貴師大抽象代數(shù)考試卷

1、貴州師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)院2006-2007年度第二學(xué)期期末考試試卷(A)考試科目名稱：近世代數(shù); 班級(jí)：2004級(jí)本科數(shù)學(xué)專業(yè)。 注：本試題共三個(gè)大題，16個(gè)小題。滿分100 分。一、選擇題（每小題有4個(gè)備選項(xiàng)，僅一項(xiàng)正確的可選。每小題3分，共15分）1、設(shè)實(shí)數(shù)在有理數(shù)域Q上的極小多項(xiàng)式f(x)的次數(shù)為n, 則可以用圓規(guī)直尺作圖作出的條件是 ( )。 (A) n是2的方冪； (B) n是素?cái)?shù)；(C) n是素?cái)?shù)的方冪； (D) n>2。2、設(shè)H是群G的正規(guī)子群，商群G/H中的元素是 ( ) 。 (A) H中的元素； (B) GH中的元素； (C) G關(guān)于H的所有右陪集； (D) H的

2、所有共軛g-1Hg。3、設(shè)是環(huán)同態(tài), 則同態(tài)的核( ) 。 (A) Ker(j)=aÎS: $bÎR, j(b)=a； (B) Ker(j)=aÎR: j(a)=a； (C) Ker(j)=aÎR: j(a)=1； (D) Ker(j)=aÎR: j(a)=0。4、下列數(shù)中，能用圓規(guī)直尺來作出的是 ( ) 。(A) ； (B) ； (C) p2； (D) 。5、設(shè)I是交換環(huán)R的理想, |R|=81, |I|=3, 下列結(jié)論中正確的是 ( ) 。(A) R一定是特征為3的域; (B) 商環(huán)R/I中有27個(gè)元素;(C) R可能是域且I是R的子域，R

3、 : I=3;(D) 商環(huán)R/I一定是特征為3的域。二、簡答題（每小題6分，共30分）6、剩余類環(huán)Z6是域嗎？為什么？7、環(huán)R的含有單位元的理想有多少個(gè)？為什么？8、300階群G有7階元嗎? 為什么？9、x3-2是實(shí)數(shù)-1在有理域上的極小多項(xiàng)式嗎？為什么？10、設(shè)有限域F含有343個(gè)元素，說明Z7是F的素域。三、解答題11、(7分) 把置換=(1365)(3457)(7215)表示為不相交的輪換的乘積12、(8分) 計(jì)算20072007 (mod 5)13、(10分) 設(shè)f(x)=x4+x+1ÎZ2x,(1) 求Z2x中所有一次和二次不可約多項(xiàng)式;(2) 證明: f(x)在Z2x中不

4、可約;14、(10分) 設(shè)G是群, Z(G)=aÎG: "gÎG, ga=ag是G的中心. 證明:(1) Z(G)是G的正規(guī)子群; (2) 如果商群是循環(huán)群, 則G是交換群。15、(10分) 證明：模n的剩余類環(huán)Zn的每個(gè)子加群都是理想。16、（10分）就你所知, 近世代數(shù)學(xué)在科研工作和生產(chǎn)實(shí)踐中都有哪些應(yīng)用？.貴州師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院2006-2007年度第二學(xué)期期末考試試卷(B)考試科目名稱：近世代數(shù); 班級(jí)：2004級(jí)本科數(shù)學(xué)專業(yè)。 注：本試題共四個(gè)大題，18個(gè)小題。滿分100 分。一、(20分) 回答下列問題： 1、 (4分) 列出剩余類加群Z10

5、的全部元素；2、 (4分) 寫出加法群Z10的全部生成元、全部子群；3、 (4分) 寫出剩余類環(huán)Z10的全部理想；（全部子群）4、 (4分) 寫出剩余類環(huán)Z10的全部可逆元（生成元）、全部零因子、負(fù)元；5、 (4分) Z10是域嗎？說明理由。二、簡答題（每小題6分，共30分）6、7階群的子群共有多少個(gè)?為什么?7、除環(huán)的理想有多少個(gè)?為什么? 8、商環(huán)Qx/(x2+x+1)是域嗎?為什么?。9、設(shè)N是有限群G的正規(guī)子群,商群G/N與三次對(duì)稱群S3同構(gòu),NZ11。說明: 22 | |G|.10、有銳角的棱形的對(duì)稱性群是幾階群?三、計(jì)算題（每小題6分，共30分）11、復(fù)數(shù)域C作為實(shí)數(shù)域R的擴(kuò)域，求

