定量訂貨模型

1、 定量訂貨模型定量訂貨模型思想：思想：是確定特定的一個(gè)點(diǎn)R，當(dāng)庫存水平到達(dá)這一點(diǎn)時(shí)，就應(yīng)當(dāng)進(jìn)行定購且該訂單的數(shù)量為Q。（訂購點(diǎn)R往往是一個(gè)既定的數(shù)）庫存水平：庫存水平：(inventory position) 可定義為目前庫存量加上已訂購量減去延期交貨量。模型假設(shè)特征n產(chǎn)品的需求是固定的，且在整個(gè)時(shí)期內(nèi)保持一致。n提前期（從訂購到收到貨物的時(shí)間）是固定的。n單位產(chǎn)品的價(jià)格是固定的。n庫存持有成本以平均庫存為計(jì)算依據(jù)。n訂購或生產(chǎn)準(zhǔn)備成本固定。n對(duì)產(chǎn)品的所有需求都必須滿足（不允許延期交貨） 基本的定量訂貨模型基本的定量訂貨模型 Q-模型 QQQQR持有庫存LLL函數(shù)關(guān)系式年總成本年總成本= =年

2、采購成本年采購成本+ +年訂購成本年訂購成本+ +年持有成本年持有成本 TC=DC+(D/Q)S+(Q/2)HTC=DC+(D/Q)S+(Q/2)H (1-1)式中：TC年總成本 D需求量（每年） Q訂購批量最佳訂購批量稱為經(jīng)濟(jì)訂購批量 (economic order quantity) EOQEOQ或Q Qoptopt S生產(chǎn)準(zhǔn)備成本或訂購成本 R再訂購點(diǎn) L提前期 H平均庫存水平下，單位產(chǎn)品的持有和存儲(chǔ)成本圖圖13-313-3基于定購量的年產(chǎn)品成本基于定購量的年產(chǎn)品成本 Qopt 定購批量（Q)TCQH/2DCDS/Q成本確定訂購批量Qopt，使總成本最小 在上圖中，總成本最小點(diǎn)出現(xiàn)在使曲

3、線斜率為零的地方。利用微積分我們將總成本對(duì)Q求導(dǎo)數(shù)，并令其等于零。 計(jì)算：計(jì)算： TC=DC+(D/Q)S+(Q/2)HTC=DC+(D/Q)S+(Q/2)H dTC/dQ=0+(-DS/ )+H/2=0 Qopt= (1-2)因?yàn)樵撃Ｐ图俣ㄐ枨蠛吞崆捌诙疾蛔儯礋o需安全庫存，則再訂購點(diǎn)R可簡單表示為： R= LR= L （1-3） 式中： 日平均需求量（常數(shù)） L L 用天表示的提前期（常數(shù)）HDS22Qdd例1經(jīng)濟(jì)訂購批量與再訂購點(diǎn)題題：求經(jīng)濟(jì)訂購批量和再訂購點(diǎn)， 已知： 年需求量（D）=1000單位 日平均需求量（d）=1000/365 訂購成本 (S）=5美元/次 持有成本（H）=1.

4、25美元/單位.年 提前期（L）=5天 單價(jià)（C）=12.50美元 問問：該訂購多少批量？解解： 最優(yōu)訂購批量為： Qopt= = = =89.4單位 再訂購點(diǎn)為： R= L=1000(5)/365=13.7單位 通過取近似數(shù)，可指定如下庫存政策：當(dāng)庫存水平降至 14單位，則應(yīng)再訂購89單位的產(chǎn)品。 年總成本為： TC=DC+(D/Q)S+(Q/2)HTC=DC+(D/Q)S+(Q/2)H =1000(12.50)+1000(5)/89+89(1.25)/21000(12.50)+1000(5)/89+89(1.25)/2 =12611.81 =12611.81美元美元 2DS/H .252(

5、1000)5/1 8000 d建立安全庫存水平安全庫存（安全庫存（safety stock).safety stock). 可定義為超出預(yù)期需求之外的附加庫存。 確定標(biāo)準(zhǔn)：確定標(biāo)準(zhǔn)：一：簡單規(guī)定該存儲(chǔ)幾周的供應(yīng)量作為安全庫存。二：使用一種能跟蹤需求的變化幅度的方法。 如：概率方法使用安全庫存的定量訂貨模型 定量訂貨系統(tǒng)對(duì)庫存水平進(jìn)行連續(xù)監(jiān)控，且當(dāng)庫存量將至一定水平R時(shí)，就進(jìn)行新的采購。在該模型中，缺貨的風(fēng)險(xiǎn)只發(fā)生在訂購提前期中，即在訂購的時(shí)刻與收到貨物的時(shí)間之間。 對(duì)于定量訂購模型，需求量確定與不確定的主要區(qū)別在于再訂購點(diǎn)的計(jì)算，對(duì)于這兩種情況的訂購批量是相同的。求解安全庫存適應(yīng)考慮需求不確定

