概率統(tǒng)計(jì)41隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望

1、Ch4-1第四章第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征Ch4-2 分布函數(shù)能完整地描述 r.v.的統(tǒng)計(jì)特性, 但實(shí)際應(yīng)用中并不都需要知道分布函數(shù)，而只需知道 r.v.的某些特征. 判斷棉花質(zhì)量時(shí), 既看纖維的平均長度平均長度 平均長度越長,偏離程度越小, 質(zhì)量就越好; 又要看 纖維長度與平均長度的偏離程度纖維長度與平均長度的偏離程度例如例如：Ch4-3 考察一射手的水平, 既要看他的平均環(huán)數(shù)是否高, 還要看他彈著點(diǎn)的范圍是否小, 即數(shù)據(jù)的波動(dòng)是否小. 由上面例子看到，與 r.v. 有關(guān)的某些數(shù)值，雖不能完整地描述 r.v.但能清晰地描述 r.v.在某些方面的重要特征 , 這些數(shù)字特征在理

2、論和實(shí)踐上都具有重要意義.Ch4-4q r.v.的平均取值 數(shù)學(xué)期望 q r.v.取值平均偏離均值的情況 方差q 描述兩 r.v.間的某種關(guān)系的數(shù) 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)本本章章內(nèi)內(nèi)容容隨機(jī)變量某一方面的概率特性 都可用數(shù)字?jǐn)?shù)字來描寫Ch4-54.1隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望加 權(quán) 平 均初賽復(fù)賽決賽總成績算術(shù)平均甲乙90 85 53 228 7688 80 57 225 75勝者 甲 甲 乙 甲 甲3:3:4 2:3:5 2:2:6 73.7 70.0 66.8 73.2 70.1 67.8 甲 乙 乙引例引例 學(xué)生甲乙參加數(shù)學(xué)競賽, 觀察其勝負(fù)Ch4-60 .70為這 3 個(gè)數(shù)字的加權(quán)

3、平均5 . 0533 . 0852 . 09031iiipx稱數(shù)學(xué)期望的概念源于此Ch4-7設(shè) X 為離散 r.v. 其分布為, 2 , 1,)(kpxXPkk若無窮級(jí)數(shù)1kkkpx其和為 X 的數(shù)學(xué)期望 記作 E( X ), 即1)(kkkpxXE數(shù)學(xué)期望的定義數(shù)學(xué)期望的定義絕對(duì)收斂, 則稱Ch4-8設(shè)連續(xù) r.v. X 的 d.f. 為)(xf若廣義積分dxxxf)(絕對(duì)收斂, 則稱此積分為 X 的數(shù)學(xué)期望記作 E( X ), 即dxxxfXE)()( 數(shù)學(xué)期望的本質(zhì)數(shù)學(xué)期望的本質(zhì) 加權(quán)平均加權(quán)平均 它是一個(gè)數(shù)不再是它是一個(gè)數(shù)不再是 r.v.r.v.定義定義Ch4-9例例1 1 X B (

4、 n , p ), 求 E( X ) .解解nkknkknppkCXE0)1 ()(nkknkppknknnp1)1()1(1)1 ()!()!1()!1(10) 1(1)1 (nkknkknppCnpnp特例 若Y B ( 1 , p ), 則 E(Y) pCh4-10例例2 2 X N ( , 2 ), 求 E ( X ) .解解dxexXEx222)(21)(dueuuux2221）（令例例3 3 設(shè) X 參數(shù)為 p 的幾何分布，求E ( X ).解解11)1 ()(kkpkpXEpxkkkxp111pxkkxp11pxppx1)1 (112Ch4-11常見常見 r.v. 的數(shù)學(xué)期望的數(shù)

5、學(xué)期望（P159）分布期望概率分布參數(shù)為p 的 0-1分布pXPpXP1)0() 1(pB(n,p)nkppCkXPknkkn, 2 , 1 , 0)1 ()(npP(), 2 , 1 , 0!)(kkekXPkCh4-12分布期望概率密度區(qū)間(a,b)上的均勻分布其它, 0,1)(bxaabxf2ba E()其它, 0, 0,)(xexfx1N(, 2)222)(21)(xexfCh4-13注意注意 不是所有的不是所有的 r.v.都有數(shù)學(xué)期望都有數(shù)學(xué)期望例如：柯西(Cauchy)分布的密度函數(shù)為xxxf,)1 (1)(2dxxxdxxfx)1 (|)(|2但發(fā)散它的數(shù)學(xué)期望不存在!Ch4-1

