波動基本概念-波函數(shù)-波的能量

1、第七章本章內容Contents振動和波動的關系：振動和波動的關系： 機械波、電磁波、物質波機械波、電磁波、物質波振動振動波動的成因波動的成因波動波動振動的傳播振動的傳播 波動的種類：波動的種類：第一節(jié)12 - 1basic concept of mechanical wave 機械波的產(chǎn)生振動的傳播過程稱為波動。振動的傳播過程稱為波動。產(chǎn)生機械波的必要條件：產(chǎn)生機械波的必要條件：彈性媒質是指由彈性力組合的連續(xù)介質彈性媒質是指由彈性力組合的連續(xù)介質波源波源波源處質點的振動通過彈性媒質中的波源處質點的振動通過彈性媒質中的彈性力，將振動傳播開去，從而形成機械波彈性力，將振動傳播開去，從而形成機械波波

2、動（或行波波動（或行波) )是振動狀態(tài)的傳播，是能量的是振動狀態(tài)的傳播，是能量的傳播，而不是質點的傳播傳播，而不是質點的傳播。彈性力：彈性力： 有正彈性力（壓、張彈性力）和有正彈性力（壓、張彈性力）和切彈性力；液體和氣體彈性媒質中只有正切彈性力；液體和氣體彈性媒質中只有正彈性力而沒有切彈性力彈性力而沒有切彈性力機械波的產(chǎn)生 波源帶動彈性媒質中與其相鄰的質點發(fā)生振動，振動相繼波源帶動彈性媒質中與其相鄰的質點發(fā)生振動，振動相繼傳播到后面各相鄰質點，其振動時間和相位依次落后。傳播到后面各相鄰質點，其振動時間和相位依次落后。 波動現(xiàn)象是媒質中各質點運動狀態(tài)的集體表現(xiàn)，各質點波動現(xiàn)象是媒質中各質點運動狀

3、態(tài)的集體表現(xiàn)，各質點仍在其各自平衡位置附近作振動。仍在其各自平衡位置附近作振動。振動的傳播過程稱為波動。振動的傳播過程稱為波動。產(chǎn)生機械波的必要條件：產(chǎn)生機械波的必要條件： 這里波長遠大于媒質分子間距離，即假設這里波長遠大于媒質分子間距離，即假設彈性媒質是連續(xù)的，媒質中一個波長的距離內有彈性媒質是連續(xù)的，媒質中一個波長的距離內有無數(shù)分子在陸續(xù)振動，宏觀上看來媒質就象連續(xù)無數(shù)分子在陸續(xù)振動，宏觀上看來媒質就象連續(xù)的一樣。如果波長小到等于或小于分子間距離時，的一樣。如果波長小到等于或小于分子間距離時，相距約為一波長的兩個分子之間，不再存在其它相距約為一波長的兩個分子之間，不再存在其它分子，我們就不

4、能認為媒質是連續(xù)的了，這時媒分子，我們就不能認為媒質是連續(xù)的了，這時媒質就再也不能傳播彈性波了。因此有一個頻率上質就再也不能傳播彈性波了。因此有一個頻率上限存在。高度真空中分子間距離極大，不能傳播限存在。高度真空中分子間距離極大，不能傳播聲波，就是由于這原因。聲波，就是由于這原因。橫波軟繩軟繩質點振動方向質點振動方向波的傳播方向波的傳播方向抖動一下，產(chǎn)生一個脈沖橫波抖動一下，產(chǎn)生一個脈沖橫波連續(xù)抖動，產(chǎn)生連續(xù)橫波連續(xù)抖動，產(chǎn)生連續(xù)橫波質點的振動方向與波的傳播方向垂直質點的振動方向與波的傳播方向垂直波的傳播方向波的傳播方向質點振動方向質點振動方向軟繩軟繩縱波抽送一下，產(chǎn)生一個脈沖縱波抽送一下，產(chǎn)

