并聯(lián)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)控制

1、并聯(lián)人的運(yùn)動(dòng)中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)尚偉偉1HMI.com第八章：并聯(lián)人的運(yùn)動(dòng)n 8.1 并聯(lián)n 8.2 并聯(lián)n 8.3 并聯(lián)n 8.4 并聯(lián)人概述人的運(yùn)動(dòng)學(xué)人的學(xué)人的動(dòng)力學(xué)1HMI.com并聯(lián)人概述n 并聯(lián)n 并聯(lián)n 并聯(lián)人的基本概念人的應(yīng)用人的研向1HMI.com串聯(lián)人傳統(tǒng)工業(yè)人一般采用開(kāi)鏈?zhǔn)浇Y(jié)構(gòu)，其基座和末端執(zhí)行器之間只有一條運(yùn)動(dòng)鏈連接，對(duì)于具有這樣結(jié)構(gòu)的人，也稱(chēng)其為串聯(lián)人。為了實(shí)現(xiàn)末端執(zhí)在工作空間中多個(gè)自由度的靈巧操作，串聯(lián)人的運(yùn)動(dòng)鏈往往具有多個(gè)關(guān)節(jié)，通過(guò)各個(gè)關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)，可以實(shí)現(xiàn)末端執(zhí)行器對(duì)工作空間中任意連續(xù)軌跡的跟蹤運(yùn)動(dòng)。一般而言，串聯(lián)人具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、工作空間大、操作靈活、正向運(yùn)動(dòng)學(xué)求解簡(jiǎn)便

2、等優(yōu)點(diǎn)，因此在工業(yè)生產(chǎn)中得到了廣泛應(yīng)用。圖8.1 ABB的IRB2400工業(yè)人1HMI.com串聯(lián)人由于所有關(guān)節(jié)都集中在一條運(yùn)動(dòng)鏈上，串聯(lián)人存在關(guān)節(jié)誤差累積效應(yīng)，末端執(zhí)行器所能達(dá)到的位置精度往往有限。關(guān)節(jié)之間的串聯(lián)連后續(xù)關(guān)節(jié)成為前面關(guān)節(jié)的負(fù)載，增大了人的慣性。因此，速度、度性能以及負(fù)載能力受到了制約，進(jìn)一步限制了串聯(lián)在實(shí)際應(yīng)用中的性能。人當(dāng)在實(shí)際應(yīng)用中需要人有高的承載能力、良好的動(dòng)力學(xué)性能及高精度等要求時(shí)，人們迫切需要有另外一種機(jī)械結(jié)構(gòu)形式的人可供選擇。1HMI.com并聯(lián)人的基本概念人由多個(gè)并行鏈n 并聯(lián)的閉環(huán)運(yùn)動(dòng)系統(tǒng),即末端執(zhí)行器（移動(dòng)平臺(tái)）通過(guò)至少兩個(gè)運(yùn)動(dòng)鏈與機(jī)座相連。（國(guó)際機(jī)構(gòu)和科學(xué)I

3、FToMM）圖8.2 并聯(lián)人的典型結(jié)構(gòu)圖1HMI.com并聯(lián)人的基本概念n 由于具有多條運(yùn)動(dòng)鏈，并聯(lián)人的基座和末端執(zhí)行器之間具有環(huán)狀的閉鏈約束。與串聯(lián)人相比，具有閉鏈約束是并聯(lián)n 從機(jī)構(gòu)學(xué)上看，多人在結(jié)構(gòu)方面最大的特點(diǎn)。鏈同時(shí)操作末端執(zhí)行器，不僅抵消了關(guān)節(jié)誤差累積效應(yīng)，而且使得并聯(lián)人具有運(yùn)動(dòng)慣量低、負(fù)載能力強(qiáng)、剛度大等優(yōu)點(diǎn)，這恰恰彌補(bǔ)了串聯(lián)人在這些方面的不足，使得并聯(lián)人成為一個(gè)潛在的高速度、高精度運(yùn)動(dòng)平臺(tái)。1HMI.com并聯(lián)人的基本概念n 并聯(lián)人機(jī)構(gòu)的出現(xiàn)始于20世紀(jì)30年代。Gwinnett在其專(zhuān)利中提出了一種基于并聯(lián)機(jī)構(gòu)的裝置，如圖8.3所示，它實(shí)際上是一個(gè)球關(guān)節(jié)并聯(lián)機(jī)構(gòu)。圖8.3 Gw

4、innett的并聯(lián)機(jī)構(gòu)1HMI.com并聯(lián)人的基本概念n 1940年，Pollard在其專(zhuān)利中提出了一種用于汽車(chē)噴漆的裝置，如圖8.4所示。這套裝置采用了一個(gè)包括三條運(yùn)動(dòng)鏈的并聯(lián)機(jī)構(gòu)來(lái)油漆噴頭的位置和姿態(tài)。圖8.4 Pollard的汽車(chē)噴漆并聯(lián)機(jī)構(gòu)1HMI.com并聯(lián)人的基本概念n 1962年，Gough發(fā)明了一種基于并聯(lián)機(jī)構(gòu)的六自由度輪胎檢測(cè)裝置，如圖8.5所示。圖8.5 Gough平臺(tái)1HMI.com并聯(lián)人的基本概念n 1965年，Stewart將Gough平臺(tái)應(yīng)用到飛行模擬裝置中來(lái)，并用它來(lái)驅(qū)動(dòng)模擬飛行駕駛艙，此后這種六自由度的平臺(tái)也稱(chēng)為Stewart平臺(tái)。圖8.6 Stewart平臺(tái)1

