數(shù)學(xué)實驗：7-數(shù)值仿真

1、 微分方程微分方程一、實驗?zāi)康囊?、實驗?zāi)康膶W(xué)習(xí)單自由度阻尼系統(tǒng)，學(xué)習(xí)單自由度阻尼系統(tǒng)，觀察阻尼系數(shù)對系統(tǒng)的影響觀察阻尼系數(shù)對系統(tǒng)的影響 模擬彈簧振動，學(xué)習(xí)實時動畫編程的原理模擬彈簧振動，學(xué)習(xí)實時動畫編程的原理 了解了解 ode ode 指令的使用方法指令的使用方法 了解了解 Simulink Simulink 仿真的設(shè)計思想仿真的設(shè)計思想阻尼阻尼，是指物體在運動過程中受各種阻，是指物體在運動過程中受各種阻力的影響力的影響,能量逐漸衰減而運動減弱的特能量逐漸衰減而運動減弱的特性。性。在力學(xué)中，對于使自由振動衰減的各種在力學(xué)中，對于使自由振動衰減的各種摩擦和其他阻礙作用，稱為摩擦和其他阻礙作用，稱

2、為阻尼阻尼。安裝在結(jié)構(gòu)系統(tǒng)上，可以耗減運動能量安裝在結(jié)構(gòu)系統(tǒng)上，可以耗減運動能量的裝置，稱之為阻尼器。的裝置，稱之為阻尼器。二、問題描述二、問題描述1. 振動曲線的可視化振動曲線的可視化 無強(qiáng)迫力的單自由度阻尼系統(tǒng)無強(qiáng)迫力的單自由度阻尼系統(tǒng)02222xdtdxcdtxd分析阻尼系數(shù)分析阻尼系數(shù)c 的影響的影響 2. 模擬彈簧振動模擬彈簧振動 一彈簧系統(tǒng)做橫向運動，一彈簧系統(tǒng)做橫向運動， 其位移由以下振動規(guī)律其位移由以下振動規(guī)律所決定：所決定： 2cos( )ut3. 利用利用 Simulink 對微分方程作仿真對微分方程作仿真)()(2tutxdtdx觀察強(qiáng)迫項觀察強(qiáng)迫項u(t) 對系統(tǒng)的影響

3、對系統(tǒng)的影響 三、問題分析三、問題分析對對問題問題1，用，用ode45求解微分方程的解，求解微分方程的解， 繪制彈簧振動曲線，觀察阻尼系統(tǒng)的影響。繪制彈簧振動曲線，觀察阻尼系統(tǒng)的影響。 對對問題問題2，通過句柄圖形和擦除屬性，通過句柄圖形和擦除屬性， 實現(xiàn)彈簧塊振動的動畫演示。實現(xiàn)彈簧塊振動的動畫演示。 對對問題問題3， 利用利用Simulink提供的模塊，提供的模塊，通過仿真觀察輸入信號的影響。通過仿真觀察輸入信號的影響。 建立微分方程的框圖模型，建立微分方程的框圖模型， 四、背景知識四、背景知識1. 單自由度阻尼系統(tǒng)單自由度阻尼系統(tǒng) 在研究汽車系統(tǒng)減振問題時，在研究汽車系統(tǒng)減振問題時， 考

4、慮汽車在行駛時的垂直位移考慮汽車在行駛時的垂直位移x(t)。 假定整個車體的質(zhì)量集中在理想的質(zhì)量假定整個車體的質(zhì)量集中在理想的質(zhì)量m上，上， 用彈簧用彈簧k和減震器和減震器a分別表示汽車的彈性和沖擊阻尼，分別表示汽車的彈性和沖擊阻尼， 這樣一個這樣一個質(zhì)量彈簧減震器質(zhì)量彈簧減震器(m-k-a)如圖所示。如圖所示。 f假定該機(jī)械系統(tǒng)的假定該機(jī)械系統(tǒng)的3種元件都是線性的，種元件都是線性的， 則可用下面的二階線性微分方程來描述該系統(tǒng)：則可用下面的二階線性微分方程來描述該系統(tǒng)： )(22222tfKxdtdxctdxd其中其中 mkac12阻尼系數(shù)阻尼系數(shù) kK1穩(wěn)態(tài)增益穩(wěn)態(tài)增益 mk2自然頻率自然頻

5、率 根據(jù)牛頓第二定律，根據(jù)牛頓第二定律， 22( )akd xmf tffdt 外力阻尼力彈簧恢復(fù)力推導(dǎo)過程推導(dǎo)過程如下：如下：彈簧的恢復(fù)力彈簧的恢復(fù)力 kfkx 阻尼力阻尼力 adxfadt 代入上式得代入上式得 22( )d xdxmf takxdtdt得到二階常系數(shù)微分方程得到二階常系數(shù)微分方程 22( )d xdxmakxf tdtdt方程兩邊同除以方程兩邊同除以m得得 221( )d xa dxkxf tdtm dtmm2kwm令：，得到：)(22222tfKxdtdxctdxd2. 實時動畫編程實時動畫編程 通過句柄圖形和擦除屬性來實現(xiàn)動畫。通過句柄圖形和擦除屬性來實現(xiàn)動畫。 2.