5、生一個脈沖縱波軟彈簧軟彈簧軟彈簧軟彈簧波的傳播方向波的傳播方向質點振動方向質點振動方向連續(xù)連續(xù)抽送抽送，產(chǎn)生連續(xù)，產(chǎn)生連續(xù)縱縱波波波的傳播方向波的傳播方向質點振動方向質點振動方向 在機械波中，橫波只能在固體中出現(xiàn)；縱波可在氣體、液體和固體中出現(xiàn)?？諝庠跈C械波中，橫波只能在固體中出現(xiàn)；縱波可在氣體、液體和固體中出現(xiàn)?？諝庵械穆暡ㄊ强v波。液體表面的波動情況較復雜，不是單純的縱波或橫波。中的聲波是縱波。液體表面的波動情況較復雜，不是單純的縱波或橫波。質點的振動方向與波的傳播方向平行質點的振動方向與波的傳播方向平行機械波傳播特征幾何描述波波 前前波波 面面波波 線線波面波面振動相位相同的點連成的面。振

6、動相位相同的點連成的面。波前波前最前面的波面。最前面的波面。平面波（波面為平面的波）平面波（波面為平面的波）球面波（波面為球面的波）球面波（波面為球面的波）波線（波射線）波線（波射線）波的傳播方向。在各向同性媒質中，波的傳播方向。在各向同性媒質中，波線恒與波面垂直。波線恒與波面垂直。性質性質（3）各向同性介質中，波線垂直于波面各向同性介質中，波線垂直于波面.（2）波面的推進即為波的傳播波面的推進即為波的傳播.（1）同一波面上各點振動狀態(tài)相同同一波面上各點振動狀態(tài)相同.波長周期波速波速波速單位時間內振動狀態(tài)（振動相位）的傳播速度，單位時間內振動狀態(tài)（振動相位）的傳播速度，又稱相速。機械波速又稱相

7、速。機械波速取決于彈性媒質的物理性質取決于彈性媒質的物理性質?；蚧虿ㄩL波長振動狀態(tài)完全相同的相鄰兩質點振動狀態(tài)完全相同的相鄰兩質點(相鄰同相點相鄰同相點)之間的距離。之間的距離。周期周期波形移過一個波長所需的時間。波形移過一個波長所需的時間。頻率頻率周期的倒數(shù)。周期的倒數(shù)。, 取決于波源振動頻率取決于波源振動頻率。波傳播方向波傳播方向波速波速 機械波的傳播速度完全取決于介質的彈機械波的傳播速度完全取決于介質的彈性性質和慣性性質。即介質的彈性模量和性性質和慣性性質。即介質的彈性模量和介質的密度介質的密度, ,亦即決定于這種波在媒質中傳亦即決定于這種波在媒質中傳播的機構。播的機構。描述彈性的物理量

8、描述彈性的物理量彈性模量彈性模量S S為棒之橫截面積為棒之橫截面積lkllYSf1 1 楊氏彈性模量楊氏彈性模量Y Y llSfYllff彈性勢能：彈性勢能：22)(21)(21llYSllkWpwYllp122()單位體積的彈性勢能：單位體積的彈性勢能：為彈性系數(shù)或倔強系數(shù)。為彈性系數(shù)或倔強系數(shù)。k應力應力線應變線應變在彈性限度內應力與應變成正比在彈性限度內應力與應變成正比, ,比例系數(shù)稱為材料的彈性模量比例系數(shù)稱為材料的彈性模量2 2 切變彈性模量切變彈性模量N N DdSFSFN切變時，單位體積的彈性勢能：切變時，單位體積的彈性勢能：FF切應力切應力切應變切應變2)(21DdNwp3 3

9、 容變彈性模量容變彈性模量B Bf 表示正壓力表示正壓力S受力面積受力面積脅強脅強Sfp 脅變脅變VVfVVpB容變彈性模量定義為：容變彈性模量定義為：2)(21VVBwp應變時，單位體應變時，單位體積的彈性勢能：積的彈性勢能：體應力體應力體應變體應變TutNut可以證明：可以證明：* 對于柔軟的繩索和弦線中對于柔軟的繩索和弦線中橫波波速橫波波速為為 T T為繩索或弦線中張力為繩索或弦線中張力; ;為質量線密度為質量線密度* 細長的棒狀媒質中細長的棒狀媒質中縱波波速縱波波速為為YulY Y 為媒質的楊氏彈性模量為媒質的楊氏彈性模量; ; 為質量密度為質量密度* 各向同性均勻固體媒質各向同性均勻

