中考總復(fù)習(xí)：二次函數(shù)--知識(shí)講解(基礎(chǔ))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上中考總復(fù)習(xí)：二次函數(shù)知識(shí)講解（基礎(chǔ)）責(zé)編：常春芳【考綱要求】1二次函數(shù)的概念常為中檔題主要考查點(diǎn)的坐標(biāo)、確定解析式、自變量的取值范圍等；2二次函數(shù)的解析式、開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)等是中考命題的熱點(diǎn)；3拋物線的性質(zhì)、平移、最值等在選擇題、填空題中都出現(xiàn)過，覆蓋面較廣，而且這些內(nèi)容的綜合題一般較難，在解答題中出現(xiàn)【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】 【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一、二次函數(shù)的定義 一般地，如果（a、b、c是常數(shù)，a0），那么y叫做x的二次函數(shù)要點(diǎn)詮釋： 二次函數(shù)(a0)的結(jié)構(gòu)特征是：(1)等號(hào)左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量x的二次式，x的最高次數(shù)是2(2)二次項(xiàng)系數(shù)a0考點(diǎn)二、二次函數(shù)的圖

2、象及性質(zhì)1.二次函數(shù)(a0)的圖象是一條拋物線，頂點(diǎn)為2.當(dāng)a0時(shí)，拋物線的開口向上；當(dāng)a0時(shí)，拋物線的開口向下3.|a|的大小決定拋物線的開口大小|a|越大，拋物線的開口越小，|a|越小，拋物線的開口越大 c的大小決定拋物線與y軸的交點(diǎn)位置c0時(shí)，拋物線過原點(diǎn)；c0時(shí)，拋物線與y軸交于正半軸；c0時(shí)，拋物線與y軸交于負(fù)半軸 ab的符號(hào)決定拋物線的對(duì)稱軸的位置當(dāng)ab0時(shí)，對(duì)稱軸為y軸；當(dāng)ab0時(shí)，對(duì)稱軸在y軸左側(cè)；當(dāng)ab0時(shí)，對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)4.拋物線的圖象，可以由的圖象移動(dòng)而得到將向上移動(dòng)k個(gè)單位得：將向左移動(dòng)h個(gè)單位得：將先向上移動(dòng)k(k0)個(gè)單位，再向右移動(dòng)h(h0)個(gè)單位，即得函數(shù)的

3、圖象要點(diǎn)詮釋：求拋物線（a0）的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)通常用三種方法：配方法、公式法、代入法，這三種方法都有各自的優(yōu)缺點(diǎn)，應(yīng)根據(jù)實(shí)際靈活選擇和運(yùn)用考點(diǎn)三、二次函數(shù)的解析式1.一般式：(a0) 若已知條件是圖象上的三個(gè)點(diǎn)，則設(shè)所求二次函數(shù)為，將已知條件代入，求出a、b、c的值2.交點(diǎn)式（雙根式）： 若已知二次函數(shù)圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為(x1，0)，(x2，0)，設(shè)所求二次函數(shù)為，將第三點(diǎn)(m，n)的坐標(biāo)(其中m、n為已知數(shù))或其他已知條件代入，求出待定系數(shù)，最后將解析式化為一般形式3.頂點(diǎn)式： 若已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸方程與最大值(或最小值)，設(shè)所求二次函數(shù)為，將已知條件代入，求出待

4、定系數(shù)，最后將解析式化為一般形式4.對(duì)稱點(diǎn)式：若已知二次函數(shù)圖象上兩對(duì)稱點(diǎn)(x1，m)，(x2，m)，則可設(shè)所求二次函數(shù)為，將已知條件代入，求得待定系數(shù)，最后將解析式化為一般形式要點(diǎn)詮釋： 已知圖象上三點(diǎn)或三對(duì)、的值，通常選擇一般式.已知圖象的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點(diǎn)式.(可以看成的圖象平移后所對(duì)應(yīng)的函數(shù)).已知圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、，通常選用交點(diǎn)式：（a0）.(由此得根與系數(shù)的關(guān)系：).考點(diǎn)四、二次函數(shù)(a0) 的圖象的位置與系數(shù)a、b、c的關(guān)系1.開口方向：a0時(shí)，開口向上，否則開口向下2.對(duì)稱軸：時(shí)，對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)；當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸在y軸的左側(cè)3.與x軸交點(diǎn)：時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn)；時(shí)，有一個(gè)交