6、的因素。再訂購點(diǎn)的計(jì)算公式為： R= L+ZL (1-4)式中：R以單位產(chǎn)品記的再訂購點(diǎn) 日平均需求量 L 以天計(jì)的提前期（下達(dá)訂單與收到貨 物之間的時(shí)段） Z某服務(wù)水平之下的標(biāo)準(zhǔn)差個(gè)數(shù) L提前期中使用量的標(biāo)準(zhǔn)差 ZL為安全庫存量注意：如果安全庫存量為正，則在訂購的時(shí)間應(yīng)當(dāng)提前。 R的值扣除安全庫存量就是提前期內(nèi)的平均需求量。 如果訂貨提前期期間的使用量為20單位，計(jì)算出的安全庫存量為5單位，那么就應(yīng)在庫存剩余5單位時(shí)發(fā)出訂單。dd計(jì)算 、L和Z 訂貨提前期內(nèi)的需求量只是從發(fā)出訂單到貨物接收之間庫存用量的一個(gè)估計(jì)值或預(yù)測(cè)值。他可能是一個(gè)簡單的數(shù)，或者是提前期內(nèi)每天預(yù)期需求量的總和。計(jì)算日需求量

7、： = (n為天數(shù)） (1-5) 日需求量的標(biāo)準(zhǔn)差： d= (1-6) dndn1iin)dd(n1iid指的是一天的標(biāo)準(zhǔn)差，如果提前期為若干天，可以利用統(tǒng)計(jì)學(xué)：即一系列獨(dú)立事件的標(biāo)準(zhǔn)差等于各方差之和的平方根。 所以普遍公式為： = (1-7) 例如：我們計(jì)算日需求標(biāo)準(zhǔn)差為10單位，且提前期為5天，因?yàn)槊刻於伎梢钥醋魇仟?dú)立的，所以5天的標(biāo)準(zhǔn)差為： L= =22.36 接下來，我們求Z，也即安全庫存的標(biāo)準(zhǔn)差的倍數(shù)。 可以由概率方法依據(jù)不缺貨概率查表得數(shù)值。 如：概率為95%對(duì)應(yīng)Z值為1.64 s2i2221)10(52安全庫存計(jì)算： SS=ZL以前述為例，有： SS=ZL =1.6422.36

8、=36.67 例2經(jīng)濟(jì)訂購批量 題：題：考察一個(gè)經(jīng)濟(jì)訂購批量的案例。 已知年需求量D=1000單位， 經(jīng)濟(jì)訂購批量Q=200單位， 不出現(xiàn)缺貨的期望概率P=0.95. 提前期內(nèi)需求的標(biāo)準(zhǔn)差L=25單位， 提前期L=15天， 求求 ： 再訂購點(diǎn)。 假設(shè)需求在工作日發(fā)生，而該年度工作日為250天。解：解：本例中， =1000/250=4，提前期為15天，利用公式可得：R= L+ZL =4(15)+Z(25)本例中，Z的值等于1.64解此關(guān)于R值的式子，得： R=4（15）+1.64（25） =60+41 =101單位這就是說，當(dāng)庫存降至101單位時(shí)，就應(yīng)再訂購200單位dd例3訂購量與再訂購點(diǎn)題：

9、題： 某產(chǎn)品的日需求量服從均值為60，標(biāo)準(zhǔn)差為7的正態(tài)分布。供應(yīng)來源可靠，提前期固定為6天，訂購成本為10美元，年持有成本為每單位0.50美元。不計(jì)短缺成本，訂貨時(shí)的訂單將在庫存補(bǔ)充之后得到滿足。 假設(shè)銷售全年365天都發(fā)生。求：求：提前期內(nèi)能滿足有95%的概率，不出現(xiàn)缺貨的訂購量與再訂購點(diǎn) 。 解： 本題中，我們需要計(jì)算出訂購批量Q和再訂購點(diǎn)R。 已知： =60 S=10美元 d=7 H=0.50美元 D=60(365) L=6則最優(yōu)訂購批量為： Qopt = = =936單位d 2DS/H50.0)10(365)60(2 為了求出再訂購點(diǎn)，要先求出提前期內(nèi)的使用量，然后再與安全庫存相加。