6、4q 設(shè)離散 r.v. X 的概率分布為, 2 , 1,)(ipxXPii 若無窮級(jí)數(shù)1)(iiipxg絕對(duì)收斂，則1)()(iiipxgYEq 設(shè)連續(xù) r.v. 的 d.f. 為f (x)dxxfxg)()(絕對(duì)收斂, 則dxxfxgYE)()()(若廣義積分 r.v.函數(shù)函數(shù) Y = g(X ) 的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望Ch4-15q 設(shè)離散 r.v. (X ,Y ) 的概率分布為, 2 , 1,),(jipyYxXPijjiZ = g(X ,Y ),1,),(jiijjipyxg絕對(duì)收斂 , 則1,),()(jiijjipyxgZE若級(jí)數(shù)Ch4-16q 設(shè)連續(xù) r.v. (X ,Y )的聯(lián)合

7、 d.f. 為f (x ,y) ，Z = g(X ,Y ), dxdyyxfyxg),(),(絕對(duì)收斂, 則 dxdyyxfyxgZE),(),()(若廣義積分Ch4-17例例3 3 設(shè) (X ,Y ) N (0,1;0,1;0), 求22YXZ的數(shù)學(xué)期望.解解dxdyyxfyxZE),()(22 dxdyeyxyx2222221 2002221drdrerr2Ch4-18解解 (1) 設(shè)整機(jī)壽命為 N ,min5 ,2, 1kkXN,)(1 (1)(51kkNxFxF其它，, 0, 0,15xex 五個(gè)獨(dú)立元件,壽命分別為,521XXX都服從參數(shù)為 的指數(shù)分布，若將它們 (1) 串聯(lián)； (2

8、) 并聯(lián)成整機(jī)，求整機(jī)壽命的均值. （P.142 例6）例例4 4Ch4-19其它，, 0, 0,5)(5xexfxN即 N E( 5), 51)(NE(2) 設(shè)整機(jī)壽命為 max5,2, 1kkXM51)()(kkMxFxF其它，, 0, 0,)1 (5xex其它，, 0, 0,)1 (5)(4xeexfxxMCh4-20dxxxfMEM)()(04)1 (5dxexexx6013711)()(5160137NEME 可見, 并聯(lián)組成整機(jī)的平均壽命比串聯(lián)組成整機(jī)的平均壽命長11倍之多.Ch4-21例例5 5 設(shè)X N (0,1), Y N (0,1), X ,Y 相互獨(dú)立，求E (max(X

9、 ,Y ) . 解解22221)()(),(yxYXeyfxfyxf dxdyyxfyxYXE),(,max),(maxD1D221),(,max),(,maxDDdxdyyxfyxdxdyyxfyxCh4-22222122222121DyxDyxdxdyexdxdyeydyyedxexyx222211dyyedxexyx222221dxxedyeyxy222221dxex21其中 稱為 概率積分概率積分dxex22)(2dxexdydxeyx)(22dydxeyx0)(0224Ch4-23一般地，若),(),(22NYNXX ,Y 相互獨(dú)立，則),(maxYXE),(minYXEdydxey

10、x0)(022400224rdredr2124所以 dxex2Ch4-24q E (C ) = Cq E (aX ) = a E (X ) q E (X + Y ) = E (X ) + E (Y ) CXEaCXaEniiiniii11)(q 當(dāng)X ,Y 獨(dú)立時(shí)，E (X Y ) = E (X )E (Y ) .q 若存在數(shù) a 使 P(X a) = 1, 則 E (X ) a ； 若存在數(shù) b 使 P(X b) = 1, 則 E (X ) b.數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)常數(shù)Ch4-25性質(zhì) 4 的逆命題不成立，即若E (X Y ) = E (X )E (Y )，X ,Y 不一定獨(dú)立反例見