5、HMI.com并聯(lián)人的基本概念n 1978年，澳大利亞機(jī)構(gòu)學(xué)教授Hunt將旋量理論(Screwtheory)用于分析并聯(lián)一步推動(dòng)了并聯(lián)n 80年代末特別是90人的奇異性(Singularity) ，進(jìn)人的研究。來(lái)，并聯(lián)人成為研究熱點(diǎn)，許多大型會(huì)議均設(shè)多個(gè)專(zhuān)題討論。1999年，在清華大學(xué)召開(kāi)了我國(guó)第一界有關(guān)并聯(lián)人的研討會(huì)。n 并聯(lián)人著作：（1） 黃真等，并聯(lián)1997.（2） J-P, Merlet， Parallel robots， Kluwer， 1st ed， 2000. (2nd ed, 2006, Springer).人機(jī)構(gòu)學(xué)理論及，機(jī)械工業(yè)，（3）叢爽，尚偉偉，并聯(lián)人建模、優(yōu)化與應(yīng)用，

6、電子，2010.工業(yè)1HMI.com并聯(lián)人的應(yīng)用n 并聯(lián)機(jī)床圖8.7 并聯(lián)機(jī)床1HMI.com并聯(lián)人的應(yīng)用n 在醫(yī)療上用于外科手術(shù)，來(lái)提高手術(shù)的精確度；或者用于康復(fù)人，輔助的康復(fù)訓(xùn)練。圖8.8 醫(yī)療/康復(fù)并聯(lián)人1HMI.com并聯(lián)人的應(yīng)用n 自動(dòng)化生產(chǎn)圖8.9 Delta 并聯(lián)人1HMI.com并聯(lián)n 天文觀測(cè)人的應(yīng)用圖8.10 天文觀測(cè)的并聯(lián)人FAST1HMI.com并聯(lián)人的研究方向n 機(jī)構(gòu)學(xué)：機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)從根本上決定了并聯(lián)（1）機(jī)械結(jié)構(gòu)創(chuàng)新：人的性能。1988年，Clavel發(fā)明了DELTA達(dá)到500m/s2。1996年，Gosselin設(shè)計(jì)的Agile Eye并聯(lián)末端執(zhí)行器最高角速度達(dá)100

7、0°/s，角人，其末端執(zhí)行器度能夠人可用于攝像機(jī)度達(dá)20 000°/s2。，2004年，黃田教授設(shè)計(jì)了一種2-DOF并聯(lián)人，末端執(zhí)行器的最高運(yùn)動(dòng)速度達(dá)4.5m/s，每分鐘完成120次抓取動(dòng)作。（2）優(yōu)化設(shè)計(jì)：基于剛度、靈巧度、力矩傳遞等性能指標(biāo)，實(shí)現(xiàn)并聯(lián) 參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計(jì)。（3）新型驅(qū)動(dòng)：柔索驅(qū)動(dòng)，剛?cè)峄旌向?qū)動(dòng)人幾何1HMI.com并聯(lián)人的研究方向n 運(yùn)動(dòng)學(xué)：以關(guān)節(jié)空間和工作空間之間的坐標(biāo)關(guān)系為基礎(chǔ)，涉及運(yùn)動(dòng)學(xué)模型、工作空間、奇異性、運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定等眾多問(wèn)題。（1）運(yùn)動(dòng)學(xué)求解（模型）：正向運(yùn)動(dòng)學(xué)和反向運(yùn)動(dòng)學(xué)。（2）工作空間：由關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)的約束條件，求解末端執(zhí)行器能達(dá)到的運(yùn)動(dòng)范圍。（

8、3）奇異性：不穩(wěn)定、不可控，可分為驅(qū)動(dòng)器奇異性、末端執(zhí)行器奇異性和位形空間奇異性。（4）運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定：采用實(shí)驗(yàn)，估計(jì)出實(shí)際運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)的數(shù)值。1HMI.com并聯(lián)人的研究方向n 動(dòng)力學(xué): 描述并聯(lián)（1）動(dòng)力學(xué)建模人的運(yùn)動(dòng)和各個(gè)關(guān)節(jié)力矩之間的關(guān)系。處理多支鏈間約束力的影響。正向動(dòng)力學(xué)，用于系統(tǒng)；反向動(dòng)力學(xué)，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)（2）摩擦力建模。并聯(lián)人復(fù)雜的機(jī)械機(jī)構(gòu)，提出合理的非線(xiàn)性摩擦力模型。（3）動(dòng)力學(xué)參數(shù)辨識(shí)設(shè)計(jì)最優(yōu)的激勵(lì)軌跡，實(shí)現(xiàn)全部動(dòng)力學(xué)參數(shù)和摩擦力參數(shù)的辨識(shí)。（4）策略設(shè)計(jì)各種非線(xiàn)性和不確定性影響，以及多支鏈間的協(xié)調(diào)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，設(shè)計(jì)出合理的動(dòng)力學(xué)策略。1HMI.com實(shí)際并聯(lián)人平臺(tái)n 并聯(lián)人系統(tǒng)（固高科