6、指數(shù)C : R.12、計(jì)算20082008(mod 7).13、把置換=(41536)(3745)(2175)表示為不相交的輪換的乘積。14、如果域E的乘法子群E*=E0有一個(gè)13階子群H, 且E*:H=2, 求 |E|和域E的特征。15、求+1在有理數(shù)域Q上的極小多項(xiàng)式。 四、證明題（三個(gè)小題，共20分）16、(6分) 證明：有限域E的特征數(shù)p | |E|.17、(6分) 設(shè)G = <a>,|a|=n. 證明：G是單群當(dāng)且僅當(dāng)n是素?cái)?shù).18、 (8分) 設(shè)GLn(R)是實(shí)數(shù)域R上的一般線性群, S Ln(R)=AÎ GLn(R): |A| = 1. 證明：(1) S L

7、n(R)是GLn(R)的正規(guī)子群; (2) 商群。 試卷（A）參考答案一、（A）、（C）、（D）、（B）、（B）。二、簡答題6、答：Z6不是域。因?yàn)?不是素?cái)?shù)。（或：因?yàn)閆6中有零因子23=0；或：因?yàn)?沒有逆元。）7、答：只有一個(gè)。因?yàn)椋O(shè)I是R的任一理想，若單位元1ÎI，則"aÎR，由理想的吸收性，則a=a1ÎI，故必I=R。所以，R的含有單位元的理想只有一個(gè)，就是R。8、答：沒有。因?yàn)?，假如G有7階元，由Largrange定理，則7 | |G|=300，矛盾。9、答：不是。因?yàn)閷?shí)數(shù)-1不是x3-2的根。10、答：因?yàn)閨F|=343=73，可知F的特

8、征是7，因而Z7是F的素域。三、解答題11、解：(1365)(3457)(7215)=(17234)(56)12、解：20072(mod 5)Þ20072007=20074×501+324×50123 3(mod 5).13、解: (1) Z2x中的一次和二次多項(xiàng)式只有x, x+1, x2+x+1, x2, x2+x, x2+1,其中x2和 x2+x顯然是可約的, x2+1=( x+1) 2也是可約的, 而二次多項(xiàng)式x2+x+1在Z2上沒有根,故不可約. 所以, Z2x中的一次和二次不可約多項(xiàng)式只有: x, x+1, x2+x+1.(2) 證明. 容易驗(yàn)證, f(

9、x)在Z2上沒有根, 因而, 由¶( f(x)=4知, f(x)沒有一次和三次因式. 假設(shè)f(x) 是可約的, 則f(x) 只有二次不可約因式, 由(1), 即有 f(x)= (x2+x+1) 2= x4+x2+1¹ x4+x+1= f(x), 矛盾. 所以, f(x)在Z2x中不可約。14、證明：(1) "a, bÎZ(G), "gÎG, 由Z(G)的定義有 ga=ag, bg=gb, 于是 b -1g = gb -1, ab -1g = agb -1=gab -1 , 從而得ab -1ÎZ(G), 即Z(G)是G的子群.

10、在由Z(G)的交換性, 易知Z(G)是G的正規(guī)子群.(2) 若G/Z(G)是循環(huán)群, 則有g(shù)ÎG 使得G/Z(G)=<gZ(G)>. "x, yÎG, 有正整數(shù)k使得x Z(G)=(gZ(G)k = gk Z(G), 從而有aÎZ(G) 使得 x= gk a. 同理, 有正整數(shù)lÎN和 bÎZ(G) 使得 y= gl b. 于是由Z(G)的交換性有xy= gk a gl b= gk gl a b= gl gk b a= gl b gk a=yx.所以, G是交換群. 15、證明：設(shè)I是Zn的任一子加群，"x