6、1 擦除屬性擦除屬性Erasemode的選項的選項 background ：舊對象變?yōu)楸尘吧嫵鲂聦ο螅号f對象變?yōu)楸尘吧?，畫出新對?示例示例：Plot(x,y,Erasemode,xor) Normal (default) ：重畫整個顯示區(qū)：重畫整個顯示區(qū) None 不作任何擦除不作任何擦除 Xor：只畫和屏幕顏色不一致的新對象點，：只畫和屏幕顏色不一致的新對象點， 只擦除和屏幕顏色不一致的舊對象點只擦除和屏幕顏色不一致的舊對象點 2.2 句柄圖形句柄圖形通過句柄通過句柄h獲得圖形，設(shè)置擦除屬性。獲得圖形，設(shè)置擦除屬性。使用使用drawnow命令重新畫圖（刷新）。命令重新畫圖（刷新）。 示

7、例示例：h=Plot(x,y,Erasemode,xor) set(h,xdata,x)用用set指令改變句柄圖形中的數(shù)據(jù)：指令改變句柄圖形中的數(shù)據(jù)： 重復(fù)使用重復(fù)使用set和和drawnow就可以得到動畫效果。就可以得到動畫效果。 是是MATLAB軟件的擴(kuò)展，軟件的擴(kuò)展，是實現(xiàn)是實現(xiàn)動態(tài)系統(tǒng)建模和仿真動態(tài)系統(tǒng)建模和仿真的一個軟件，的一個軟件，提供了一些基本系統(tǒng)模塊，提供了一些基本系統(tǒng)模塊，通過對這些基本模塊的調(diào)用，通過對這些基本模塊的調(diào)用，就可以構(gòu)成所需要的系統(tǒng)模型，就可以構(gòu)成所需要的系統(tǒng)模型，進(jìn)而進(jìn)行仿真與分析。進(jìn)而進(jìn)行仿真與分析。Continuous（連續(xù)模塊）（連續(xù)模塊）Discret

8、e（離散模塊）（離散模塊）Function&Tables（函數(shù)和平臺模塊）（函數(shù)和平臺模塊）Math（數(shù)學(xué)模塊）（數(shù)學(xué)模塊）Nonlinear（非線性模塊）（非線性模塊）Signals&Systems（信號和系統(tǒng)模塊）（信號和系統(tǒng)模塊）Sinks（接收器模塊）（接收器模塊）Sources（輸入源模塊）（輸入源模塊）Simulink的模塊庫：的模塊庫：信號源信號源系統(tǒng)模塊系統(tǒng)模塊信號輸出信號輸出Simulink的模型，一般由三個部分組成：的模型，一般由三個部分組成： Simulink的的仿真仿真：在用戶指導(dǎo)的時間段內(nèi)，：在用戶指導(dǎo)的時間段內(nèi)， 按照模型提供的初始條件，按照一定的流

9、程，按照模型提供的初始條件，按照一定的流程，計算系統(tǒng)的狀態(tài)變化和輸出計算系統(tǒng)的狀態(tài)變化和輸出，兩個執(zhí)行階段：兩個執(zhí)行階段：初始化階段初始化階段、動態(tài)計算階段動態(tài)計算階段。五、實驗過程五、實驗過程1. 觀察阻尼系數(shù)對振動曲線的影響觀察阻尼系數(shù)對振動曲線的影響質(zhì)量彈簧減震器質(zhì)量彈簧減震器)可用二階線性微分方程來描述：可用二階線性微分方程來描述：)(22222tfKxdtdxctdxdf先用先用ode45求解這個微分方程求解這個微分方程(Kutta Runge算法算法) 然后繪制彈簧振動曲線。然后繪制彈簧振動曲線。 把方程轉(zhuǎn)化為一階微分方程組：把方程轉(zhuǎn)化為一階微分方程組： 112,dxxx xdt令

10、：則方程化為則方程化為 122212( )2dxxdtdxu tw xcwxdt其中，其中，u(t)為強(qiáng)迫項，為強(qiáng)迫項， 在觀察程序中取初始項在觀察程序中取初始項 1)0(1x0)0(2x就是前面方程的右邊項。就是前面方程的右邊項。02222xdtdxctdxd考察無強(qiáng)迫力的情形考察無強(qiáng)迫力的情形0101x固定，初始位置，004vt初始速度，計算終止。分析單自由度阻尼系統(tǒng)的分析單自由度阻尼系統(tǒng)的阻尼系統(tǒng)對彈簧震動的影響阻尼系統(tǒng)對彈簧震動的影響 選取阻尼系數(shù)選取阻尼系數(shù)c的一系列數(shù)值，的一系列數(shù)值，用數(shù)值方法分別求解對應(yīng)的微分方程，用數(shù)值方法分別求解對應(yīng)的微分方程，將得到的解曲線畫在同一圖形上，