9、技）圖8.11 實(shí)際并聯(lián)人系統(tǒng)1HMI.com實(shí)際并聯(lián)人平臺(tái)n 系統(tǒng)硬件組成（1）上位機(jī)：PC Pentium III CPU 733MHz, Windows2000（2）運(yùn)動(dòng)器：固高科技GT-400-PCI-SV運(yùn)動(dòng)卡（3）三洋交流伺服系統(tǒng)：伺服電機(jī)P50B05020DXN2B+伺服驅(qū)動(dòng)器PY2A015H2M66S00（4） 機(jī)械本體：平面二自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)、諧波XB1 （中技克美）（5） 傳感器：絕對(duì)式光電編碼器ABS-RII器1HMI.com實(shí)際并聯(lián)人平臺(tái)圖8.12 并聯(lián)人系統(tǒng)的硬件組成1HMI.com實(shí)際并聯(lián)人平臺(tái)1HMI.com實(shí)際并聯(lián)人平臺(tái)n 運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)：（1） 運(yùn)動(dòng)學(xué)建模及參數(shù)

10、標(biāo)定（2） 動(dòng)力學(xué)建模及參數(shù)辨識(shí)（3）策略設(shè)計(jì)（4）軌跡圖8.13 運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)操作界面1HMI.com并聯(lián)人的運(yùn)動(dòng)學(xué)平面二自由度并聯(lián)人可以看成是由同一個(gè)平面內(nèi)的三個(gè)二桿串聯(lián)機(jī)構(gòu)聯(lián)結(jié)而成的，結(jié)如圖8.14所示，坐標(biāo)系的Y長(zhǎng)度選為國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)A1：m。三個(gè)基座在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為A1(0,0.25)、A2(0.433,0)、A3(0.433,0.5)，末端執(zhí)行器為圖中的O點(diǎn)，并聯(lián)機(jī)器人的桿長(zhǎng)均為l=0.244。XA2圖8.14 并聯(lián)人的運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系1HMI.com并聯(lián)人的運(yùn)動(dòng)學(xué)n 正向運(yùn)動(dòng)學(xué)：由主動(dòng)關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)角計(jì)算末端執(zhí)行器的位置坐標(biāo)。由圖8.14中坐標(biāo)系的幾何關(guān)系知xo = xai + l ×

11、 cos (qai ) + l × cos (qbi )yo = yai + l ×sin (qai ) + l × sin (qbi )i = 1,2,3(8.1)l× cos(aiq)n 令=xya+ix ybi(8.2)ai+ l sin× (aiq)bi =n 將(8.2)代入(8.1)，可得到一個(gè)包含三個(gè)方程的方程組( x - x)2+ ( y - y)2= l 2(8.3)obiobid = x2 + y2 - l2n 定義，解上述方程組得到末端執(zhí)行器位置坐標(biāo)ibibid1 × ( yb 2- yb3 ) + d2 

12、15; ( yb3)()x =)( yo- y2b1b 2(8.4)=) y- y) + x( y- y) + x( y- yo2b3b 2b3b1b3b1b 21HMI.com并聯(lián)人的運(yùn)動(dòng)學(xué)工作空間：以三個(gè)基座所在位置為圓心，兩倍桿長(zhǎng)為半徑可得到三個(gè)圓，其方程為0.5p20.4(ai +)2(ai4y)2(,8.35),=2-:xy-l 1, i2=cxi0.3上式表示的三個(gè)圓的相交部分即為p10.2人的工作空間，如圖8.15并聯(lián)所示，其中，p1是圓c2和c3的一個(gè)交點(diǎn)，p2是圓c1和c3的一個(gè)交點(diǎn)， p3是圓c1和c2的一個(gè)交點(diǎn)。圓弧p1p2在圓c3上，圓弧p2p3在圓c1 上，圓弧p3p

13、1在圓c2上。圓弧p1p2，p2p3，p3p1包括的范圍即為有效的工作空間。0.1p3000.40.5坐標(biāo)軸x(m)圖8.15 并聯(lián)人的工作空間1HMI.com坐標(biāo)軸y(m)并聯(lián)人的運(yùn)動(dòng)學(xué)A3n 反向運(yùn)動(dòng)學(xué)：已知末端執(zhí)行器的位置坐標(biāo)來(lái)求各關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)角。由q a3YB1q b1圖8.16中包含的三角形A幾何關(guān)系，可以得到的Oi BiB3qa1AlOqb3A1cos(q - a )=2liOaiin 式中ai= a tan 2( yo - yai , xo - xai ) 表示直線(xiàn)與坐標(biāo)軸的夾角，從而得到主動(dòng)關(guān)節(jié)角為qb2qa2B2l+ aq= ± arccosAiO A

14、2(8.7)Xaii2l關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角為= a tan 2 ( yo - yai - l ×sin(qai ), xo - xai - l × cos(qai )qbiO'(8.8)圖8.16 并聯(lián)人的運(yùn)動(dòng)學(xué)反解1HMI.com并聯(lián)人的運(yùn)動(dòng)學(xué)n 選取工作空間的幾何中心（0.289,0.250）作為主位置點(diǎn)，由公式（8.7）和（8.8），可得到八組反向運(yùn)動(dòng)學(xué)解，見(jiàn)表8.1。表8.1 主位置點(diǎn)對(duì)應(yīng)的八組反向運(yùn)動(dòng)學(xué)解1HMI.com位形主動(dòng)關(guān)節(jié)角度(度)關(guān)節(jié)角度(度)qa1qa2qa3qb1qb2qb3a53.7343173.7327-66.2659-53.734366.265

