圓的垂徑定理

1、九年級(jí)數(shù)學(xué)(下)第三章 圓2. 圓對(duì)稱性(1)垂徑定理圓的對(duì)稱性圓的對(duì)稱性n圓是軸對(duì)稱圖形嗎？圓是軸對(duì)稱圖形嗎？ 想一想想一想P88駛向勝利的彼岸如果是如果是, ,它的對(duì)稱軸是什么它的對(duì)稱軸是什么? ?你能找到多少條對(duì)稱你能找到多少條對(duì)稱軸？軸？O你是用什么方法解決上述問(wèn)題的你是用什么方法解決上述問(wèn)題的? ?n圓是中心對(duì)稱圖形嗎？圓是中心對(duì)稱圖形嗎？如果是如果是, ,它的對(duì)稱中心是什么它的對(duì)稱中心是什么? ?你能找到多少條對(duì)稱軸？你能找到多少條對(duì)稱軸？你又是用什么方法解決這個(gè)你又是用什么方法解決這個(gè)問(wèn)題的問(wèn)題的? ?圓的對(duì)稱性圓的對(duì)稱性n圓是軸對(duì)稱圖形圓是軸對(duì)稱圖形. . 想一想想一想P88駛

2、向勝利的彼岸圓的對(duì)稱軸是任意一條經(jīng)過(guò)圓心的直線圓的對(duì)稱軸是任意一條經(jīng)過(guò)圓心的直線, ,它有無(wú)它有無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸數(shù)條對(duì)稱軸. .O可利用折疊的方法即可解決上述問(wèn)題可利用折疊的方法即可解決上述問(wèn)題. .n圓也是中心對(duì)稱圖形圓也是中心對(duì)稱圖形. .它的對(duì)稱中心就是圓心它的對(duì)稱中心就是圓心. .用旋轉(zhuǎn)的方法即可解決這個(gè)用旋轉(zhuǎn)的方法即可解決這個(gè)問(wèn)題問(wèn)題. .圓的相關(guān)概念圓的相關(guān)概念n圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧圓弧,簡(jiǎn)稱簡(jiǎn)稱弧弧.n直徑直徑將圓分成兩部分將圓分成兩部分,每一部分都叫每一部分都叫做半圓做半圓(如弧如弧ABC). 讀一讀讀一讀P88駛向勝利的彼岸n連接圓上任意兩點(diǎn)間的線

3、段叫做連接圓上任意兩點(diǎn)間的線段叫做弦弦(如弦如弦AB).On經(jīng)過(guò)圓心弦叫做經(jīng)過(guò)圓心弦叫做直徑直徑(如直徑如直徑AC).ABn以以A,B兩點(diǎn)為端點(diǎn)的兩點(diǎn)為端點(diǎn)的弧弧.記作記作 ,讀作讀作“弧弧AB”.ABn小于半圓的小于半圓的弧弧叫做劣弧叫做劣弧,如記作如記作 (用用兩個(gè)字母兩個(gè)字母).AmBn大于半圓的大于半圓的弧弧叫做優(yōu)弧叫做優(yōu)弧,如記作如記作 (用三個(gè)字母用三個(gè)字母).ABCmDAM=BM,垂徑定理垂徑定理nAB是是 O的一條弦的一條弦.n你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關(guān)系你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關(guān)系?與同伴說(shuō)與同伴說(shuō)說(shuō)你的想法和理由說(shuō)你的想法和理由. 做一做做一做P89駛向勝利的彼岸n作直徑作直徑

4、CD,使使CDAB,垂足為垂足為M.On右圖是軸對(duì)稱圖形嗎右圖是軸對(duì)稱圖形嗎?如果是如果是,其對(duì)稱軸是什么其對(duì)稱軸是什么?n小明發(fā)現(xiàn)圖中有小明發(fā)現(xiàn)圖中有:ABCDMAmBn由由 CD是直徑是直徑 CDAB可推得可推得 AC=BC,AD=BD.垂徑定理垂徑定理n如圖如圖,小明的理由是小明的理由是:n連接連接OA,OB,OA,OB, 做一做做一做P90駛向勝利的彼岸OABCDM則則OA=OB.在在RtOAM和和RtOBM中中,OA=OB，OM=OM，RtOAM RtOBM.AM=BM.點(diǎn)點(diǎn)A和點(diǎn)和點(diǎn)B關(guān)于關(guān)于CD對(duì)稱對(duì)稱. O關(guān)于直徑關(guān)于直徑CD對(duì)稱對(duì)稱,當(dāng)圓沿著直徑當(dāng)圓沿著直徑CD對(duì)折時(shí)對(duì)折時(shí),

5、點(diǎn)點(diǎn)A與點(diǎn)與點(diǎn)B重合重合,AC和和BC重合重合,AD和和BD重合重合. AC =BC,AD =BD.垂徑定理垂徑定理三種語(yǔ)言三種語(yǔ)言n定理定理 垂直于弦的直徑平分弦垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所的兩條弧并且平分弦所的兩條弧.n老師提示老師提示:n垂徑定理是垂徑定理是圓中一個(gè)重圓中一個(gè)重要的結(jié)論要的結(jié)論,三三種語(yǔ)言要相種語(yǔ)言要相互轉(zhuǎn)化互轉(zhuǎn)化,形成形成整體整體,才能運(yùn)才能運(yùn)用自如用自如. 想一想想一想 P90駛向勝利的彼岸OABCDMCDAB,如圖如圖 CD是直徑是直徑,AM=BM, AC =BC, AD=BD.CDAB,垂徑定理的逆定理垂徑定理的逆定理nAB是是 O的一條弦的一條弦,且且AM