11、將得到的解曲線畫在同一圖形上，標(biāo)注相應(yīng)阻尼系數(shù)的值，標(biāo)注相應(yīng)阻尼系數(shù)的值，比較不同系數(shù)對振動的影響比較不同系數(shù)對振動的影響運行程序：運行程序：exp2_1.m00.511.522.533.54-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81tx c=0.1 c=0.4 c=0.7 c=1不同阻尼系數(shù)對應(yīng)的振動曲線不同阻尼系數(shù)對應(yīng)的振動曲線在三維空間中表示振動和阻尼系數(shù)的關(guān)系在三維空間中表示振動和阻尼系數(shù)的關(guān)系使用彗星指令使用彗星指令comet3，逐條觀察不同阻尼系數(shù)所對應(yīng)的振動曲線逐條觀察不同阻尼系數(shù)所對應(yīng)的振動曲線運行的情況運行的情況運行程序：運行程序：exp2_2.m彗星指

12、令彗星指令comet3作圖作圖模擬彈簧振動，討論最簡單情形：模擬彈簧振動，討論最簡單情形：一彈簧系統(tǒng)作橫向運動，一彈簧系統(tǒng)作橫向運動，其位移由以下振動規(guī)律決定：其位移由以下振動規(guī)律決定：2cos( )ut模擬彈簧的振動模擬彈簧的振動運行程序：運行程序：exp2_3.m彈簧振動的實時動畫彈簧振動的實時動畫用一條直線代替彈簧，彈簧的平衡點在用一條直線代替彈簧，彈簧的平衡點在u=2處處 。 平衡點、左端垂線、直線和矩形塊的平衡點、左端垂線、直線和矩形塊的坐標(biāo)坐標(biāo)依次是：依次是：用以下指令畫上一條直線代表用以下指令畫上一條直線代表地板地板 ：2cos( )ut振動時縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)按以下規(guī)律變動：振

13、動時縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)按以下規(guī)律變動： x= 0,0, 0,0,u, u, u+1,u+1, u, u y= -1.2,0,1.2,0,0,1.2,1.2, -1.2,-1.2, 0 ,1)LineWidth ,b1.4,1.420,10plot( 方程方程的仿真框圖的仿真框圖)()(2tutxdtdx1) 在命令窗口鍵入在命令窗口鍵入Simulink，彈出庫瀏覽器；，彈出庫瀏覽器；2) 創(chuàng)建一個新模型，彈出模型編輯窗口；創(chuàng)建一個新模型，彈出模型編輯窗口； 3) 在庫瀏覽窗口將以下模塊拖入模型編輯窗口：在庫瀏覽窗口將以下模塊拖入模型編輯窗口：continuous 下的下的 integrator

14、Math下的下的 gain、sum Sources下的下的 signal generator Sink 下的下的 scope 4) 在模型窗口將這些圖標(biāo)移到所需要的位置，在模型窗口將這些圖標(biāo)移到所需要的位置， 然后用鼠標(biāo)在窗口中畫出它們之間的連線，然后用鼠標(biāo)在窗口中畫出它們之間的連線， 在有需要的位置單擊左鍵，輸入注釋文字，在有需要的位置單擊左鍵，輸入注釋文字， 通過圖標(biāo)的右鍵菜單調(diào)整參數(shù)；通過圖標(biāo)的右鍵菜單調(diào)整參數(shù)； 5) 將文件保存，雙擊將文件保存，雙擊scope圖標(biāo)打開示波器，圖標(biāo)打開示波器， 點擊點擊Simulation - Start 開始模擬。開始模擬。 模型解釋：模型解釋：信號發(fā)

15、生器模塊產(chǎn)生了輸入信號信號發(fā)生器模塊產(chǎn)生了輸入信號u， sum模塊將模塊將u和和-2x加在一起得到加在一起得到 -2x+u，作為，作為 x， x 通過積分器通過積分器integrator得到得到x ，x 一方面通過輸出終端模塊顯示，一方面通過輸出終端模塊顯示， 另一方面通過增益模塊，另一方面通過增益模塊，乘以增益因子乘以增益因子2后進(jìn)入后進(jìn)入sum模塊。模塊。示波器輸出示波器輸出彈簧振動的仿真框圖：彈簧振動的仿真框圖：xxxxuwn2-2*c*w*x-w2*x+uw2x&u2*c*wStepSignalGeneratorScopecrtanim1S-FunctionMux1sIntegrator21sIntegrator12Gain2-K-Gain1Add1六、結(jié)論與應(yīng)用六、結(jié)論與應(yīng)用1. 觀察第一個實驗，