15、9-173.7327b53.7343173.7327-173.7327-53.734366.2659-66.2659c53.734366.2659-173.7327-53.7343173.7327-66.2659d53.734366.2659-66.2659-53.7343173.7327-173.7327e-53.734366.2659-66.265953.7343173.7327-173.7327f-53.734366.2659-173.732753.7343173.7327-66.2659g-53.7343173.7327-173.732753.734366.2659-66.2659h-

16、53.7343173.7327-66.265953.734366.2659-173.7327并聯(lián)人的運(yùn)動(dòng)學(xué)0.50.5n 根據(jù)八組反向運(yùn)動(dòng)學(xué)解，利0.40.4用可以很容易繪出對(duì)應(yīng)0.30.3的八種運(yùn)動(dòng)學(xué)位形。0.20.2 A30.10.1q a3YB10q0b坐標(biāo)軸x(m)坐標(biāo)軸x(m)(b)(a)左手臂位形B3qa10.50.5 qb3A1Oq b2q a2B20.10.1A2X0000坐標(biāo)軸x(m)坐標(biāo)軸x(m)圖8.17 并聯(lián)人的運(yùn)動(dòng)學(xué)位形(c)1HMI.com坐標(biāo)軸y(m)坐

17、標(biāo)軸y(m)坐標(biāo)軸y(m)坐標(biāo)軸y(m)并聯(lián)人的運(yùn)動(dòng)學(xué)0.10000坐標(biāo)軸x(m)(e)坐標(biāo)軸x(m)(f)右手臂位形0.10000坐標(biāo)軸x(m)(g)坐標(biāo)軸x(m)(h)圖8.17 并聯(lián)人的運(yùn)動(dòng)學(xué)位形（續(xù)）1HMI.com坐標(biāo)軸y(m)坐標(biāo)軸y(m)坐標(biāo)軸y(m)坐標(biāo)軸y(m)并聯(lián)人的運(yùn)動(dòng)學(xué)性能指標(biāo)n 力矩傳遞性能是反映并聯(lián)人承載能力的重要性能指標(biāo)，定義了驅(qū)動(dòng)力矩與廣義力矩的關(guān)系。廣義力矩與速度雅克比矩陣有直接的關(guān)

18、系，故廣義力因運(yùn)動(dòng)位形變化而變化。定義雅克比矩陣S為= ¶qa(8.9)n 廣義力矩與驅(qū)動(dòng)器力矩的關(guān)系tt= ST(8.10)S兩個(gè)奇異值的平方根決定e的輸出邊界由SaT£相對(duì) t an 其中 t estmtinsa £ t(8.11)emaxan 定義雅克比矩陣的條件數(shù)conss=max(8.12)minn 分析力矩傳遞性能參數(shù)h = 1/ con在整個(gè)工作空間中的分布，得到力矩傳遞性能圖譜。1HMI.com并聯(lián)人的運(yùn)動(dòng)學(xué)性能指標(biāo)010.90.20.40

19、.6 010.980000.40.500.40.5坐標(biāo)軸x(m)(b)坐標(biāo)軸x(m)(a)0.00 0.8 0.0010.90.980000.40.500.40.5坐標(biāo)軸x(m)坐標(biāo)軸x(m)(c)(d)人的力矩傳遞性能圖8.18 并聯(lián)1HMI.com坐標(biāo)軸y(m)坐標(biāo)軸y(m)坐標(biāo)軸y(m)坐標(biāo)軸y(m)

20、并聯(lián)人的運(yùn)動(dòng)學(xué)性能指標(biāo)010.980.40.90.7 0.00100000.5坐標(biāo)軸x(m)(f)坐標(biāo)軸x(m)(e)0.50.980.50.980.000.000.40.30000.30.500.

21、20.4坐標(biāo)軸x(m)(h)坐標(biāo)軸x(m)(g)圖8.18 并聯(lián)人的力矩傳遞性能(續(xù))1HMI.com坐標(biāo)軸y(m)坐標(biāo)軸y(m)坐標(biāo)軸y(m)坐標(biāo)軸y(m)并聯(lián)人的運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定公差和裝配誤差的存在，并聯(lián)由于人各個(gè)運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)的實(shí)際值和名義值之間總是存在偏差，從而限制了并聯(lián)人的實(shí)際精度。從系統(tǒng)角度來(lái)看，在動(dòng)力學(xué)模型的建模中也需要用到實(shí)際系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)。所以運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)的精確性也直接影響到系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型的精度。并聯(lián)人的標(biāo)定方法：外部標(biāo)定法和自標(biāo)定法兩類(lèi)。外部標(biāo)定法類(lèi)似于串聯(lián)人的標(biāo)定方法，需要使用精確的外部測(cè)量裝置對(duì)末端執(zhí)行器的位置進(jìn)量；自標(biāo)定方法則依賴(lài)于并聯(lián)實(shí)現(xiàn)對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)的估計(jì)。人的冗余關(guān)節(jié)傳感器