11、附錄反例見附錄 1 1注注Ch4-26 設(shè) X 連續(xù)，d.f. 為 f (x), 分布函數(shù)為 F(x), 則)(1)(aXPaXP1)(1aF0)(aFaxxF , 0)(axxf , 0)(故adxxxfXE)()(adxxaf)(a證證 性質(zhì)性質(zhì)5Ch4-27例例6 6 將 4 個(gè)不同色的球隨機(jī)放入 4 個(gè)盒子 中, 每盒容納球數(shù)無限, 求空盒子數(shù)的 數(shù)學(xué)期望. 解一解一 設(shè) X 為空盒子數(shù), 則 X 的概率分布為X P0 1 2 344! 442413144PCC4341224244)(CCCC4144C6481)(XECh4-28解二解二 再引入 X i ,i = 1,2,3,4其它，

12、盒空，第, 0, 1iXi4321XXXXXXi P 1 04434431443)(iXE6481434)(4XECh4-29例例7 7 設(shè)二維 r.v. (X ,Y ) 的 d.f. 為其它, 0, 10 , 20),31 (41),(2yxyxyxf求E(X), E(Y), E( X + Y ), E(X Y), E(Y / X)解解 dxdyyxxfXE),()(20102)31 (41dyyxdxx34 dxdyyxyfYE),()(20102)31 (41dyyyxdx85Ch4-3024478534)()()(YEXEYXE)(XYE658534由數(shù)學(xué)期望性質(zhì)X ,Y 獨(dú)立 dxd

13、yyxfxyXYE),(20102)31 (2121dyyydx)()(321585XEYE)()(YEXECh4-31Ch4-32據(jù)統(tǒng)計(jì)65歲的人在10年內(nèi)正常死亡解解應(yīng)用應(yīng)用1 1的概率為0. 98, 因事故死亡概率為0.02.保險(xiǎn)公司開辦老人事故死亡保險(xiǎn), 參加者需交納保險(xiǎn)費(fèi)100元.若10 年內(nèi)因事故死亡公司賠償 a 元, 應(yīng)如何定 a , 才能使公司可期望獲益;若有1000人投保, 公司期望總獲益多少?設(shè)Xi 表示公司從第 i 個(gè)投保者身上所得的收益, i =11000 . 則Xi 0.98 0.02100 100aCh4-33由題設(shè) 02. 0)100(98. 0100)(aXEi

14、002.0100a5000100 a公司每筆賠償小于5000元, 能使公司獲益.公司期望總收益為.20100000)()(1000110001aXEXEiiii若公司每筆賠償3000元, 能使公司期望總獲益40000元.Ch4-34 為普查某種疾病, n 個(gè)人需驗(yàn)血. 驗(yàn)血方案有如下兩種： 分別化驗(yàn)每個(gè)人的血, 共需化驗(yàn) n 次； 分組化驗(yàn), k 個(gè)人的血混在一起化驗(yàn), 若 結(jié)果為陰性, 則只需化驗(yàn)一次; 若為陽性, 則對(duì) k 個(gè)人的血逐個(gè)化驗(yàn), 找出有病者, 此時(shí) k 個(gè)人的血需化驗(yàn) k + 1 次. 設(shè)每人血液化驗(yàn)呈陽性的概率為 p, 且每人化驗(yàn)結(jié)果是相互獨(dú)立的.試說明選擇哪一方案較經(jīng)濟(jì).

15、驗(yàn)血方案的選擇驗(yàn)血方案的選擇應(yīng)用應(yīng)用2 2Ch4-35解解 只須計(jì)算方案(2)所需化驗(yàn)次數(shù)的期望.為簡單計(jì), 不妨設(shè) n 是 k 的倍數(shù)，共分成 n / k 組. 設(shè)第 i 組需化驗(yàn)的次數(shù)為X i, 則kp1kp 11Xi P 1 k + 111)1(1)(kkipkpXEkpkk1) 1(Ch4-36kniiXEXE1)()(kpkkkn1) 1(kpnk1)1 (1, 01)1 (kpk若則E (X ) n例如,.1000110101999. 011000)(10XE,10,001. 0,1000kpn當(dāng) 時(shí), 選擇方案(2) 較經(jīng)濟(jì).kpk/ 1)1 (Ch4-37 市場上對(duì)某種產(chǎn)品每年