10、固體媒質橫波波速橫波波速N N為媒質的切變彈性模量為媒質的切變彈性模量; ;為質量密度為質量密度在同一種固體媒質中，橫波波速比縱波波速小些在同一種固體媒質中，橫波波速比縱波波速小些量綱量綱! !* 在液體和氣體只能傳播在液體和氣體只能傳播縱波縱波， 其波速為：其波速為：ButB B為媒質的體變彈性模量為媒質的體變彈性模量; ;為質量密度為質量密度* 理想氣體理想氣體縱波縱波波速波速MRTPut為壓縮系數(shù)為壓縮系數(shù)pVVB1MM為氣體的質量；為氣體的質量； R R為氣體的摩爾常數(shù)為氣體的摩爾常數(shù)T T為熱力學溫度；為熱力學溫度；是氣體的比熱容比是氣體的比熱容比模量模量理想氣體縱波波速與溫度有關理

11、想氣體縱波波速與溫度有關第二節(jié)wave fucntion of simple hamonic plane wave 12 - 2平面簡諧波0( )yf t 波經(jīng)過原點時，該處質點的波經(jīng)過原點時，該處質點的位移位移y y0 0和時間和時間t t的關系可表示為：的關系可表示為： 當該波以當該波以速度速度u向向x正向傳播正向傳播，則與原點，則與原點相相距為距為x的質點的質點P“感受到感受到”該位移（即和原點具該位移（即和原點具有相同的位移）是在有相同的位移）是在時間時間x/u后后，（行波是質點，（行波是質點運動狀態(tài)的傳播）。反過來，質點運動狀態(tài)的傳播）。反過來，質點P在時刻在時刻t的的位移應是原點在

12、位移應是原點在(t-x/u)時刻發(fā)生的，即時刻發(fā)生的，即： ()xyf tu正號正號表示向反方向傳播表示向反方向傳播 正向波相位落后相位落后 ux波函數(shù)t三種表達式)(cos),(0uxtAtxy2cos),(0 xtAtxy)(2cos),(0 xTtAtxy)(2cos),(0utxAtxy)(cos),(0utxkAtxyT/2Tu/平面簡諧波函數(shù)平面簡諧波函數(shù)幾種等價形式：幾種等價形式：22TTuk定義定義 為為角波數(shù)角波數(shù)k例負向波例一般形式例正向波正向波反向波反向波例正向波正向波反向波反向波例例物理意義若給定某點若給定某點 P 的的 ，波函數(shù)變?yōu)?，波函?shù)變?yōu)?P 點處質點的點處質點

13、的距原點為距原點為 處質點振動的初相處質點振動的初相P點的點的波線上各點的簡諧運動圖波線上各點的簡諧運動圖物理意義若給定某點若給定某點 P 的的 ，波函數(shù)變?yōu)椋ê瘮?shù)變?yōu)?P 點處質點的點處質點的距原點為距原點為 處質點振動的初相處質點振動的初相P點的點的若給定若給定 ，波動方程表示所給定的，波動方程表示所給定的 時刻波線上各振動質時刻波線上各振動質點相對各自平衡點的位置分布，即該時刻的點相對各自平衡點的位置分布，即該時刻的t t1 1 時刻的時刻的 距距O分別為分別為x1和和x2的兩質點的相位為：的兩質點的相位為： 11100()2 ()xtxtuT22200()2 ()xtxtuT2112