22、來(lái)通過(guò)運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定方法估計(jì)各個(gè)運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)的實(shí)際值成為提高并聯(lián)人精度的一個(gè)重要。1HMI.com并聯(lián)人的運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定如圖8.19所示，建立并聯(lián)人A3在工作空間中的坐標(biāo)，該并聯(lián)機(jī)Y器人由位于平臺(tái)A1 ( xa1 ,ya1 ),A2 ( xa 2ya 2 )和A ( x,)上的三臺(tái)交流伺服電y3a3a3機(jī)驅(qū)動(dòng)，末端執(zhí)行器安裝在A1支鏈的連接處 O ( x) 。關(guān)節(jié)和,yoo連桿的定義如下：qai , i = 1, 2, 3 表示主動(dòng)關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角；qbi , i = 1, 2, 3表示關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角；lai , i = 1, 2, 3 表示主動(dòng)關(guān)節(jié)連XA2桿的長(zhǎng)度；lbi , i = 1, 2, 3 表示節(jié)連桿的長(zhǎng)

23、度。關(guān)圖8.19 并聯(lián)人的坐標(biāo)（運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)未知）1HMI.com并聯(lián)人的運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定對(duì)于圖8.19所示的并聯(lián)人來(lái)說(shuō)，只有三個(gè)主動(dòng)關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)角可以通過(guò)光電編碼器直接測(cè)量，而關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)角不能直接測(cè)量得到?？紤]到并聯(lián)人只有兩個(gè)運(yùn)動(dòng)自由度，故其中一個(gè)關(guān)節(jié)傳感器是冗余的。傳感器信息的冗余使得僅采用三個(gè)內(nèi)部光電編碼器就可以實(shí)現(xiàn)標(biāo)定，而應(yīng)用外部的傳感器。為了確定主動(dòng)關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角的讀數(shù)，圖8.19中坐標(biāo)軸X的正方向定義為零點(diǎn)位置，而逆時(shí)針?lè)较蚨x為關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角的正方向。由于裝配誤差的存在，傳感器零點(diǎn)位置和主動(dòng)關(guān)節(jié)零點(diǎn)位置之間存在偏角。除了六個(gè)連桿長(zhǎng)度值 lai , lbi ,i = 1, 2, 3，六個(gè)基座坐標(biāo)值 ( xa

24、i , yai )外，傳感器零點(diǎn)和主動(dòng)關(guān)節(jié)零點(diǎn)之間的三個(gè)偏角也需要標(biāo)定。定義偏角為 Dqai , 編碼器讀數(shù)為 q%ai ，主動(dòng)關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角的實(shí)際值可寫(xiě)為+ Dqai(8.13)qai1HMI.com并聯(lián)人的運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定在進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定之前，六個(gè)基座坐標(biāo)值的其中三個(gè)需要預(yù)先設(shè)為名義值來(lái)確定并聯(lián)人的坐標(biāo)系。否則的話(huà)，并聯(lián)人可以在工作空間中自由移動(dòng)，標(biāo)定得到的解有無(wú)窮多個(gè)，則無(wú)法確 定標(biāo)定的真實(shí)解。考慮到三個(gè)坐標(biāo)值需要預(yù)先設(shè)定，從而一共有失一般性，假設(shè)基座坐標(biāo) xa1 , ya1 , xa 212個(gè)運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)需要標(biāo)等于其名義值，并且在標(biāo)定過(guò)程中是常量。因此，三個(gè)基座坐標(biāo) ya 2 , xa3 , ya3

25、，六個(gè)連桿長(zhǎng)度值 lai , lbi ，以及三個(gè)偏角Dqa 2 , Dqa3 需要在運(yùn)動(dòng)學(xué)自標(biāo)定中進(jìn)行標(biāo)定。由圖8.19的平面幾何關(guān)系，可以得到并聯(lián)xo = xai + lai × cos (qai ) + lbi × cos(qbi )yo = yai + lai × sin (qai ) + lbi × sin (qbi )將（8.13）代入方程（8.14）得到人的運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系為(8.14)xo = xai + lai × cos (qai ) + lbi× cos(qbi )(8.15)q) + l× sin (q)y=

26、 y+ l×sinoaiaiaibibi1HMI.com并聯(lián)人的運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定n 基于運(yùn)動(dòng)學(xué)方程（8.15），由閉環(huán)約束關(guān)系可以得到并聯(lián)運(yùn)動(dòng)學(xué)誤差為人x - x- lcos(q ) - lcos(q )éêùúoa1a1a1b1b1y - y- lsin(q ) - lsin(q )êúoa1a1a1b1b1ê x=oqa 2 ) - lb 2 cos(qb 2 )ú- xa 2- la 2 cos(a 2(8.16)Eê y) ú1- y+ Dq) - lsin(qêú

27、;oa 2a 2a 2b 2b 2ê x) ú- x- lq) - lcos(qcos(êoa3a3a3b3b3ú- ya3 - la3 sin(q%a3 + Dqa3 ) - lb3 sin(qb3 ) úûëê yon 消除關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角的相關(guān)項(xiàng)，方程（8.16）可以表示為é ( x)2ùúúúúú- x- lcos(qêoa1a1a1ê + ( y - y)2- lsin(- l 2qêoa1a1a1b1ê