16、需求量為 X 噸 ，X U 2000,4000 , 每出售一噸可賺3萬元 ,售不出去，則每噸需倉庫保管費(fèi)1萬元，問應(yīng)該生產(chǎn)這中商品多少噸, 才能使平均利潤最大？ 解解其它, 0,40002000,20001)(xxfX設(shè)每年生產(chǎn) y 噸的利潤為 Y 顯然，2000 y 4000應(yīng)用應(yīng)用3 3Ch4-38xyyxxyyxg,4,3)(XyXyXXyyXgY, 1)(3,3)(dxxfxgYEX)()()(4000200020001320001)4(yydxydxyx)108140002(2000162yyCh4-39)140004(20001)(ydyYdE0令顯然，020004)(22dyYE

17、d故 y=3500 時(shí), E(Y )最大, E (Y )= 8250萬元Ch4-40 設(shè)由自動(dòng)線加工的某種零件的內(nèi)徑 X (mm) N ( ,1).已知銷售每個(gè)零件的利潤T (元)與銷售零件的內(nèi)徑 X 有如下的關(guān)系：12, 51210,2010, 1XXXT問平均直徑 為何值時(shí), 銷售一個(gè)零件的平均利潤最大？ (P.171習(xí)題四15題)應(yīng)用應(yīng)用4 4Ch4-41解解)10()10() 1(XPTP)10()12()1210()20(XPTP)12(1)12() 5(XPTP)12(1)(5()10()12(20)10() 1()(TE5)10(21)12(25Ch4-42)12(25)10(2

18、1)(dTdE0令0212521212)12(2)10(22ee即2125222e2125ln2111可以驗(yàn)證，,0)(22dTEd零件的平均利潤最大.故2125ln2111時(shí), 銷售一個(gè))(91.10mmCh4-43作業(yè) P.169 習(xí)題四 1 2 3 4 5 7Ch4-44 補(bǔ) 充 作 業(yè) 設(shè) g(x) 是取正值的非減函數(shù), X 為連續(xù) 型 r.v., 且 E( g(X) )存在， 證明: 對(duì)任意常數(shù) a)()()(agXgEaXPCh4-45柯西 Augustin-Louis Cauchy 1789 - 1857法國數(shù)學(xué)家Ch4-46柯 西 簡介簡介法國數(shù)學(xué)家 27歲當(dāng)選法國科學(xué)院院士

19、早在1811年就解決了拉格朗日向他提出的一個(gè)問題：凸多面體的角是否被它的面所決定？柯西作了肯定的回答.這一直是幾何學(xué)中一個(gè)精彩的結(jié)果. 在概率論中他給出了有名的柯西分布. 然而他一生中最重要的數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)在 另外三個(gè)領(lǐng)域：微積分學(xué)、復(fù)變函數(shù)和微分方程.Ch4-47 柯西在代數(shù)學(xué)、幾何學(xué)、誤差理論以及天體力學(xué)、光學(xué)、彈性力學(xué)諸方面都有出色的工作，特別是他弄清了彈性理論的基本數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，為彈性力學(xué)奠定了嚴(yán)格的理論基礎(chǔ). 在這三個(gè)領(lǐng)域中我們常常能見到以柯西名字命名的定理、公式和方程等:柯西積分定理;柯西積分公式;柯西-黎曼方程;柯西判別法則;柯西不等式;柯西初值問題Ch4-48微積分在幾何上的應(yīng)用 1826 年 柯西的著作大多是急就章，但都樸實(shí)無華，有思想, 有創(chuàng)見. 他所發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)立的定理和公式, 往往是一些最簡單、最基本的事實(shí).因而，他的數(shù)學(xué)成就影響廣泛，意義深遠(yuǎn). 柯西是一位多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家，一生共發(fā)表論文 800 余篇，著書7本.柯西全集共有27卷，其中最重要的為：分析教程 1821 年 無窮小分析教程概論 1823 年Ch4-49若 X 服從柯西(Cauchy)分布,