10、6天的提前期內(nèi)的需求標(biāo)準(zhǔn)差可以根據(jù)每天的需求方差來求得，因?yàn)槊刻斓男枨笫仟?dú)立的， 所以：L= = =17.5 和剛才一樣，Z等于1.64 有：R= L+Z L =60（6）+1.64（17.15） =388單位上面這兩個(gè)例子的區(qū)別是： 例2種需求變化是用整個(gè)提前期內(nèi)的標(biāo)準(zhǔn)差來表示 例3中則以每日的標(biāo)準(zhǔn)差來表示L1i2di2)7(6d定期訂貨模型n特點(diǎn)： 只在特定時(shí)間進(jìn)行盤點(diǎn)（如每周一次或每月一次）； 每期定購量不盡相同，大小取決于各時(shí)期庫存使用率； 安全庫存應(yīng)保證在盤點(diǎn)期內(nèi)和從發(fā)出定單到收到貨物的提前期內(nèi)都不發(fā)生缺貨。使用安全期庫存的定期訂貨模型訂購訂購訂購LTLTLT缺貨持有庫存量安全庫存時(shí)

11、間訂購量訂購量=此空缺期內(nèi)的此空缺期內(nèi)的平均需求量平均需求量+安全庫存安全庫存-現(xiàn)有庫存現(xiàn)有庫存（如果有的話，還要（如果有的話，還要加上已訂購量）加上已訂購量） 使用安全期庫存的定期訂貨模型q訂購量T兩次盤點(diǎn)的間隔天數(shù)L提前期的天數(shù)（下訂單與收到貨物之間的時(shí)段） 預(yù)測(cè)的日平均需求量 盤點(diǎn)周期與提前期期間需求的標(biāo)準(zhǔn)差I(lǐng)現(xiàn)有庫存水平（包括已訂購而尚未到達(dá)的）注：需求量、提前期、盤點(diǎn)期等可以使用日、周、年等任意時(shí)間單位， 只要整個(gè)公式中單位一致就行。 需求量可采用預(yù)測(cè)值，或年度平均值，服從正態(tài)分布。 z值取決于缺貨發(fā)生概率。 dLT訂購量訂購量=此空缺期內(nèi)的此空缺期內(nèi)的平均需求量平均需求量+安全庫存

12、安全庫存-現(xiàn)有庫存現(xiàn)有庫存（如果有的話，還要（如果有的話，還要加上已訂購量）加上已訂購量） 例:訂購量 某一產(chǎn)品n日需求量為10單位n標(biāo)準(zhǔn)差為3單位n盤點(diǎn)周期為30天n提前期為14天n管理部門已經(jīng)制定的需求政策時(shí)要滿足98%地對(duì)庫存物品的需求n在盤點(diǎn)周期開始時(shí)，庫存中有150單位產(chǎn)品。 求訂購量。例:訂購量 解：d=10 =3 T=30 L=14 P=0.98 I=150因?yàn)槊咳盏男枨笫仟?dú)立的，且 是固定的，所以， 對(duì)應(yīng)于P=0.98的z值為2.05。d150z)4030(10z)LT(dqLTdLTLT1i2idLT90.192) 3)(1430(2d)LT(LTd因此，訂購量為：例:訂購量

13、所以，要滿足98%的不出現(xiàn)缺貨的概率,應(yīng)當(dāng)在該盤點(diǎn)期訂購331單位產(chǎn)品.單位331150z)4030(10z)LT(dqLTdLT專用模型n定量訂購模型與定期訂購模型假設(shè)條件的相同點(diǎn): （1）單價(jià)為常數(shù),與訂購量無關(guān); （2）在訂購過程連續(xù)。n兩個(gè)新模型 （1）單價(jià)隨訂購批量變化時(shí)對(duì)訂購量的影響； （2）單周期存儲(chǔ)模型（靜態(tài)模型） 邊際分析。 1批量折扣模型（price-break model）n使用條件：產(chǎn)品售價(jià)隨批量大小發(fā)生變化，售價(jià)變化是離散或階躍的，非連續(xù)。 如： 螺釘199只 2美分/只 每100只 1.6美元 每1000只 13.5美元n求不同價(jià)格水平下相應(yīng)的經(jīng)濟(jì)訂購量和在價(jià)格變化