28、( x)2- x- lcos(q(8.17)oa 2a 2a 2E = ê2ê+ ( y - y)2ú- l- l 2sin(qoa 2a 2a 2b 2 úúêê( x)2- x- lcos(qoa3a3a3êúê + ( y - y)2ú- l- l 2sin(qëb3 ûoa3a3a31HMI.com并聯(lián)人的運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定n 運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)之間的耦合乘積項(xiàng)使得標(biāo)定問(wèn)題的求解變得此，對(duì)這些耦合乘積項(xiàng)進(jìn)行解耦得到。因qai ) = lai cos(qai ) = lai

29、sin(qai ) - lai sin(qai ) + lai cos(lai laicos(sin(qai )qai )(8.18)lai式中，lai cos(Dqai )和 lai sin(Dqai )可以用來(lái)代替和 Dqai 作為標(biāo)定參數(shù)。令 lai cos(Dqai ) = laci，lai sin(Dqai ) = lasi ，方程（8.17）可以寫(xiě)為é ( x)2ùúúúúú- x- lac cos(q% ) + las sin(q%êoa11a11a1ê + ( y - y)2- lac s

30、in(q% ) - las cos(q%- l 2oa11a11a1b1êê( x)2- x- lac cos(q%) + las sin(q%(8.19)oa 22a 22a 2E= ê3ê+( y - y)2ú- lac sin(q%) - las cos(q%- l 2oa 22a 22a 2b 2 úúêê ( x)2- x- lac cos(q%) + las sin(q%oa33a33a3êúê + ( y - y)2ú- lac sin(q%) - l

31、as cos(q%- l 2ëb3 ûoa33a33a31HMI.com并聯(lián)人的運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定n 對(duì)于M個(gè)采樣位形，運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)標(biāo)定的求解可以轉(zhuǎn)化為最小化下面的性能指標(biāo)函數(shù)(8.20)MJ = åMET (m)E (m) = å2E (m)333m=1m=1n 通過(guò)運(yùn)用方程（8.20）問(wèn)題。當(dāng)自標(biāo)定完成后，參數(shù)學(xué)自標(biāo)定問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)優(yōu)化和Dqai可以計(jì)算為lai(8.21)l=lac2 + las2 , Dq= arctg(las / lac ), i = 1, 2, 3aiiiaiiin 由上述方程推導(dǎo)可以發(fā)現(xiàn)，方程（8.20）中的誤差函數(shù)是連續(xù)、非線(xiàn)性

32、的，并且包含多個(gè)局部最小值。n 差分演化（Differential Evolution, DE）算法對(duì)于包含連續(xù)變量的優(yōu)化問(wèn)題是一個(gè)有效的且具有魯棒性的求解算法。因此，對(duì)于并聯(lián)人的自標(biāo)定來(lái)說(shuō)，DE算法是一個(gè)非常好的選擇。1HMI.com并聯(lián)人的運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定在運(yùn)動(dòng)學(xué)自標(biāo)定的實(shí)際實(shí)驗(yàn)中，均勻選取圓周軌跡上的100個(gè)點(diǎn)作為末端執(zhí)行器的采樣位形。圓周的圓心(0.29, 0.25)為并聯(lián)半徑為0.04米。通過(guò)人工作空間的幾何中心，圓周的選擇，并聯(lián)人的所有運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)都可以獲得充分激勵(lì)。通過(guò)采用DE算法，所有的12個(gè)運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)在滿(mǎn)足優(yōu)化函數(shù)的條件下進(jìn)行標(biāo)定。將優(yōu)化過(guò)程找到的最優(yōu)解作 為運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)的最終標(biāo)定結(jié)果

33、，如表8.1所示。并聯(lián)機(jī) 器人運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)的名義值也同時(shí)列在表8.1中作為比較。不失一般性，假設(shè)并聯(lián)等于它們的名義值即 xa1人的基座坐標(biāo)xa1 , ya1 , xa 2分別= 0, ya1 = 0.25, xa 2 = 0.433 。1HMI.com并聯(lián)人的運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定n 表8.1 并聯(lián)人運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)的標(biāo)定結(jié)果和名義值1HMI.com并聯(lián)人的運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定標(biāo)定結(jié)果的驗(yàn)證思想：在采用光電編碼器直接測(cè)量到主動(dòng)關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)角之后，末端執(zhí)行器的坐標(biāo)可以通過(guò)正向運(yùn)動(dòng)學(xué)方程(8.14)計(jì)算得到。然后，基于正向運(yùn)動(dòng)學(xué)解，主動(dòng)關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角可以采用反向運(yùn)動(dòng)學(xué)方程計(jì)算得到。如果并聯(lián)人的運(yùn)動(dòng)足夠精確，那么由運(yùn)動(dòng)學(xué)模型計(jì)算得到的主動(dòng)