14、1222xxx（波走過的路程之差）（波走過的路程之差）波程差波程差 方程表示在不同時刻各質點的位方程表示在不同時刻各質點的位移，即不同時刻的波形，體現(xiàn)了波的移，即不同時刻的波形，體現(xiàn)了波的傳播傳播.yxuO 、 都變都變xt x+x處（處（ ）的質點在）的質點在t+ t時刻的振動狀態(tài)是時刻的振動狀態(tài)是x處的質點在處的質點在t時刻振動狀態(tài)的重復，即波動是振時刻振動狀態(tài)的重復，即波動是振動的傳播。動的傳播。xu t 滿足該條件的波又稱為滿足該條件的波又稱為行波行波y(x+x,t+ t)=y(x,t)的物理涵義：的物理涵義：)(2)(cos),(0 xxttAttxxy)(22cos0 xtuxtA

15、),(),(txyttxxy若這兩處相位相同，則有：若這兩處相位相同，則有：)2cos(),(0 xtAtxy0)(2xtu可見波速就是相位傳播的速度可見波速就是相位傳播的速度平面波的平面波的波動波動方程方程0( , )sin()y x txyAttu v)(cos),(0222uxtAttxyya 222022221)(costyuuxtuAxy222221tyuxy波動的波動的動力學方程動力學方程將平面波的波函數(shù)對空間和時間求導，可得將平面波的波函數(shù)對空間和時間求導，可得222221tyuxy左式就是波動方程。它是左式就是波動方程。它是各種平面波所必須滿足的各種平面波所必須滿足的線性偏微分

16、方程。線性偏微分方程。實際上，這是實驗事實的概括：若有幾列波同時在介實際上，這是實驗事實的概括：若有幾列波同時在介質中傳播，則它們各自將以原有的振幅、頻率和波長質中傳播，則它們各自將以原有的振幅、頻率和波長獨立傳播；在幾列波相遇處，質元的位移等于各列波獨立傳播；在幾列波相遇處，質元的位移等于各列波單獨傳播時在該處引起的位移的矢量和。單獨傳播時在該處引起的位移的矢量和。)(21yy 則則 也是它的解，也是它的解，即上述即上述波動方程遵從疊加原理波動方程遵從疊加原理。1,y因此，若因此，若 分別是它的解，分別是它的解，2y以一維縱波為例討論波動方程。以一維縱波為例討論波動方程。質元的運動方程為：質

17、元的運動方程為：根據(jù)彈性模量的定義：根據(jù)彈性模量的定義：xxx yyyfffdx取棒中任一小質元原長取棒中任一小質元原長 ，Sdxdm質量為質量為 受其它部分的彈性力為受其它部分的彈性力為 和和 。fdff 22)()(tydmfdffxyYSllYSfdxxyYSdf22代入運動方程得代入運動方程得結論：結論：任何物理量只要滿足上述方程，則它任何物理量只要滿足上述方程，則它一定按波的形式傳播。而且對時間偏導數(shù)一定按波的形式傳播。而且對時間偏導數(shù) y 系數(shù)的倒數(shù)就是波速的平方。系數(shù)的倒數(shù)就是波速的平方。2222 tyYxyYu 2 令tydmfdff22)()(Sdxdm質量為質量為 dxxy

18、YSdf22222 1tyu例例例例例例第三節(jié)the energy of wave12 - 3動畫波傳播方向波傳播方向波速波速12 - 6現(xiàn)象：現(xiàn)象：若將一軟繩（彈性媒質）劃分為多個小單元（體積元）若將一軟繩（彈性媒質）劃分為多個小單元（體積元）上下上下抖動抖動振速振速 最小最小振速振速 最大最大形變最小形變最小形變最大形變最大時刻波形時刻波形在波動中，各體積元產(chǎn)生不同程度的在波動中，各體積元產(chǎn)生不同程度的 彈性形變彈性形變，具有具有 彈性勢能彈性勢能未起振的體積元未起振的體積元各體積元以變化的各體積元以變化的振動速率振動速率 上下振動，上下振動， 具有具有振動動能振動動能。有一行波：有一行波

