56 6 位移變分法位移變分法NORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡明教程56位移變分法（瑞利-里茨法）位移變分法：位移變分法：（1）設(shè)定一組包含若干待定系數(shù)的位移分量表達(dá)式；（2）使它們滿足位移邊界條件；（3）令其滿足位移變分方程（代替平衡微分方程

24、核應(yīng)力邊界條件）并求 出待定系數(shù)，就同樣地能得出實(shí)際位移解答。（1）位移分量表達(dá)式）位移分量表達(dá)式00,m mm mmmuuA uvvB v（525）其中：其中： 和和 是坐標(biāo)的函數(shù)，是坐標(biāo)的函數(shù)， 為為2m個互不依賴的待定系數(shù)個互不依賴的待定系數(shù)。00,u v,mmuv,mmABNORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡明教程（2）考察是否滿足邊界條件？56位移變分法令 等于給定約束位移值 ；us,u vus在邊界 上，令 等于零。,mmuv邊界條件滿足邊界條件滿足（3）怎樣滿足變分方程（522）？xyxyAsUfufv dxdyfufv ds體力的虛功面力的虛功（522）NO

25、RTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡明教程位移分量的變分56位移變分法,mmmmmmuuAvvB注：位移分量的變分是由系數(shù) 的變分來實(shí)現(xiàn)的。,mmAB（a）形變勢能的變分mmmmmUUUABAB（b）（a），（b）代入變分方程（522）mmmmmxmmymmxmmymmAsmmUUABABf uAf vBdxdyf uAf vBdsNORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡明教程56位移變分法移項，整理0 xmxmmymymmAsAsmmmmUUf u dxdyf u dsAf v dxdyf v dsBAB變分 是任意的，互不依賴的，所以系數(shù)必須為零,mmAB0

26、0 x mx mAsmy my mAsmUf u dxdyf u dsAUf v dxdyf v dsB（526）討論：（1）由于系數(shù)互不依賴，所以可由方程（526）求出各個系數(shù)；（2）再由（525）求得位移分量；（3）再求應(yīng)變和應(yīng)力分量。NORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡明教程57位移變分法的例題NORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡明教程57位移變分法的例題例1：如圖（59）所示薄板，不計體力， 約束和外力如圖。圖：591 111 11uAuAxvBvB y（1）取位移分量表達(dá)式如下（2）考察是否滿足邊界條件？滿足22221222 1AEuvu vv

27、uUdxdyxyxyxy （516）（3）由（526）求出待定常數(shù)，得到位移分量的解答首先，由（516）求出形變勢能（b）NORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡明教程57位移變分法的例題形變勢能的表達(dá)式22111120022 1abEUABA B dxdy 進(jìn)行積分221111222 1EabUABAB由于不計體力，項數(shù)為1，（526）簡化為1111xsysUf u dsAUf v dsB（c）（d）（e）代入邊界條件積分NORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡明教程57位移變分法的例題（d），（e）式就變?yōu)?211,UUq abq abAB （f）再把形變勢

28、能（c）代入上式11121122222 1222 1EabABq abEabBAq ab 解得11,A B122111,qqqqABEE （g）NORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡明教程位移分量的解答1221,qqqquxvyEE （h）（4）由幾何方程求出應(yīng)變分量；（5）由物理方程求出應(yīng)力分量；57位移變分法的例題NORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡明教程例2xy0aabb圖510問題描述：如圖問題描述：如圖510，不計體力，自由邊，不計體力，自由邊 給定位移：給定位移：求：薄板位移求：薄板位移（1）取位移分量表達(dá)式如下）取位移分量表達(dá)式如下220,1xuva （i）2122212211111xx yyuAaa bbxyxyyvBababb （j）（k）57位移變分法的例題NORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡明教程（2）考察是否滿足邊界條件？）考察是否滿足邊界條件？（3）由（）由（526）求出待定常數(shù)，得到位移分量的解答）求出待定常數(shù)，得到位移分量的解答57位移變分法的例題 02200,0,0,0,0,1,xayy bxayy bu