14、點(diǎn)上的經(jīng)濟(jì)訂購批量，不一定可行。 1批量折扣模型（price-break model）n求解原則： 將每個(gè)可行的經(jīng)濟(jì)訂購量的總成本和相應(yīng)的批量折扣訂貨量列成表格，能使總成本最小的訂購量Q就是最優(yōu)訂貨量。若持有成本根據(jù)單價(jià)百分比確定，則不必計(jì)算每個(gè)價(jià)格水平下的經(jīng)濟(jì)訂購量n求解步驟： （1）求出最大的訂購量Q（相應(yīng)于最低的單價(jià)），如果Q可行，則它就是答案。 （2）若Q不可行，計(jì)算次大的訂購量Q（相應(yīng)于第二個(gè)最低價(jià)格）。若可行，則把相應(yīng)與Q的成本同相應(yīng)于比Q大的價(jià)格變化臨界點(diǎn)的成本進(jìn)行比較，根據(jù)成本最小原則確定最優(yōu)訂購量。 例：折扣問題n考慮這樣一個(gè)案例，有關(guān)數(shù)據(jù)如下： D10000件（年需求量）

15、S20美元（每次訂購成本） i20%（年持有成本占單價(jià)的20%，包括存儲(chǔ)、利息以及過時(shí)成本） C單位成本（依訂購批量而定。批量為0499件，每件5美元；500999件，每件4.5美元；1000件以上，每件3.90美元） 最有訂購量為多少？例：折扣問題 可用定量訂貨基本模型求解，適用以下公式：TC=DC+(D/Q)S+(Q/2)iC 結(jié)果如下： 當(dāng)C=3.9美元時(shí)，Q=716，不可行； 當(dāng)C=4.5美元時(shí)，Q=666，可行， 總成本=45599.7美元； 當(dāng)Q=1000時(shí)，總成本=39590美元，所以是最優(yōu)解。 iCDS2Q 例：折扣問題 C=5美元時(shí)Q=633C=4.5美元時(shí)Q=666C=3.

16、9美元時(shí)Q=716價(jià)格變化臨界點(diǎn)持有成本（Q/2）iC（666/2）*0.20*4.50=299.70美元（1000/2)*0.20*3.90=390美元訂購成本（D/Q）S不可行10000*20/666=300美元不可行10000*20/1000=200美元持有+訂購成本599.70美元590美元貨品成本DC10000（4.50)10000（3.90)總成本45599.70美元39590美元2單周期存儲(chǔ)模型 單周期存儲(chǔ)問題決策僅涉及一個(gè)需求周期，或者物資只在很短的時(shí)間內(nèi)能夠銷售而且有經(jīng)常的中斷。求解方法邊際分析 當(dāng)訂購量再增加一件時(shí)，訂購該件物資產(chǎn)生的收益會(huì)小于因訂購帶來的成本。 比較持有成

17、本與缺貨成本，或者比較邊際收益與邊際損失。2單周期存儲(chǔ)模型 存貨直接用于銷售時(shí)，存儲(chǔ)數(shù)量應(yīng)滿足： 銷售最后一件所得的收益大于或等于最后一件未被售出時(shí)所帶來的損失: MPML MP第n件產(chǎn)品售出時(shí)所帶來的收益； ML第n件產(chǎn)品未售出時(shí)所帶來的損失。2單周期存儲(chǔ)模型引入概率P后P(MP)(1-P)MLP該件產(chǎn)品售出的概率1-P該件產(chǎn)品未售出的概率解得：P ML/(MP+ML)表明，應(yīng)該不斷增加存儲(chǔ)量，直至增加的最后一件的售出概率等于或大于 ML/(MP+ML)。例：含殘值的問題 某產(chǎn)品售價(jià)為100美元，成本為常數(shù)，每件70美元。未售出產(chǎn)品每件殘值為20美元。未來一段時(shí)間的需求量預(yù)計(jì)在35至40件之間，35件肯定能出售，40件以上一定賣不出去，需求概率以及相關(guān)的累積概率分布(P)在表中給出。每件產(chǎn)品的邊際收益等于售價(jià)減去成本，即MP=100-70=30美元如果產(chǎn)品未售出，邊際損失等于單位成本減去殘值，即ML=70-20=50美元試問應(yīng)該訂購多少件？例：含殘值的問題 需求單位數(shù)此需求的概率產(chǎn)品序號(hào)售出概率350.