34、關(guān)節(jié)角度值等于編碼器測(cè)量得到的角度值。反之，如果運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)不精確，那么計(jì)算得到的主動(dòng)關(guān)節(jié)角度值與測(cè)量得 到的角度值之間存在誤差。基于上述分析，通過(guò)計(jì)算三個(gè)主動(dòng)關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角的計(jì)算角度值和測(cè)量角度值之間的誤差，我們可以比較并聯(lián)定結(jié)果和廠家提供的名義值。人運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)的自標(biāo)1HMI.com并聯(lián)人的運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定為了驗(yàn)證運(yùn)動(dòng)學(xué)自標(biāo)定的結(jié)果，選取不同于激勵(lì)軌跡的、包含多條直線(xiàn)的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)軌 跡作為末端執(zhí)行器的跟跡。用于驗(yàn)證標(biāo)定結(jié)果的末端執(zhí)行器運(yùn)動(dòng)軌跡如圖8.20所示，實(shí)際軌跡的起始點(diǎn)為A(0.244, 0.286)，然后經(jīng)過(guò)0.3AC0.280.260.240.22BD80.320.36X-ax

35、is(m)點(diǎn)B(0.343, 0.21), C(0.343,0.286), D(0.244, 0.21), A,C,B, D，最后返回到起始點(diǎn)A。圖8.20 用于驗(yàn)證標(biāo)定結(jié)果的運(yùn)動(dòng)軌跡1HMI.comY-axi m)并聯(lián)人的運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定由運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)計(jì)算得到的三個(gè)主動(dòng)關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角和由編碼器測(cè)量得到的三個(gè)主動(dòng)關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角之間的誤差曲線(xiàn)如圖8.21所示。x 10 -33x 10 -33x 10 -33222111000-1-1-1-2-3-2-3-2-3by nominal kinematic parameters by calibrated kinematic parametersby nominal ki

36、nematic parameters by calibrated kinematic parametersby nominal kinematic parameters by calibrated kinematic parameters012 time(s)(a)345012time(s) 3(b)45012345time(s)(c)圖8.21 由運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)計(jì)算得到的三個(gè)主動(dòng)關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角和由編碼器測(cè)量得到的三個(gè)主動(dòng)關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角之間的誤差曲線(xiàn)：（a）關(guān)節(jié)1；（b）關(guān)節(jié)2；（c）關(guān)節(jié)31HMI.comactive joint error(rad)active joint error(rad)active

37、 joint error(rad)并聯(lián)人的運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定n 為了在運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)標(biāo)定結(jié)果和名義值之間進(jìn)行定量的比較，采用 均方根誤差（root-square mean error，RSME）來(lái)評(píng)價(jià)主動(dòng)關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角的計(jì)算誤差。主動(dòng)關(guān)節(jié)的均方根誤差(AJ-RSME)可以定義為å()13M( )2AJ - RSMqai ( j) - q ( j)(8.22)aii =1 j =1n 式中，qai ( j) 和qai ( j)分別表示主動(dòng)關(guān)節(jié)i在第j個(gè)采樣位形的計(jì)算角度和測(cè)量角度?；诜匠蹋?.22），采用運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)標(biāo)定結(jié)果計(jì)算得到的AJ-RSME是 5.42 ´10-4 rad ，而采用運(yùn)動(dòng)

38、學(xué)參數(shù)名義值計(jì)算得到的AJ-RSME為 4.20 ´10-3 rad 。因此，可以進(jìn)一步說(shuō)明運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)的標(biāo)定結(jié)果比廠家提供的名義值要精確得多，同時(shí)驗(yàn)證了并聯(lián)機(jī) 器人運(yùn)動(dòng)學(xué)自標(biāo)定方法的有效性。1HMI.com并聯(lián)人的動(dòng)力學(xué)模型A3q a3YB1q b1B3qa1qb3A1Oq b2q a2B2A2XB1a3Yqa1B3O3A1OOO312O1qb3O2a2B2A2X圖8.22 并聯(lián)人的動(dòng)力學(xué)建模思路1HMI.com并聯(lián)人的動(dòng)力學(xué)模型n 二自由度串聯(lián)人的動(dòng)力學(xué)模型可以寫(xiě)為i = 1, 2, 3+ Ciq& i + fi = i(8.23)Miq&&i是慣性矩陣，C

39、i 是科里奧利矩陣，i為其中， qi為關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角，Mi驅(qū)動(dòng)力矩， fi 為摩擦力矩。n 忽略關(guān)節(jié)的摩擦力影響?？紤]到主動(dòng)關(guān)節(jié)摩擦力的復(fù)雜性，可以用非對(duì)稱(chēng)的庫(kù)侖+粘滯摩擦力模型來(lái)建模ïì f+q&³ 0f= ícai-caivaiai(8.24)aiq&< 0ï fîvaiai-cai+cai和 f+vain 其中， f分別表示主動(dòng)關(guān)節(jié)的正向和反向庫(kù)侖摩擦力；f-vai和f分別表示主動(dòng)關(guān)節(jié)的正向和反向粘滯摩擦力系數(shù)。n 由第4章的推導(dǎo)可知，工作空間的動(dòng)力學(xué)模型可寫(xiě)為= (ST )+ (M+ C q& ) +