19、： )(cosuxtAy質元的速度質元的速度 )(sinuxtAy質量為質量為 的媒質其動能為：的媒質其動能為：m)(sin21212222uxtVAtymWk以棒內傳播縱波為例討論彈性勢能：以棒內傳播縱波為例討論彈性勢能： 媒質中單位體積中的能量媒質中單位體積中的能量xxx yyy單位體積媒質中彈性勢能等于彈性模量與應變平方乘積的一半。單位體積媒質中彈性勢能等于彈性模量與應變平方乘積的一半。應變應變=)(sinuxtuAxy)(sin212222uxtuAYwpYu 2 代入上式得在代入上式得在 體積內體積內V其勢能為：其勢能為：)(sin21222uxtVAWp動能為：動能為：)(sin2

20、1212222uxtVAtymWk總機械能為：總機械能為：)(sin222uxtAVWWWpk對于橫波，推導過程中只需用切變模量代替楊氏模量，其結果相同。對于橫波，推導過程中只需用切變模量代替楊氏模量，其結果相同。定義：能量密度單位體積內的總機械能定義：能量密度單位體積內的總機械能)(sin222uxtAwwwpk定義：平均能量密度（對時間平均定義：平均能量密度（對時間平均)222022 21sin1AdAT其中其中 T2sin02ddtuxtATwT)(sin12202 能量密度 *任意時刻，體元中動能與勢能相等，任意時刻，體元中動能與勢能相等， 即動能與勢能同時達到最大或極小。即動能與勢能

21、同時達到最大或極小。 即同相的隨時間變化。這不同于孤即同相的隨時間變化。這不同于孤 立振動系統(tǒng)。立振動系統(tǒng)。 * 能量密度隨時間周期性變化，能量密度隨時間周期性變化， 其周期為波動周期的一半。其周期為波動周期的一半。 T討論：討論： * 能量密度與振幅平方能量密度與振幅平方 、頻率平方、頻率平方 和質量密度和質量密度 均成正比。均成正比。2A2 因為因為波是能量傳播的一種形式波是能量傳播的一種形式波動的能量與波動的能量與振動振動能量是有區(qū)別的。能量是有區(qū)別的。孤立振動系統(tǒng)的質元動能最大時，孤立振動系統(tǒng)的質元動能最大時，勢能最小，總機械能守恒，不向外傳播能量勢能最小，總機械能守恒，不向外傳播能量

22、;而對于波動來說，由于媒質中各部分由彈性力而對于波動來說，由于媒質中各部分由彈性力彼此相聯(lián)，使得振動在其中傳播。任一質元總彼此相聯(lián)，使得振動在其中傳播。任一質元總機械能隨時間周期性的變化，動能最大時，勢機械能隨時間周期性的變化，動能最大時，勢能也最大，動能為零時，勢能也為零；能也最大，動能為零時，勢能也為零；波是能量傳播的一種形式波是能量傳播的一種形式振動系統(tǒng)：振動系統(tǒng)：.constpkpk EEEE， 系統(tǒng)與外界無能量交換。系統(tǒng)與外界無能量交換。波動質元：波動質元：.constpkpk WWWW， 每個質元都與周圍媒質交換能量。每個質元都與周圍媒質交換能量。)(sin21222uxtVAWk

23、)(sin21222uxtVAWp 對于某一體元，它的能量從零達到最大，對于某一體元，它的能量從零達到最大，這是能量的輸入過程，然后又從最大減到零，這是能量的輸入過程，然后又從最大減到零，這是能量輸出的過程，周而復始。平均講來，這是能量輸出的過程，周而復始。平均講來，該體元的能量密度保持不變，該體元的能量密度保持不變，2221Aw即媒質中并不積累能量。因而它是一個能量傳即媒質中并不積累能量。因而它是一個能量傳遞的過程，或者說波是能量傳播的一種形式；遞的過程，或者說波是能量傳播的一種形式；波動的能量沿波速方向傳播波動的能量沿波速方向傳播；wStuW設波速為設波速為 u，在在 時間內通過垂直于波速截面時間內通過垂直于波速截面 的能量的能量:St)(sin222uxtAuSwSutWP能流能流能流密度單位：單位：( W