6、=BM.n你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關(guān)系你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關(guān)系?與同伴說(shuō)與同伴說(shuō)說(shuō)你的想法和理由說(shuō)你的想法和理由. 做一做做一做P91駛向勝利的彼岸n過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)M作直徑作直徑CD.On右圖是軸對(duì)稱圖形嗎右圖是軸對(duì)稱圖形嗎?如果是如果是,其對(duì)稱軸是什么其對(duì)稱軸是什么?n小明發(fā)現(xiàn)圖中有小明發(fā)現(xiàn)圖中有:CDAmBn由由 CD是直徑是直徑 AM=BM可推得可推得 AC=BC,AD=BD. MAB平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦,并且平并且平 分弦所對(duì)的兩條弧分弦所對(duì)的兩條弧.n你可以寫出相應(yīng)的命題嗎你可以寫出相應(yīng)的命題嗎?n相信自己是最棒的相信自己是最棒的!垂徑定理的逆定

7、理垂徑定理的逆定理n如圖如圖,在下列五個(gè)條件中在下列五個(gè)條件中:只要具備其中兩個(gè)條件只要具備其中兩個(gè)條件,就可推出其余三個(gè)結(jié)論就可推出其余三個(gè)結(jié)論. 想一想想一想P91駛向勝利的彼岸OABCDM CD是直徑是直徑, AM=BM, CDAB, AC=BC,AD=BD.垂徑定理及逆定理垂徑定理及逆定理 想一想想一想P91駛向勝利的彼岸OABCDM條件結(jié)論命題垂直于弦的直徑平分弦垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所的兩條弧并且平分弦所的兩條弧.平分弦平分弦(不是直徑不是直徑)的直徑垂直于弦的直徑垂直于弦,并且平并且平 分弦所對(duì)的兩條弧分弦所對(duì)的兩條弧.平分弦所對(duì)的一條弧的直徑平分弦所對(duì)的一條弧的直徑,

8、垂直平分弦垂直平分弦,并且平分弦所對(duì)的并且平分弦所對(duì)的另一條弧另一條弧.弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心,并且平分這條弦所對(duì)的兩條弧并且平分這條弦所對(duì)的兩條弧. 垂直于弦并且平分弦所對(duì)的一條弧的直線經(jīng)過(guò)圓心垂直于弦并且平分弦所對(duì)的一條弧的直線經(jīng)過(guò)圓心,并且平并且平分弦和所對(duì)的另一條弧分弦和所對(duì)的另一條弧.平分弦并且平分弦所對(duì)的一條弧的直線經(jīng)過(guò)圓心平分弦并且平分弦所對(duì)的一條弧的直線經(jīng)過(guò)圓心,垂直于弦垂直于弦,并且平分弦所對(duì)的另一條弧并且平分弦所對(duì)的另一條弧.平分弦所對(duì)的兩條弧的直線經(jīng)過(guò)圓心平分弦所對(duì)的兩條弧的直線經(jīng)過(guò)圓心,并且垂直平分弦并且垂直平分弦.挑戰(zhàn)自我挑戰(zhàn)自我垂徑定理的推論垂

9、徑定理的推論 n如果圓的兩條弦互相平行如果圓的兩條弦互相平行,那么這兩條弦所平的弧相那么這兩條弦所平的弧相等嗎等嗎?n老師提示老師提示: 這兩條弦在圓中位置有兩種情況這兩條弦在圓中位置有兩種情況:隨堂練習(xí)隨堂練習(xí)P92駛向勝利的彼岸OABCD1.兩條弦在圓心的同側(cè)兩條弦在圓心的同側(cè)OABCD2.兩條弦在圓心的兩側(cè)兩條弦在圓心的兩側(cè)垂徑定理的推論垂徑定理的推論 圓的兩條平行弦所夾的弧相等圓的兩條平行弦所夾的弧相等.試一試試一試P93駛向勝利的彼岸挑戰(zhàn)自我挑戰(zhàn)自我畫一畫畫一畫n如圖如圖,M,M為為OO內(nèi)的一點(diǎn)內(nèi)的一點(diǎn), ,利用尺規(guī)作一條弦利用尺規(guī)作一條弦AB,AB,使使ABAB過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)M.M.并且

10、并且AM=BM.AM=BM.OM試一試試一試P93駛向勝利的彼岸挑戰(zhàn)自我挑戰(zhàn)自我填一填填一填n1、判斷：n 垂直于弦的直線平分這條弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧. （ ）n平分弦所對(duì)的一條弧的直徑一定平分這條弦所對(duì)的另一條弧. （ ）n經(jīng)過(guò)弦的中點(diǎn)的直徑一定垂直于弦.（ ）n圓的兩條弦所夾的弧相等，則這兩條弦平行. （ ）n弦的垂直平分線一定平分這條弦所對(duì)的弧. （ ）試一試試一試P93駛向勝利的彼岸挑戰(zhàn)自我挑戰(zhàn)自我畫一畫畫一畫n2.已知：如圖已知：如圖, O 中中,弦弦ABCD,ABCD,直徑直徑MNAB,垂足為垂足為E,交弦交弦CD于點(diǎn)于點(diǎn)F.圖中相等的線段有圖中相等的線段有 : .圖中相等的劣弧有圖中相等的劣弧有: .FEOMNABCD試一試試一試P93駛向勝利的彼岸挑戰(zhàn)自我挑戰(zhàn)自我畫一畫畫一畫n3、已知：如圖，、已知：如圖， O 中，中， AB為為 弦，弦，C 為為 AB 的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，OC交交AB 于于D ，AB = 6cm ，CD = 1cm. 求求 O 的半徑的半徑OA.DOABC試一試試一試P93駛向勝利的彼岸挑戰(zhàn)自我挑戰(zhàn)自我畫一畫畫一