40、f(8.25)q&&ae ee ea1HMI.com并聯(lián)人的動(dòng)力學(xué)辨識(shí)一方面，當(dāng)并聯(lián)人裝配好之后，動(dòng)力學(xué)參數(shù)難以測(cè)量，并且有些動(dòng)力學(xué)參數(shù)在長(zhǎng)期的使用過(guò)程中會(huì)發(fā)生較大的變化。另一方面，在并聯(lián)人的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，摩擦力是復(fù)雜且非線(xiàn)性的，并且摩擦力特性與速度方向有關(guān)。因此，動(dòng)力學(xué)與摩擦力參數(shù)需要通過(guò)動(dòng)力學(xué)辨識(shí)方法來(lái)ai , bi ,g i在動(dòng)力學(xué)模型方程（8.25）中，動(dòng)力學(xué)參數(shù)和摩擦力參+-+-vai數(shù)需要辨識(shí)。當(dāng)這些參數(shù)從方程（8.25）中分離出f, f, f, fcaicaivai來(lái)后，得到一個(gè)關(guān)于動(dòng)力學(xué)參數(shù)和摩擦力參數(shù)的線(xiàn)性矩陣形式如下(ST)+(M q + C q& )

41、 + f(8.26)q )&&eeeeae其中，D參數(shù)向量是一個(gè)由動(dòng)力學(xué)軌跡計(jì)算得到的信息矩陣，模型e )包含了動(dòng)力學(xué)參數(shù)向量 d 和摩擦力參數(shù)向量 f 。1HMI.com并聯(lián)人的動(dòng)力學(xué)辨識(shí)n 一般來(lái)說(shuō)，采用最小二乘方法來(lái)估計(jì)參數(shù)向量 。因此，依據(jù)動(dòng)力學(xué)軌跡e ) ，方程（8.26）可以寫(xiě)成最小二乘表達(dá)式如下(8.27)y() = Zn 其中，y是(3´ r) ´1 階的e ) + 量，Z是(3´ r) ´ 21階的觀測(cè)矩陣，是 (3´ r) ´1階的誤差向量，r是采樣數(shù)據(jù)的數(shù)目?？紤]到估計(jì)參數(shù)向量只包含并聯(lián)人的基本參

42、數(shù)，因此，觀測(cè)矩陣Z是列滿(mǎn)秩的。1HMI.com并聯(lián)人的動(dòng)力學(xué)辨識(shí)激勵(lì)軌跡設(shè)計(jì)：考慮到并聯(lián)人所有連桿具有相同的長(zhǎng)度，并且并聯(lián)人的機(jī)械結(jié)構(gòu)是完全對(duì)稱(chēng)的，則幾何中心周?chē)能壽E能夠平衡地激勵(lì)并聯(lián)人的所有關(guān)節(jié)。因此，幾何中心為圓心的圓周作為并聯(lián)人末端執(zhí)行器的激勵(lì)軌跡。在實(shí)際辨識(shí)實(shí)驗(yàn)中，末端執(zhí)行器的激勵(lì)軌跡是逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)的圓周，運(yùn)動(dòng)速度為0.2 m/s。圓周的圓心為并聯(lián)人的幾何中心(0.29, 0.25)，圓周的半徑為0.04 m。通過(guò)采用實(shí)際的動(dòng)力學(xué)辨識(shí)實(shí)驗(yàn)，動(dòng)力學(xué)參數(shù)的辨識(shí)結(jié)果和摩擦力參數(shù)的辨識(shí)結(jié)果分別如表8.2和表8.3所示。作為比較，動(dòng)力學(xué)參數(shù)的名義值也列在表8.2中。1HMI.com并聯(lián)人的動(dòng)力

43、學(xué)辨識(shí)n 表8.2 動(dòng)力學(xué)參數(shù)的辨識(shí)結(jié)果和名義值（kg.m2）1HMI.com并聯(lián)人的動(dòng)力學(xué)辨識(shí)n 表8.3 摩擦力參數(shù)的辨識(shí)結(jié)果1HMI.com并聯(lián)人的動(dòng)力學(xué)辨識(shí)動(dòng)力學(xué)辨識(shí)結(jié)果驗(yàn)證：基于動(dòng)力學(xué)模型方程（8.25），我們可以利用辨識(shí)得到的動(dòng)力學(xué)參數(shù)和摩擦力參數(shù)，以及實(shí)際的軌跡信息來(lái)計(jì)算驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)的力矩。如果辨識(shí)得到的動(dòng)力學(xué)參數(shù)和摩擦力參數(shù)足夠精確，那么通過(guò)動(dòng)力學(xué)模型計(jì)算得到的三關(guān)節(jié)的力矩和它的力矩一致。確，那否則的話(huà)，如果辨識(shí)得到的動(dòng)力學(xué)參數(shù)和摩擦力參數(shù)么計(jì)算得到的力矩和實(shí)際的力矩之間的誤差就很大。為了驗(yàn)證辨識(shí)得到的動(dòng)力學(xué)參數(shù)和摩擦力參數(shù)，我們?cè)O(shè)計(jì)了軌跡跟蹤實(shí)驗(yàn)。在實(shí)際實(shí)驗(yàn)中，末端執(zhí)行器的軌跡設(shè)計(jì)為與運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo) 定實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證時(shí)的運(yùn)動(dòng)軌跡相同，如圖8.20所示。1HMI.com并聯(lián)人的動(dòng)力學(xué)辨識(shí)由動(dòng)力學(xué)辨識(shí)參數(shù)和摩擦力參數(shù)計(jì)算得到的驅(qū)動(dòng)力矩和三個(gè)主動(dòng)力矩如圖8.23所示。關(guān)節(jié)的實(shí)際666actual torqueby identified m222-2-2-2actual torquetorque by ident