5、點(diǎn)；時(shí)，沒有交點(diǎn)要點(diǎn)詮釋： 當(dāng)x1時(shí)，函數(shù)ya+b+c； 當(dāng)x-1時(shí)，函數(shù)ya-b+c； 當(dāng)a+b+c0時(shí)，x1與函數(shù)圖象的交點(diǎn)在x軸上方，否則在下方； 當(dāng)a-b+c0時(shí)，x-1與函數(shù)圖象的交點(diǎn)在x軸的上方，否則在下方考點(diǎn)五、二次函數(shù)的最值1.當(dāng)a0時(shí)，拋物線有最低點(diǎn)，函數(shù)有最小值，當(dāng)時(shí)，2.當(dāng)a0時(shí)，拋物線有最高點(diǎn)，函數(shù)有最大值，當(dāng)時(shí)，要點(diǎn)詮釋： 在求應(yīng)用問題的最值時(shí)，除求二次函數(shù)的最值，還應(yīng)考慮實(shí)際問題的自變量的取值范圍【典型例題】類型一、應(yīng)用二次函數(shù)的定義求值1二次函數(shù)y=x2-2（k+1）x+k+3有最小值-4，且圖象的對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)，則k的值是 2【思路點(diǎn)撥】因?yàn)閳D象的對(duì)稱軸在y

6、軸的右側(cè)，所以對(duì)稱軸x=k+10，即k-1；又因?yàn)槎魏瘮?shù)y=x2-2（k+1）x+k+3有最小值-4，所以y最小值= =-4，可以求出k的值【答案與解析】解：圖象的對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)，對(duì)稱軸x=k+10，解得k-1，二次函數(shù)y=x2-2（k+1）x+k+3有最小值-4，y最小值= =k+3-（k+1）2=-k2-k+2=-4，整理得k2+k-6=0，解得k=2或k=-3，k=-3-1，不合題意舍去，k=2【總結(jié)升華】求二次函數(shù)的最大（小）值有三種方法，第一種可由圖象直接得出，第二種是配方法，第三種是公式法舉一反三：【變式】已知是二次函數(shù)，求k的值【答案】是二次函數(shù)，則由得，即，得，顯然，當(dāng)k

7、-3時(shí)，原函數(shù)為y0，不是二次函數(shù) k2即為所求類型二、二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)的應(yīng)用2把拋物線向左平移1個(gè)單位，然后向上平移3個(gè)單位，則平移后拋物線的解析式為( ) A B C D【思路點(diǎn)撥】拋物線的平移問題，實(shí)質(zhì)上是頂點(diǎn)的平移，原拋物線y=-x2頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），向左平移1個(gè)單位，然后向上平移3個(gè)單位后，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，3），根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)式可求平移后拋物線的解析式【答案】 D；【解析】根據(jù)拋物線的平移規(guī)律可知：向左平移1個(gè)單位可變成，再向上平移3個(gè)單位后可變成【總結(jié)升華】(1)圖象向左或向右平移|h|個(gè)單位，可得的圖象(h0時(shí)向左，h0時(shí)向右) (2)的圖象向上或向下平移|k|個(gè)單位

8、，可得的圖象(k0時(shí)向上，k0時(shí)向下)舉一反三：【變式】將二次函數(shù)的圖象向右平移1個(gè)單位長度，再向上平移2個(gè)單位長度后，所得圖象的函數(shù)表達(dá)式是( )A B C D【答案】按照平移規(guī)律“上加下減，左加右減”得故選A.類型三、求二次函數(shù)的解析式3已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1，0)，(-5，0)，頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為，求這個(gè)二次函數(shù)的解析式 【思路點(diǎn)撥】將點(diǎn)（1，0），（-5，0）代入二次函數(shù)y=ax2+bx+c，再由 ，從而求得a，b，c的值，即得這個(gè)二次函數(shù)的解析式【答案與解析】解法一：由題意得 解得所以二次函數(shù)的解析式為解法二：由題意得 把代入，得，解得所以二次函數(shù)的解析式為，即 解法三：因?yàn)槎魏瘮?shù)

9、的圖象與x軸的兩交點(diǎn)為(1，0)，(-5，0)，由其對(duì)稱性知，對(duì)稱軸是直線所以，拋物線的頂點(diǎn)是可設(shè)函數(shù)解析式為即【總結(jié)升華】根據(jù)題目的條件，有多種方法求二次函數(shù)的解析式舉一反三：【高清課程名稱：二次函數(shù)與中考 高清ID號(hào)：關(guān)聯(lián)的位置名稱（播放點(diǎn)名稱）：經(jīng)典例題1】【變式】已知：拋物線經(jīng)過點(diǎn)（1）求的值；（2）若，求這條拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（3）若，過點(diǎn)作直線軸，交軸于點(diǎn)，交拋物線于另一點(diǎn)，且，求這條拋物線所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)關(guān)系式（提示：請畫示意圖思考）【答案】解：（1）依題意得：， （2）當(dāng)時(shí)， 拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是 yxOBPA（3）解法1：當(dāng)時(shí)，拋物線對(duì)稱軸，對(duì)稱軸在點(diǎn)的左側(cè)因?yàn)閽佄锞€是軸對(duì)稱圖