11、06;I，"mÎZn，xm= | m |個(gè)x相加，而I關(guān)于加運(yùn)算封閉，故xm ÎI。所以，I是Zn的理想。16、答: 就本教材中所介紹, 近世代數(shù)學(xué)在科研工作和生產(chǎn)實(shí)踐中的應(yīng)用有: 群論在物理學(xué)、化學(xué)、結(jié)晶學(xué)、組合計(jì)算中的應(yīng)用； 有限域在計(jì)算機(jī)科學(xué)、編碼和密碼技術(shù)中的應(yīng)用； 從群論觀點(diǎn)對(duì)幾何學(xué)進(jìn)行分類（Klein的 Erlangen綱領(lǐng)）； 域的擴(kuò)張理論否定了古希臘三大幾何作圖難題； 復(fù)數(shù)域的存在性論證。試卷（B）參考答案一、答：1、Z10=0，1，2，3，4，5，6，7，8，9（或=0+10Z，1+10Z，2+10Z，3+10Z，4+10Z，5+10Z，6+10

12、Z，7+10Z，8+10Z，9+10Z）。 2、Z10的全部生成元是：1，3，7，9。 Z10的全部子群有：H1=0， H2=0，2，4，6，8， H3=0，5， H4=Z10。 3、Z10的全部理想有：I1=0， I2=0，2，4，6，8， I3=0，5， I4=Z10。 4、Z10的全部可逆元是：1，3，7，9。 5、Z10不是域。因?yàn)?0不是素?cái)?shù)。（或：因?yàn)閆10中有零因子25=0；或：因?yàn)?沒有逆元。）二、簡答題6、答：7階群G的子群只有兩個(gè)：單位元群和G本身。因?yàn)?，由Largrange定理，子群的階必是G的階7的因數(shù)，因而只能是1或7。所以，7階群G只有平凡子群。7、答：除環(huán)R的理想

13、只有兩個(gè)：零理想和R本身。因?yàn)椋O(shè)I是R的任一理想，若有非零元aÎI，在除環(huán)R中有a-1ÎR，于是單位元1=aa-1ÎI，進(jìn)而，"bÎR，由理想的吸收性，則b=b1ÎI，故必I=R。所以，R只有零理想和R本身。8、答：是。因?yàn)閤2+x+1是有理數(shù)域Q上的不可約多項(xiàng)式。9、答：由Largrange定理，|G|=|G/N|N|=|S3|Z11|=6×11=3×22。10、答：有銳角的棱形只有兩條對(duì)稱軸，即兩條對(duì)角線。因此，它的對(duì)稱性群G由轉(zhuǎn)角為0°和180°的兩個(gè)旋轉(zhuǎn)與關(guān)于兩條對(duì)角線的兩個(gè)反射組成，

14、因此，|G|=4。三、計(jì)算題11、解：因?yàn)閺?fù)數(shù)域C作為實(shí)數(shù)域R上的向量空間，其維數(shù)是2，所以，指數(shù)C：R=2。12、解：20086(mod 7)Þ20082008=20086×334+466×33463 6(mod 7).13、解：(41536)(3745)(2175)=(25)(3764).14、解: 如果域E的乘法子群E*=E0有一個(gè)13階子群H, 且E*:H=2, 則|E*|=2|H|=26，進(jìn)而，|E|=27=33，域E的特征是3。15、解：+1在有理數(shù)域Q上的極小多項(xiàng)式為 f(x) = x2-2x-1。因?yàn)? f(x)沒有有理根，因而是Q上的不可約的，又

15、+1是f(x) = x2-2x-1的根，所以，+1在有理數(shù)域Q上的極小多項(xiàng)式為f(x) = x2-2x-1。 四、證明題16、證明：因?yàn)橛虻奶卣鱬是單位元關(guān)于域的加法群的階，由Largrange定理，則p | |E|。17、證明：當(dāng)G= <a>是單群時(shí)，設(shè)n=pq，則|<ap>|=|ap|=q。由于單群G只有兩個(gè)正規(guī)子群：e和G，且循環(huán)群G的每個(gè)子群都是正規(guī)子群，那么，G只有兩個(gè)子群。所以，<ap>=e或G，進(jìn)而|<ap>|=q=1或n?？梢姡琻是素?cái)?shù)。反之，當(dāng)n是素?cái)?shù)時(shí)，由Largrange定理可知，G只有兩個(gè)子群，當(dāng)然也就只有兩個(gè)正規(guī)子群，因而是單群。18、證明：(1) "A，BÎ S Ln(R)，因?yàn)閨AB|=|A|B|