10、形，且 又，拋物線所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)關(guān)系式 解法2：當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸在點(diǎn)的左側(cè)因?yàn)閽佄锞€是軸對(duì)稱圖形，且 又，解得：這條拋物線對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)關(guān)系式是 解法3：， 軸， 即：解得：，即 由，這條拋物線對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)關(guān)系式. 類型四、二次函數(shù)圖象的位置與a、b、c的關(guān)系4（2015包頭）如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a0）的圖象與x軸交于點(diǎn)A（1，0），對(duì)稱軸為直線x=1，與y軸的交點(diǎn)B在（0，2）和（0，3）之間（包括這兩點(diǎn)），下列結(jié)論：當(dāng)x3時(shí)，y0；3a+b0；1a；4acb28a；其中正確的結(jié)論是（）ABCD【思路點(diǎn)撥】先由拋物線的對(duì)稱性求得拋物線與x軸令一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0），從

11、而可知當(dāng)x3時(shí)，y0；由拋物線開口向下可知a0，然后根據(jù)x=1，可知：2a+b=0，從而可知3a+b=0+a=a0；設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x3），則y=ax22ax3a，令x=0得：y=3a由拋物線與y軸的交點(diǎn)B在（0，2）和（0，3）之間，可知23a3由4acb28a得c20與題意不符【答案】B；【答案與解析】解：由拋物線的對(duì)稱性可求得拋物線與x軸令一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0），當(dāng)x3時(shí)，y0，故正確；拋物線開口向下，故a0，x=1，2a+b=03a+b=0+a=a0，故正確；設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x3），則y=ax22ax3a，令x=0得：y=3a拋物線與y軸的交

12、點(diǎn)B在（0，2）和（0，3）之間，23a3解得：1a，故正確；拋物線y軸的交點(diǎn)B在（0，2）和（0，3）之間，2c3，由4acb28a得：4ac8ab2，a0，c2c20c2，與2c3矛盾，故錯(cuò)誤故選：B【總結(jié)升華】本題主要考查的是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，掌握拋物線的對(duì)稱軸、開口方向與系數(shù)a、b、c之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵舉一反三：【變式】如圖所示是二次函數(shù)圖象的一部分，圖象經(jīng)過點(diǎn)A(-3，0)，對(duì)稱軸為給出四個(gè)結(jié)論：；其中正確結(jié)論是（ ） A B C D【答案】本例是利用二次函數(shù)圖象的位置與a、b、c的和、差、積的符號(hào)問題，其中利用直線， 交拋物線的位置來判斷，的符號(hào)問題應(yīng)注意理解和掌握由圖象開

13、口向下，可知a0，圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，所以， 確對(duì)稱軸為，所以，又由a0，b2a，可得5ab，正確故選B.類型五、求二次函數(shù)的最值5某商品的進(jìn)價(jià)為每件40元，售價(jià)為每件50元，每個(gè)月可賣出210件；如果每件商品的售價(jià)每上漲1元，則每個(gè)月少賣10件(每件售價(jià)不能高于65元)設(shè)每件商品的售價(jià)上漲x元(x為正整數(shù))，每個(gè)月的銷售利潤為)y元(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式并直接寫出自變量x的取值范圍 (2)每件商品的售價(jià)定為多少元時(shí)，每個(gè)月可獲得最大利潤?最大的月利潤是多少元?(3)每件商品的售價(jià)定為多少元時(shí)，每個(gè)月的利潤恰為2200元？根據(jù)以上的結(jié)論，請你直接寫出售價(jià)在什么范圍時(shí)，每個(gè)月的利潤不低于2

14、200元?【思路點(diǎn)撥】（1）每件商品的售價(jià)每上漲1元，則每個(gè)月少賣10件，當(dāng)每件商品的售價(jià)上漲x元時(shí)，每個(gè)月可賣出（210-10x）件，每件商品的利潤為x+50-40=10+x；（2）每個(gè)月的利潤為賣出的商品數(shù)和每件商品的乘積，即（210-10x）（10+x），當(dāng)每個(gè)月的利潤恰為2200元時(shí)得到方程（210-10x）（10+x）=2200求此方程中x的值【答案與解析】(1)y(210-l0x)(50+x-40)-10x2+110x+2100(0x15且x為整數(shù)) (2)y-10(x-5.5)2+2402.5 a-100， 當(dāng)x5.5時(shí)，y有最大值2402.5 00），同時(shí)將直線：沿軸正方向平移個(gè)單位.平移后的直線為，移動(dòng)后、的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為、.當(dāng)為何值時(shí)，在直線上存在點(diǎn)